Exercice 4 · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2026

Exercice 4 (5 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ d'unité 1 cm.

Partie A

On considère les points de l'espace:

$$R(1; 0; 6), \quad S(1; 3; 2), \quad T(3,5; 7; 5) \quad \text{et} \quad A(-2,5; 8; 4,5)$$

1.

Démontrer que les points $R$, $S$ et $T$ ne sont pas alignés.

2. a.

Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} -10 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(RST)$.

2. b.

En déduire une équation cartésienne du plan $(RST)$.

3. a.

Vérifier que le point $A$ n'appartient pas au plan $(RST)$.

3. b.

On note $d_1$ la droite passant par le point $A$ et orthogonale au plan $(RST)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d_1$.

3. c.

Soit le point $H$ projeté orthogonal de $A$ sur $(RST)$. Vérifier que ses coordonnées sont $(2,5; 6; 3)$.

4. a.

Démontrer que le triangle $RST$ est rectangle en $S$.

4. b.

Vérifier que le volume du tétraèdre $ARST$ est égal à $\frac{625}{24}\text{ cm}^3$.

On rappelle que le volume du tétraèdre est donné par la formule: $V = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$

Partie B

Soit $M(x; y; z)$ un point de la droite $d_2$ de représentation paramétrique:

$$\begin{cases} x = -4,5 + s \\ y = 4 - 4s \\ z = 5,5 - 2s \end{cases}, \quad s \in \mathbb{R}$$

1.

Démontrer que $AM^2 = 21s^2 + 24s + 21$.

2.

Déterminer les coordonnées du point $M$ de la droite $d_2$ pour lequel la distance $AM$ est minimale.