Exercice 1 - Probabilités conditionnelles et indé… · Bac Mathématiques Métropole 2022 (sujet 2)

Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.

Dans l’état d’Oklahoma, aux États-Unis, 70 % des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.

Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que:

Si le coyote est malade, le test est positif dans 97 % des cas.

Si le coyote n’est pas malade, le test est négatif dans 95 % des cas.

Partie A

Des vétérinaires capturent un coyote d'Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l'ehrlichiose. On considère les événements suivants:

$M$: « le coyote est malade »;

$T$: « le test du coyote est positif ».

On note $\overline{M}$ et $\overline{T}$ respectivement les événements contraires de $M$ et $T$.

1.

Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation:

Branche

Probabilité associée

$P(M)$

$P(\overline{M})$

$P_M(T)$

$P_M(\overline{T})$

$P_{\overline{M}}(T)$

$P_{\overline{M}}(\overline{T})$

2.

Déterminer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif.

3.

Démontrer que la probabilité de $T$ est égale à $0{,}694$.

4.

On appelle « valeur prédictive positive du test » la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif. Calculer la valeur prédictive positive du test. On arrondira le résultat au millième.

5.

a. Par analogie avec la question précédente, proposer une définition de la « valeur prédictive négative du test », et calculer cette valeur en arrondissant au millième.

b. Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test, et interpréter.