Aufgabe 3 - Atomhülle und Spektren · Abitur NRW Physik LK · Haupttermin 2022

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Nachweis und Eigenschaften extrem seltener Elemente

Schon in der Antike kannte man insgesamt 10 chemische Elemente, und bis zum Ende des 19. Jahrhunderts kamen 73 weitere Entdeckungen hinzu. In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts ließen sich die Elemente zwar zunehmend besser nach ihrer Atommasse und nach wiederkehrenden, ähnlichen chemischen Eigenschaften ordnen, doch dem damals noch lückenhaften Periodensystem fehlte eine verlässliche „Nummerierung“ der Elemente. Erst am Anfang des 20. Jahrhunderts konnten Physikerinnen und Physiker mithilfe leistungsfähiger Atommodelle und neuer experimenteller Methoden die Anordnung der Elemente im Periodensystem über ihre „Ordnungszahl $Z$“ eindeutig bestimmen. Dazu trug die damals entstandene Röntgenspektroskopie maßgeblich bei.

Teilaufgabe 1: Physikalische Grundlagen der Röntgenspektroskopie

a)

Zur Erzeugung von Röntgenstrahlung dienen speziell dafür ausgelegte Vakuumröhren.

Zeichnen Sie eine beschriftete Skizze, die den Aufbau einer Röntgenröhre und ihre elektrische Beschaltung darstellt.

Erläutern Sie, wie eine Röntgenröhre funktioniert; die atomaren Vorgänge bei der Entstehung der Strahlung müssen Sie dabei nicht betrachten.

b)

In Abbildung 1 ist ein typisches Röntgenspektrum dargestellt. Es setzt sich aus zwei Anteilen zusammen: dem kontinuierlichen Spektrum der Bremsstrahlung und den Linien der charakteristischen Röntgenstrahlung.

Erklären Sie, wie Bremsstrahlung und charakteristische Röntgenstrahlung entstehen, indem Sie die jeweiligen elementaren Prozesse und ein passendes Modell des atomaren Aufbaus des Anodenmaterials heranziehen.

c)

Die Drehkristallmethode ist ein einfaches Verfahren, um ein Röntgenspektrum aufzunehmen. Abbildung 2 stellt einen typischen Versuchsaufbau dafür dar.

Bei der Messung des Röntgenspektrums mit dieser Methode trifft die gebündelte Strahlung unter einem Winkel $\vartheta$ auf einen Einkristall, dessen Oberfläche parallel zu seinen Netzebenen verläuft. Unter dem Winkel $2\vartheta$ zur Einfallsrichtung der Röntgenstrahlung misst ein Zählrohr die vom Einkristall gestreute Strahlung. Für die Wellenlänge $\lambda$ der dort nachgewiesenen Röntgenstrahlung gilt die sogenannte Bragg-Bedingung:

$$n \cdot \lambda = 2 \cdot d \cdot \sin\vartheta \quad \text{mit } n = 1, 2, 3, \dots$$

Dabei bezeichnet $d$ den Abstand benachbarter Netzebenen des Einkristalls.

Leiten Sie die Bragg-Bedingung mithilfe einer passenden Skizze her.

Bei der Messung eines Röntgenspektrums mit einem typischen Schulröntgengerät wird bei der Drehkristallmethode der Einkristall in gleichmäßigen Drehschritten $\Delta\vartheta$, beginnend bei kleinen Winkeln bis zu $\vartheta = 45^\circ$, bewegt. Das Zählrohr wird dabei entsprechend um den doppelten Drehwinkel mitgeführt. Nach jedem Drehschritt wird für eine immer gleiche Zeit $\Delta t$ die Zahl der Strahlungsereignisse im Zählrohr gemessen und für den jeweiligen Winkel $\vartheta$ registriert.

Erklären Sie, weshalb zur Aufnahme eines Röntgenspektrums die Messzeit $\Delta t$ für alle Messwerte gleich sein muss.

Bei einer konkreten Messung mit einem LiF-Kristall (Netzebenenabstand $d = 0{,}201\text{ nm}$) beträgt die Drehschrittweite $\Delta\vartheta = 0{,}2^\circ$. Die Messung beginnt bei $\vartheta = 3{,}0^\circ$.

Geben Sie die Anzahl der Messpunkte an, die bei dieser Messung aufgenommen werden.

Zeigen Sie, dass bei dieser Messung in erster Ordnung $n = 1$ der Wellenlängenbereich zwischen $\lambda_{\min} = 2{,}10 \cdot 10^{-11}\text{ m}$ und $\lambda_{\max} = 2{,}84 \cdot 10^{-10}\text{ m}$ abgedeckt wird.

Die Messung erfolgt bei einer Beschleunigungsspannung an der Röntgenröhre von $U_{\mathrm{B}} = 25{,}0\text{ kV}$.

Untersuchen Sie mit Begründung, ob sich das kurzwellige Ende des Röntgenspektrums unter diesen Messbedingungen erfassen lässt.

Teilaufgabe 2: Sortierung des Periodensystems durch Bestimmung der Ordnungszahlen der Elemente

a)

Abbildung 3 zeigt das Spektrum der Röntgenstrahlung des Kupfers. Die beiden Linien in dem Spektrum sind die $\text{K}_\alpha$- und die $\text{K}_\beta$-Linie des Kupfers. Die genaue Wellenlänge der $\text{K}_\alpha$-Linie in diesem Spektrum beträgt $\lambda_{\text{K}\alpha} = 0{,}154\text{ nm}$. Abbildung 4 zeigt das vereinfachte Niveauschema eines Atoms mit den Übergängen der charakteristischen Röntgenlinien.

Bestimmen Sie anhand von $\lambda_{\text{K}\beta}$ aus Abbildung 3 die Energiedifferenz zwischen der L-Schale und der M-Schale im Kupferatom in der Einheit $\text{keV}$.

b)

Der britische Physiker H. Moseley fand bereits 1914 auf empirischem Weg folgende Beziehung zwischen den Wellenlängen der $\text{K}_\alpha$-Röntgenlinien der chemischen Elemente (bis zum Zirkon) und ihrer Ordnungszahl $Z$:

$$\sqrt{\frac{1}{\lambda_{\text{K}\alpha}}} = \sqrt{C} \cdot (Z - 1)$$

Dabei bezeichnet $\sqrt{C}$ eine empirisch gefundene Proportionalitätskonstante mit der Maßeinheit $[\sqrt{C}] = 1\,\frac{1}{\sqrt{\text{m}}}$.

Tabelle 1 beinhaltet die von H. Moseley gemessenen Wellenlängen der $\text{K}_\alpha$-Röntgenlinien einiger Elemente.

Element:

Aluminium

Kalzium

Chrom

Kobalt

Zink

Zirkon

$Z$:

13

20

24

27

30

40

$\lambda_{\text{K}\alpha}$ in $\text{m}$:

$8{,}36 \cdot 10^{-10}$

$3{,}37 \cdot 10^{-10}$

$2{,}30 \cdot 10^{-10}$

$1{,}80 \cdot 10^{-10}$

$1{,}45 \cdot 10^{-10}$

$0{,}794 \cdot 10^{-10}$

Tabelle 1: $\text{K}_\alpha$-Röntgenlinien einiger Elemente (H. Moseley, 1914)

Zeigen Sie mithilfe einer grafischen Auswertung, dass die Messwerte aus Tabelle 1 die oben genannte Beziehung bestätigen.

Bestimmen Sie aus dieser grafischen Auswertung einen Wert für die Proportionalitätskonstante $\sqrt{C}$.

Bestimmen Sie anhand dieser Auswertung und der Informationen aus Teilaufgabe 2a die Ordnungszahl $Z$ von Kupfer.