Aufgabe 2 - Quantenobjekte · Abitur NRW Physik LK · Haupttermin 2022

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Welleneigenschaften von Farbstoffmolekülen

Teilaufgabe 1: Materiewellen

Teilaufgabe 1: Materiewellen

a)

Die Abbildungen 1a und 1b zeigen Momentaufnahmen aus einer Simulation zur Ausbreitung von Wellen. In Abbildung 1a trifft eine von links einlaufende ebene Welle der Wellenlänge $\lambda$ auf einen Spalt der Breite $b \approx \lambda$. In Abbildung 1b ist hingegen $b > \lambda$.

Nennen Sie, was das Huygens'sche Prinzip aussagt.

Erläutern Sie unter Verwendung des Huygens'schen Prinzips, wie sich die Wellen hinter dem jeweiligen Spalt ausbreiten, und berücksichtigen Sie dabei besonders die Beugung.

b)

Nach de Broglie lässt sich einem Objekt der Masse $m$, das sich mit der Geschwindigkeit $v$ bewegt, die Wellenlänge $\lambda = \frac{h}{m \cdot v}$ zuordnen; dabei ist $h$ das Planck'sche Wirkungsquantum.

Berechnen Sie die Wellenlänge $\lambda$ für ein $\text{H}_2$-Molekül der Masse $m = 3{,}32 \cdot 10^{-27}\text{ kg}$ und der Geschwindigkeit $v = 200\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Bei Beugungsexperimenten mit Materiewellen müssen die Spaltöffnungen im Unterschied zu Lichtwellen frei von Materie sein.

Geben Sie einen Grund an, weshalb die Spaltöffnungen materiefrei sein müssen.

Erläutern Sie anhand der Abbildungen 1a und 1b, weshalb sich nach der De-Broglie-Beziehung Welleneigenschaften von Materie nur bei Objekten mit sehr kleiner Masse $m$ deutlich zeigen können.

c)

De Broglie gewann die Beziehung $\lambda = \frac{h}{m \cdot v}$ im Kern, indem er die seit Einstein bekannte Gleichung $\lambda_{\text{Ph}} = \frac{h}{m_{\text{Ph}} \cdot c}$ für Photonen (mit $c = v_{\text{Ph}}$) auf Objekte mit Masse und der Geschwindigkeit $v < c$ übertrug.

Leiten Sie die Einstein'sche Gleichung $\lambda_{\text{Ph}} = \frac{h}{m_{\text{Ph}} \cdot c}$ für Photonen her.

Teilaufgabe 2: Ein Interferenzexperiment mit Farbstoffmolekülen

2012 untersuchte eine internationale Forschergruppe an der Universität Wien in einem beeindruckenden Experiment die quantenmechanische Wellennatur massereicher Farbstoffmoleküle. Der grundsätzliche Aufbau der Apparatur ist in Abbildung 2 dargestellt.

In einer Vakuumkammer fällt ein horizontaler Strahl aus Farbstoffmolekülen mit einheitlicher Geschwindigkeit auf ein Beugungsgitter mit der Gitterkonstante $g = 100\text{ nm}$. Am Ende der Apparatur treffen die Moleküle auf eine Detektorplatte im Abstand $a = 564\text{ mm}$ hinter dem Gitter und werden dort durch einen Laser zum Leuchten angeregt. Eine Kamera mit Farbfilter vor dem Objektiv nimmt das Interferenzbild auf der Detektorplatte auf.

a)

Erläutern Sie qualitativ, wie die Interferenzmaxima auf der Detektorplatte entstehen.

b)

Mit der Kleinwinkelnäherung $\sin(\alpha) \approx \tan(\alpha)$ gilt für den Abstand $d_n$ des Maximums $n$-ter Ordnung zum Maximum nullter Ordnung:

$$d_n = \frac{n \cdot \lambda \cdot a}{g}.$$

Hierbei ist $\lambda$ die den Farbstoffmolekülen zugeordnete Wellenlänge.

Leiten Sie diesen Zusammenhang unter Verwendung einer aussagekräftigen Skizze her.

c)

In einem ersten Versuch haben die Farbstoffmoleküle die Geschwindigkeit $v = 150\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Abbildung 3 stellt die auf der Detektorplatte gemessene Intensitätsverteilung des Interferenzmusters dar.

Bestimmen Sie die Masse $m$ der Farbstoffmoleküle in diesem Experiment mithilfe von Abbildung 3, des Zusammenhangs aus Teil b) und der De-Broglie-Beziehung.

Die Geschwindigkeit $v$ der im Experiment verwendeten Farbstoffmoleküle weist eine geringfügige Streuung $\Delta v$ um den oben angegebenen Wert auf.

Erläutern Sie, wie sich die beiden Maxima erster Ordnung verändern, wenn man die Streuung $\Delta v$ verkleinern könnte.

d)

Abbildung 4 zeigt vier Momentaufnahmen aus dem Video, das die Kamera während der Versuchsdurchführung aufgenommen hat. Zu sehen ist jeweils der gleiche Ausschnitt der Detektorplatte zu verschiedenen aufeinanderfolgenden Zeitpunkten $t_1 < t_2 < t_3 < t_4$.

Beschreiben Sie, wie sich das Interferenzmuster zeitlich entwickelt.

e)

In einer abgewandelten Versuchsvariante haben die Farbstoffmoleküle stark verschiedene Geschwindigkeiten: Im Strahl kommen alle Geschwindigkeiten $v$ zwischen $v_{\text{min}}$ und $v_{\text{max}}$ vor. Abbildung 5 zeigt das vollständige Interferenzmuster auf der Detektorplatte. Der Pfeil gibt die Richtung der Gravitationskraft $F_G$ an, die auf die Moleküle wirkt.

Die Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler schreiben in der Veröffentlichung des Fotos: „Wir können [...] die Geschwindigkeit der Moleküle ableiten, da die Beugung den Molekülstrahl in horizontaler Richtung ausbreitet und die Gravitationskraft dazu führt, dass die Höhe $h$ auf der Detektorplatte von der Geschwindigkeit $v$ des Moleküls abhängt.“

Erklären Sie anhand des Zitats, warum die Interferenzstreifen der Maxima erster Ordnung nicht parallel verlaufen.

Weisen Sie mithilfe von Abbildung 5 nach, dass die Geschwindigkeit $v_{\text{max}}$ der schnellsten Farbstoffmoleküle ungefähr doppelt so groß ist wie die Geschwindigkeit $v_{\text{min}}$ der langsamsten.

Beschreiben Sie das Muster, das sich bei Durchführung des Versuchs in Schwerelosigkeit zeigen würde.