Exercice 4 · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2025

Exercice 4 (5 points)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$.

On considère les points $A(4; -1; 3)$, $B(-1; 1; -2)$, $C(0; 4; 5)$ et $D(-3; -4; 6)$.

1. a.

Vérifier que les points A, B, C ne sont pas alignés.

On admet qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est: $29x + 30y - 17z = 35$.

1. b.

Les points A, B, C, D sont-ils coplanaires ? Justifier.

On admet que lorsque quatre points ne sont pas coplanaires, il existe un unique point situé à égale distance de ces quatre points.

L'objectif de cet exercice est de déterminer le point H se situant à égale distance des quatre points A, B, C, D.

On définit le plan médiateur d'un segment comme le plan passant par le milieu de ce segment et orthogonal à la droite portant ce segment. C'est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

2.

Soit $P_1$ le plan médiateur du segment $[AB]$.

a.

$x =$

$y =$

$z =$

b.

En déduire qu'une équation cartésienne de $P_1$ est: $5x - 2y + 5z = 10$.

3.

On note $P_2$ le plan médiateur du segment $[CD]$.

a.

Soit $M$ un point du plan $P_2$ de coordonnées $(x; y; z)$.

Exprimer $MC^2$ et $MD^2$ en fonction des coordonnées de $M$.

En déduire qu'une équation cartésienne du plan $P_2$ est: $-3x - 8y + z = 10$.

b.

Justifier que les plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants.

4.

Soit $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est:

$$\begin{cases} x = -2 - 1{,}9t \\ y = t & \text{où } t \in \mathbb{R} \\ z = 4 + 2{,}3t \end{cases}$$

Démontrer que $\Delta$ est la droite d'intersection de $P_1$ et $P_2$.

On note $P_3$ le plan médiateur du segment $[AC]$.

On admet qu'une équation cartésienne du plan $P_3$ est: $8x - 10y - 4z = -15$.

5.

Démontrer que la droite $\Delta$ et le plan $P_3$ sont sécants.

6.

Justifier que le point d'intersection entre $\Delta$ et $P_3$ est le point H.