Exercice 2 · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2025

Partie A - 1. Montrer que les droites (FG) et (FM) sont perpendiculaires.

Réponse : La droite $(FG)$ est perpendiculaire au plan $(ABF)$ qui contient $(FM)$, donc $(FG)$ et $(FM)$ sont perpendiculaires.

Partie A - 2. Montrer que les points A, M, G et H sont coplanaires.

Réponse : La droite $(AB)$ appartient au plan $(ABG)$ et $M \in (AB)$ donc $M \in (ABG)$. De plus $\vec{AH} = \vec{BG}$ donc $H \in (ABG)$. Les quatre points appartiennent au plan $(ABG)$.

Partie B - 1. Déterminer les coordonnées du vecteur GM

Réponse : (1 ; -1 ; -1)

Partie B - 1. Déterminer les coordonnées du vecteur AH

Réponse : (0 ; 1 ; 1)

Partie B - 1. Montrer qu'ils ne sont pas colinéaires.

Réponse : S'il existait $\lambda$ tel que $\vec{GM} = \lambda \vec{AH}$, on aurait $1 = 0 \times \lambda$, ce qui est impossible.

Partie B - 2. a. Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite (GM) est : x = 1 + t, y = 1 - t, z = 1 - t

Réponse : La droite $(GM)$ passe par $G(1,1,1)$ et admet $\vec{GM}(1,-1,-1)$ pour vecteur directeur.

Partie B - 2. b. Montrer que le point d'intersection N de (GM) et (AH) a pour coordonnées (0 ; 2 ; 2).

Réponse : En égalant les systèmes, $1 + t = 0 \iff t = -1$, d'où $y = 1 - (-1) = 2$ et $z = 1 - (-1) = 2$, ce qui donne $k = 2$ et $N(0,2,2)$.

Partie B - 3. a. Montrer que le triangle AMN est un triangle rectangle en A.

Réponse : $\vec{AM} \cdot \vec{AN} = 2 \times 0 + 0 \times 2 + 0 \times 2 = 0$, donc les vecteurs sont orthogonaux.

Partie B - 3. b. Calculer l'aire de ce triangle.

Réponse : $2\sqrt{2}$

Partie B - 4. a. Déterminer les coordonnées du point J.

Réponse : (1 ; 1/2 ; 1/2)

Partie B - 4. b. Montrer que le vecteur FJ est un vecteur normal au plan (AMN).

Réponse : $\vec{FJ} \cdot \vec{AM} = 0$ et $\vec{FJ} \cdot \vec{AN} = 0$, donc $\vec{FJ}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(AMN)$.

Partie B - 4. c. Montrer que J appartient au plan (AMN). En déduire qu'il est le projeté orthogonal du point F sur le plan (AMN).

Réponse : $\vec{AJ} = \frac{1}{2}\vec{AM} + \frac{1}{4}\vec{AN}$, donc $J \in (AMN)$. Comme $\vec{FJ}$ est normal à $(AMN)$, la droite $(FJ)$ est perpendiculaire au plan, donc $J$ est le projeté orthogonal de $F$ sur $(AMN)$.

Partie B - 5. Montrer que le volume du tétraèdre AMNF est le double du volume de la pyramide BCGMF.

Réponse : $\mathcal{V}_{AMNF} = \frac{2}{3}$ et $\mathcal{V}_{BCGFM} = \frac{1}{3}$, donc $\mathcal{V}_{AMNF} = 2\mathcal{V}_{BCGFM}$.