Exercice 1 - Loi binomiale · Bac Mathématiques Métropole 2022 (sujet 2)

Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.

Dans l’état d’Oklahoma, aux États-Unis, 70 % des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.

Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que:

Si le coyote est malade, le test est positif dans 97 % des cas.

Si le coyote n’est pas malade, le test est négatif dans 95 % des cas.

Partie B

On rappelle que la probabilité qu'un coyote capturé au hasard présente un test positif est de $0{,}694$.

1.

Lorsqu'on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.

a.

Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Justifier et préciser ses paramètres.

b.

Calculer la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif. On arrondira le résultat au centième.

c.

Un vétérinaire affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif: cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.

2.

Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d'un coyote présentant un test positif. Combien doivent-ils capturer de coyotes pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux présente un test positif soit supérieure à $0{,}99$ ?