Exercice 3 - Géométrie dans l'espace · Bac Mathématiques Métropole 2022 (sujet 2)

Exercice 3 (7 points)

Thème: géométrie dans l'espace

On considère un cube $ABCDEFGH$ et on appelle $K$ le milieu du segment $[BC]$.

On se place dans le repère $(A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$ et on considère le tétraèdre $EFGK$.

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par: $$V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

1.

Préciser les coordonnées des points $E$, $F$, $G$ et $K$.

2.

Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(EGK)$.

3.

Démontrer que le plan $(EGK)$ admet pour équation cartésienne: $2x - 2y + z - 1 = 0$.

4.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan $(EGK)$ passant par $F$.

5.

Montrer que le projeté orthogonal $L$ de $F$ sur le plan $(EGK)$ a pour coordonnées $\left(\frac{5}{9}; \frac{4}{9}; \frac{7}{9}\right)$.

6.

Justifier que la longueur $LF$ est égale à $\frac{2}{3}$.

7.

Calculer l'aire du triangle $EFG$. En déduire que le volume du tétraèdre $EFGK$ est égal à $\frac{1}{6}$.

8.

Déduire des questions précédentes l'aire du triangle $EGK$.

9.

On considère les points $P$ milieu du segment $[EG]$, $M$ milieu du segment $[EK]$ et $N$ milieu du segment $[GK]$. Déterminer le volume du tétraèdre $FPMN$.