Exercice 2 · Bac Mathématiques Métropole 2025 (sujet 2)

1. Montrer que les droites $d$ et $d'$ sont sécantes au point $S\left(-\frac{1}{2} ; 1 ; 4\right)$.

Réponse : $S$ appartient à $d$ pour $t = -1$ et à $d'$ pour $s = -\frac{1}{2}$. Les deux droites sont donc sécantes en $S$.

2. a. Montrer que le vecteur $\vec{n} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

Réponse : $\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0$, et les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires, donc $\vec{n}$ est normal au plan $(ABC)$.

2. b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $x + 2y + 4z - 7 = 0$.

Réponse : $x + 2y + 4z - 7 = 0$

2. c. Démontrer que les points $A, B, C$ et $S$ ne sont pas coplanaires.

Réponse : $S \notin (ABC)$, donc les points $A, B, C$ et $S$ ne sont pas coplanaires.

3. a. Démontrer que le point $H(-1 ; 0 ; 2)$ est le projeté orthogonal de $S$ sur le plan $(ABC)$.

Réponse : $H \in (ABC)$ et $\vec{SH} = -\frac{1}{2}\vec{n}$, donc $(SH) \perp (ABC)$. $H$ est bien le projeté orthogonal de $S$ sur $(ABC)$.

3. b. En déduire qu'il n'existe aucun point $M$ du plan $(ABC)$ tel que $SM < \frac{\sqrt{21}}{2}$.

Réponse : La distance minimale de $S$ à un point du plan $(ABC)$ est la distance $SH = \frac{\sqrt{21}}{2}$, donc pour tout point $M$ du plan, $SM \ge \frac{\sqrt{21}}{2}$.

Partie B - 1. Déterminer les coordonnées du point $M$ en fonction de $k$.

Réponse : $\left(1 - \frac{3}{2}k ; 1 ; 3k + 1\right)$

Partie B - 2. Existe-t-il un point $M$ sur le segment $[CS]$ tel que le triangle $MAB$ soit rectangle en $M$ ?

Réponse : Oui, il existe une valeur $k_1 = \frac{24 + \sqrt{2016}}{90} \approx 0{,}76 \in [0 ; 1]$ telle que $\vec{AM} \cdot \vec{BM} = 0$.