Exercice 3 · Bac Mathématiques Métropole 2025 (sujet 1)

Exercice 3 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On munit l'espace d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

1. On considère les points $A(-1; 0; 5)$ et $B(3; 2; -1)$.

Affirmation 1:

Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est

$$\begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 3t \end{cases} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.$$

Affirmation 2:

Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ est normal au plan $(OAB)$.

2. On considère:

la droite $d$ de représentation paramétrique

$$\begin{cases} x = 15 + k \\ y = 8 - k \\ z = -6 + 2k \end{cases} \quad \text{avec } k \in \mathbb{R};$$

la droite $d'$ de représentation paramétrique

$$\begin{cases} x = 1 + 4s \\ y = 2 + 4s \\ z = 1 - 6s \end{cases} \quad \text{avec } s \in \mathbb{R}.$$

Affirmation 3:

Les droites $d$ et $d'$ ne sont pas coplanaires.

3. On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - y + z + 1 = 0$.

Affirmation 4:

La distance du point $C(2; -1; 2)$ au plan $\mathcal{P}$ est égale à $2\sqrt{3}$.