Sujet du Bac Mathématiques 2022 · Métropole 2

Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.

Dans l’état d’Oklahoma, aux États-Unis, 70 % des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.

Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que:

Si le coyote est malade, le test est positif dans 97 % des cas.

Si le coyote n’est pas malade, le test est négatif dans 95 % des cas.

Partie A

Des vétérinaires capturent un coyote d'Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l'ehrlichiose. On considère les événements suivants:

$M$: « le coyote est malade »;

$T$: « le test du coyote est positif ».

On note $\overline{M}$ et $\overline{T}$ respectivement les événements contraires de $M$ et $T$.

1.

Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation:

Branche

Probabilité associée

$P(M)$

$P(\overline{M})$

$P_M(T)$

$P_M(\overline{T})$

$P_{\overline{M}}(T)$

$P_{\overline{M}}(\overline{T})$

2.

Déterminer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif.

3.

Démontrer que la probabilité de $T$ est égale à $0{,}694$.

4.

On appelle « valeur prédictive positive du test » la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif. Calculer la valeur prédictive positive du test. On arrondira le résultat au millième.

5.

a. Par analogie avec la question précédente, proposer une définition de la « valeur prédictive négative du test », et calculer cette valeur en arrondissant au millième.

b. Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test, et interpréter.

Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.

Dans l’état d’Oklahoma, aux États-Unis, 70 % des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.

Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que:

Si le coyote est malade, le test est positif dans 97 % des cas.

Si le coyote n’est pas malade, le test est négatif dans 95 % des cas.

Partie B

On rappelle que la probabilité qu'un coyote capturé au hasard présente un test positif est de $0{,}694$.

1.

Lorsqu'on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.

a.

Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Justifier et préciser ses paramètres.

b.

Calculer la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif. On arrondira le résultat au centième.

c.

Un vétérinaire affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif: cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.

2.

Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d'un coyote présentant un test positif. Combien doivent-ils capturer de coyotes pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux présente un test positif soit supérieure à $0{,}99$ ?

Exercice 2 (7 points) — Thèmes: fonctions numériques et suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Pour les questions 1 à 3 ci-dessous, on considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

La courbe de sa fonction dérivée $f'$ est donnée ci-dessous. On admet que $f'$ admet un maximum en $-\frac{3}{2}$ et que sa courbe coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(-\frac{1}{2}\;\ 0\right)$.

Pour les questions 1 à 3 ci-dessous, on considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

La courbe de sa fonction dérivée $f'$ est donnée ci-dessous.

On admet que $f'$ admet un maximum en $-\frac{3}{2}$ et que sa courbe coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(-\frac{1}{2}\,;\,0\right)$.

Question 1:

Question 2:

Question 3:

La dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ vérifie:

Exercice 2 (7 points) — Thèmes: fonctions numériques et suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Pour les questions 1 à 3 ci-dessous, on considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

La courbe de sa fonction dérivée $f'$ est donnée ci-dessous. On admet que $f'$ admet un maximum en $-\frac{3}{2}$ et que sa courbe coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(-\frac{1}{2}\;\ 0\right)$.

Question 4:

On considère trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$. On sait que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_n \le v_n \le w_n$ et de plus: $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$ et $\lim_{n \to +\infty} w_n = 3$.

On peut alors affirmer que:

Question 5:

On considère une suite $(u_n)$ telle que, pour tout entier naturel $n$ non nul: $u_n \le u_{n+1} \le \frac{1}{n}$.

On peut alors affirmer que:

Question 6:

On considère $(u_n)$ une suite réelle telle que pour tout entier naturel $n$, on a: $n < u_n < n + 1$.

On peut affirmer que:

Exercice 3 (7 points)

Thème: géométrie dans l'espace

On considère un cube $ABCDEFGH$ et on appelle $K$ le milieu du segment $[BC]$.

On se place dans le repère $(A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$ et on considère le tétraèdre $EFGK$.

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par: $$V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

1.

Préciser les coordonnées des points $E$, $F$, $G$ et $K$.

2.

Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(EGK)$.

3.

Démontrer que le plan $(EGK)$ admet pour équation cartésienne: $2x - 2y + z - 1 = 0$.

4.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan $(EGK)$ passant par $F$.

5.

Montrer que le projeté orthogonal $L$ de $F$ sur le plan $(EGK)$ a pour coordonnées $\left(\frac{5}{9}; \frac{4}{9}; \frac{7}{9}\right)$.

6.

Justifier que la longueur $LF$ est égale à $\frac{2}{3}$.

7.

Calculer l'aire du triangle $EFG$. En déduire que le volume du tétraèdre $EFGK$ est égal à $\frac{1}{6}$.

8.

Déduire des questions précédentes l'aire du triangle $EGK$.

9.

On considère les points $P$ milieu du segment $[EG]$, $M$ milieu du segment $[EK]$ et $N$ milieu du segment $[GK]$. Déterminer le volume du tétraèdre $FPMN$.

Exercice 4 (7 points)

Thèmes: fonctions numériques, fonction exponentielle

Partie A: études de deux fonctions

On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par:

$$f(x) = 0{,}06(-x^2 + 13{,}7x) \quad \text{et} \quad g(x) = (-0{,}15x + 2{,}2)\mathrm{e}^{0{,}2x} - 2{,}2$$On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables et on note $f'$ et $g'$ leurs fonctions dérivées respectives.

1.

On donne le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$:

a.

Justifier la limite de $f$ en $+\infty$.

b.

Justifier les variations de la fonction $f$.

c.

Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $[0; +\infty[$. Donner les solutions (séparées par une virgule ou 'et'):

2.

a.

Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.

b.

Démontrer que, pour tout réel $x \in [0; +\infty[$, on a: $g'(x) = (-0{,}03x + 0{,}29)\mathrm{e}^{0{,}2x}$.

c.

Étudier les variations de la fonction $g$ et dresser son tableau de variations sur $[0; +\infty[$. Préciser une valeur approchée à $10^{-2}$ près du maximum de $g$.

d.

Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution non nulle et déterminer, à $10^{-2}$ près, une valeur approchée de cette solution.

Partie B: trajectoires d'une balle de golf

Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un club de golf. On souhaite exploiter les fonctions $f$ et $g$ étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d'une balle de golf sur un terrain parfaitement plat. On admettra ici que $13{,}7$ est la valeur qui annule la fonction $f$ et une approximation de la valeur qui annule la fonction $g$.

Pour $x$ représentant la distance horizontale en dizaine de yards après la frappe ($0 \le x \le 13{,}7$), $f(x)$ (ou $g(x)$) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards ($1\text{ yard} \approx 0{,}914\text{ m}$).

On appelle « angle de décollage » $d$ l'angle tel que $\tan(d) = \text{coefficient directeur de la tangente en } x=0$.

On appelle « angle d'atterrissage » $a$ l'angle tel que $\tan(a) = -\text{coefficient directeur de la tangente en } x=13{,}7$.

1. Première modélisation (fonction $f$):

a.

Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?

yard

b.

Vérifier que $f'(0) = 0{,}822$.

c.

Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième (utiliser éventuellement le tableau).

°

d.

Quelle propriété graphique de la courbe $\mathcal{C}_f$ permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage sont égaux ?

2. Seconde modélisation (fonction $g$):

a.

Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?

yard

On précise que $g'(0) = 0{,}29$ et $g'(13{,}7) \approx -1{,}87$.

b.

Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième.

°

c.

Justifier que $62$ est une valeur approchée, arrondie à l'unité près, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage.

Tableau: extrait d'une feuille de calcul donnant la mesure en degré d'un angle selon sa tangente:

$\tan(\theta)$ · 0,815 · 0,816 · 0,817 · 0,818 · 0,819 · 0,82 · 0,821 · 0,822 · 0,823 · 0,824 · 0,825 · 0,826

$\theta$ (degrés) · 39,18 · 39,21 · 39,25 · 39,28 · 39,32 · 39,35 · 39,39 · 39,42 · 39,45 · 39,49 · 39,52 · 39,56

$\tan(\theta)$ · 0,285 · 0,286 · 0,287 · 0,288 · 0,289 · 0,29 · 0,291 · 0,292 · 0,293 · 0,294 · 0,295 · 0,296

$\theta$ (degrés) · 15,91 · 15,96 · 16,01 · 16,07 · 16,12 · 16,17 · 16,23 · 16,28 · 16,33 · 16,38 · 16,44 · 16,49

Partie C: interrogation des modèles

À partir d'un grand nombre d'observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants:

Angle de décollage en degré · Hauteur maximale en yard · Angle d'atterrissage en degré · Distance horizontale en yard au point de chute

24 · 32 · 52 · 137

Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? Justifier.