Abitur NRW Physik 2021 · GK · Haupttermin · Weiterbildungskolleg

Aufgabe: Induktion und Wirbelströme

Teilaufgabe 1: Physikalische Grundlagen der elektrischen Energieversorgung

Das tägliche Leben hängt davon ab, dass jederzeit elektrische Energie zur Verfügung steht. In Kraftwerken wird Primärenergie in unterschiedlicher Form erst in Bewegungsenergie und anschließend in elektrische Energie überführt. Für den letzten Schritt wird ein Generator verwendet. Die wichtigsten Bauteile eines Generators sind in Abbildung 1 dargestellt.

a)

• Beschreiben Sie mithilfe der Skizze den grundsätzlichen Aufbau eines Generators und berücksichtigen Sie dabei die in Abbildung 1 nummerierten Bauteile.

• Erläutern Sie qualitativ, also ohne mathematische Beziehungen zu verwenden, inwiefern die elektromagnetische Induktion für die Funktionsweise grundlegend ist.

Zunächst wird nun das Induktionsgesetz in mathematischer Form betrachtet.

b)

In einem homogenen Magnetfeld der Stärke $B$ befindet sich eine ebene Leiterschleife. Diese Leiterschleife besitzt bezüglich des homogenen Magnetfeldes eine effektive Querschnittsfläche $A_{\text{eff}}$, die je nach Orientierung der Leiterschleife ein positives oder negatives Vorzeichen besitzen kann. Diese effektive Querschnittsfläche $A_{\text{eff}}$ wird von dem homogenen Magnetfeld orthogonal durchsetzt (siehe Abbildung 2).

Für eine Induktionsspannung $U_{\text{ind}}$ in einer Leiterschleife mit Windungszahl $n$ kann es zwei mögliche Ursachen geben, die durch die beiden folgenden Zusammenhänge beschrieben werden:

$$(1)\ U_{\text{ind}} = -n \cdot B \cdot \frac{\Delta A_{\text{eff}}}{\Delta t} \qquad (2)\ U_{\text{ind}} = -n \cdot A_{\text{eff}} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}$$

In beiden Zusammenhängen bezeichnet $\Delta t$ ein kurzes Zeitintervall.

• Erläutern Sie, was die beiden angegebenen Zusammenhänge physikalisch aussagen.

In der exakten Formulierung gehen im Grenzfall immer kürzer werdender Zeitintervalle bei beiden Zusammenhängen die zeitlichen Änderungsraten $\frac{\Delta A_{\text{eff}}}{\Delta t}$ bzw. $\frac{\Delta B}{\Delta t}$ in die jeweilige Ableitung nach der Zeit über: $(1)\ U_{\text{ind}} = -n \cdot B \cdot \dot{A}_{\text{eff}}$ bzw. $(2)\ U_{\text{ind}} = -n \cdot A_{\text{eff}} \cdot \dot{B}$.

• Begründen Sie, warum bei einem Generator wie in Abbildung 1 der Zusammenhang (2) nicht die Ursache der Induktionsspannung sein kann.

• Erklären Sie qualitativ, warum sich im Betrieb eines Generators wie in Abbildung 1 die effektive Fläche $A_{\text{eff}}$ der Leiterschleife fortwährend zeitlich ändert.

c)

Beim Betrieb eines typischen Generators wird die in Abbildung 3 dargestellte Generatorspannung erzeugt. Dabei bezeichnet $\hat{U}$ die Spannungsamplitude.

Für die Zeitabhängigkeit der effektiven Querschnittsfläche $A_{\text{eff}}$ kann dabei der folgende Zusammenhang angenommen werden: $A_{\text{eff}}(t) = A_{\text{L}} \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T}\cdot t\right)$.

Es ist dabei vorausgesetzt, dass die Fläche der Leiterschleife $A_{\text{L}}$ zum Zeitpunkt $t = 0$ orthogonal zu den Feldlinien des homogenen Magnetfeldes steht und komplett von diesem homogenen Magnetfeld durchsetzt wird. Die Größe $T$ bezeichnet dabei die Umdrehungsdauer der Leiterschleife.

Zeigen Sie, dass sich für die induzierte Spannung in diesem Fall ergibt: $U(t) = \hat{U} \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T}\cdot t\right)$ mit der Spannungsamplitude $\hat{U} = n \cdot B \cdot A_{\text{L}} \cdot \frac{2\pi}{T}$.

d)

In einem konkreten Generator dieses Typs beträgt die Fläche der Leiterschleife $A_{\text{L}} = 50{,}0\,\text{cm}^2$, deren Windungszahl $n = 300$, die Stärke des Magnetfeldes $B = 250\,\text{mT}$, und die Leiterschleife dreht sich pro Minute $3000$-mal im Magnetfeld.

Bestimmen Sie die Spannungsamplitude $\hat{U}$ eines so betriebenen Generators.

Teilaufgabe 2: Elektrische Wirbelströme und ihre Anwendung beim Induktionsherd

Der Induktionsherd ist eine Alltagsanwendung von Wirbelströmen und hat Vorteile gegenüber Herdtypen mit direkter thermischer Energiezufuhr. Der schematische Aufbau eines Induktionsherdes ist in Abbildung 4 dargestellt.

Der wesentliche Bestandteil eines Induktionsherdes ist die Feldspule, in der ein sehr schnell wechselndes, sogenanntes „hochfrequentes“ Magnetfeld erzeugt wird. Dieses sich schnell ändernde Magnetfeld verursacht im elektrisch leitenden Boden des Kochgeschirrs Induktionseffekte, welche dort zu einer starken Erwärmung führen.

Mit folgender Messung wurde das hochfrequente Magnetfeld untersucht. Auf einem eingeschalteten Induktionskochfeld wurde eine Leiterschleife mit drei Windungen platziert und der zeitliche Verlauf der darin induzierten Spannung mit einem Oszilloskop gemessen (Versuchsaufbau siehe Abbildung 5).

a)

Begründen Sie qualitativ, dass bei der in Abbildung 5 dargestellten Messung ausschließlich der Zusammenhang $(2)\ U_{\text{ind}} = -n \cdot A_{\text{eff}} \cdot \dot{B}$ (siehe Teilaufgabe 1b) für die im Oszilloskop gemessene Spannung verantwortlich ist.

b)

Abbildung 6 zeigt die Einstellung der Zeitablenkung des Oszilloskops bei dieser Messung sowie den gemessenen zeitlichen Verlauf der induzierten Spannung in der Leiterschleife.

Im Folgenden soll von dem in Abbildung 6 eingezeichneten vereinfachend angenommenen Verlauf der Induktionsspannung ausgegangen werden.

• Bestimmen Sie aus Abbildung 6 die Periodendauer $T$, mit der sich das hochfrequente Magnetfeld des Induktionskochfeldes periodisch verändert.

• Geben Sie die Frequenz $f$ der Induktionsspannung in der Maßeinheit $\text{kHz}$ an.

• Begründen Sie qualitativ, dass der zeitliche Verlauf des Magnetfeldes in der Feldspule dieses Induktionsherdes dem in Abbildung 7 entspricht.

kHz

c)

Durch das sich schnell ändernde Magnetfeld in der Feldspule des Induktionsherdes werden Wirbelströme im elektrisch leitenden Boden des Kochgeschirrs hervorgerufen. Abbildung 8 zeigt eine Modellvorstellung für die Entstehung der Wirbelströme. Den Boden eines Induktionskochtopfs kann man sich aus vielen konzentrischen Kreisringen aufgebaut vorstellen. Jeder dieser Ringe ist eine kurzgeschlossene Leiterschleife.

Erklären Sie qualitativ, wie es auf dem Induktionsherd zu einem Kreisstrom, dem sogenannten „Wirbelstrom“, in einem Kreisring im Topfboden kommt.

d)

Für die Heizleistung $P_{\text{Heiz}}$ des Wirbelstroms in einem Kreisring der Breite $b = 1\,\text{mm}$ in einem typischen Material für den Boden eines Induktionskochtopfs gilt:$$P_{\text{Heiz}} = \left(0{,}22\,\frac{\text{m}}{\Omega}\right) \cdot \left(\frac{\Delta B}{\Delta t}\right)^2 \cdot r^3$$Dabei bezeichnet $r$ den Radius des Kreisrings (in $\text{m}$) und $\frac{\Delta B}{\Delta t}$ die Änderungsrate des Magnetfeldes auf der Induktionsherdplatte.

• Zeigen Sie anhand einer Einheitenbetrachtung, dass die rechte Seite des angegebenen Zusammenhangs tatsächlich die Maßeinheit der Leistung ($1\,\text{W} = 1\,\frac{\text{J}}{\text{s}}$) besitzt.

Bei dem in Teilaufgabe 2a) untersuchten Induktionsherd beträgt die Änderungsrate des Magnetfeldes $\frac{\Delta B}{\Delta t} = 320\,\frac{\text{T}}{\text{s}}$.

• Bestimmen Sie anhand des obigen Zusammenhangs die Heizleistung $P_{\text{Heiz}}$ des Wirbelstroms in einem $b = 1\,\text{mm}$ breiten Kreisring mit $r = 10\,\text{cm}$ in der Einheit $\text{W}$.

Aufgabe: Der Franck-Hertz-Versuch mit Quecksilber

Mit dem Franck-Hertz-Versuch lassen sich bedeutende Aussagen über die Struktur von Atomen gewinnen.

Teilaufgabe 1: Aufbau des Franck-Hertz-Versuchs

In Abbildung 1 ist der Versuchsaufbau des Franck-Hertz-Versuchs mit Quecksilberdampf schematisch dargestellt. $U_\mathrm{H}$ steht dabei für die Heizspannung, $I_\mathrm{A}$ für den Anodenstrom. Die Spannung $U_\mathrm{B}$ kann variiert werden.

a)

• Erläutern Sie, welche Aufgabe die Bauelemente in Abbildung 1 beim Franck-Hertz-Versuch haben und was die Spannungen $U_\mathrm{B}$ und $U_\mathrm{G}$ bewirken.

• Geben Sie an, wie die Spannungen $U_\mathrm{B}$ und $U_\mathrm{G}$ in Abbildung 1 bei einer üblichen Versuchsdurchführung gepolt sind.

b)

Beschreiben Sie, wie der Franck-Hertz-Versuch mit Quecksilber durchgeführt wird.

Teilaufgabe 2: Auswertung des Versuchs

Im vorliegenden Versuch gilt $U_\mathrm{G} = 1{,}5\text{ V}$. Abbildung 2 gibt das $U_\mathrm{B}$-$I_\mathrm{A}$-Diagramm wieder, das sich ergibt, wenn $U_\mathrm{B}$ von $0$ bis $32\text{ V}$ verändert wird.

a)

• Beschreiben Sie, wie das Diagramm in Abbildung 2 verläuft.

• Geben Sie die Werte der Spannung $U_\mathrm{B}$ an, bei denen der Anodenstrom $I_\mathrm{A}$ im Diagramm in Abbildung 2 seine Maxima erreicht.

b)

Begründen Sie, warum nur bei einer Spannung $U_\mathrm{B}$ oberhalb von $1{,}5\text{ V}$ ein Anodenstrom $I_\mathrm{A}$ größer als Null messbar ist.

c)

• Erklären Sie, warum die Stromstärke $I_\mathrm{A}$ im Diagramm in Abbildung 2 zum ersten Mal abfällt.

• Erläutern Sie, warum die Stromstärke $I_\mathrm{A}$ später noch mehrfach abnimmt.

• Bestimmen Sie anhand des Diagramms in Abbildung 2 die Anregungsenergie $E_\mathrm{Hg}$ von Quecksilber.

Es wird angenommen, dass das angeregte Quecksilber unmittelbar in den Grundzustand zurückkehrt.

• Berechnen Sie die Wellenlänge $\lambda_\mathrm{Hg}$, die bei diesem Übergang in den Grundzustand im Versuch zu erwarten wäre.

• Begründen Sie, warum das menschliche Auge die Strahlung der Wellenlänge $\lambda_\mathrm{Hg}$ in diesem Versuch nicht wahrnehmen kann.

d)

Abbildung 3 zeigt ein vereinfachtes Energieschema von Quecksilber.

Im Spektrum einer Quecksilber-Dampflampe treten außer der $\lambda_\mathrm{Hg}$-Linie auch Spektrallinien im sichtbaren Bereich auf.

Erläutern Sie anhand des Energieschemas in Abbildung 3, warum sich die Anregungsenergien der sichtbaren Spektrallinien von Quecksilber im $U_\mathrm{B}$-$I_\mathrm{A}$-Diagramm in Abbildung 2 nicht zeigen.

e)

Bestimmen Sie die Mindestgeschwindigkeit $v$, die ein Elektron gemäß Abbildung 3 besitzen muss, damit es ein Quecksilberatom anregen kann.

Teilaufgabe 3: Absorption von Energieportionen

Auch in anderen Versuchen als dem Franck-Hertz-Versuch werden Energieportionen aufgenommen. So kann man etwa natriumhaltiges Kochsalz in einer Bunsenbrennerflamme verdampfen und diese Flamme kreuzweise zugleich mit dem Licht einer Quecksilberdampflampe und einer Natriumdampflampe bestrahlen. Abbildung 4 stellt den Aufbau schematisch dar, Abbildung 5 zeigt eine Aufnahme des Versuchs. Dabei trifft das Licht der Natriumdampflampe ausschließlich auf Schirm 1 und das der Quecksilberdampflampe ausschließlich auf Schirm 2.

a)

• Beschreiben Sie, was auf den Schirmen in Abbildung 5 zu beobachten ist.

• Erläutern Sie, wie diese Beobachtungen zustande kommen.

b)

Erläutern Sie, worin sich die Energieübertragung im Versuch in Abbildung 5 von der im Franck-Hertz-Versuch unterscheidet.

1911 präsentierte E. Rutherford ein damals neuartiges Atommodell, in dem sich Elektronen auf beliebigen Kreisbahnen um einen positiv geladenen Atomkern bewegen.

c)

Erläutern Sie, welche grundlegende Einsicht diesem Modell noch fehlte, um die Ergebnisse des Versuchs in Abbildung 5 sowie des Franck-Hertz-Versuchs zu erklären.

Aufgabenstellung:

Teilaufgabe 1: Albert Einstein und der Photoeffekt

Albert Einstein konnte den Photoeffekt deuten, indem er Licht als aus Teilchen bestehend auffasste. Die Energiebilanz des Photoeffekts wird nach Einstein durch die folgende Gleichung beschrieben:

$$h \cdot f = E_{\text{kin}} + E_{\text{A}}$$

Hierbei steht $h$ für das Planck'sche Wirkungsquantum, $f$ für die Frequenz des auftreffenden Lichts, $E_{\text{kin}}$ für die kinetische Energie eines Elektrons und $E_{\text{A}}$ für dessen Austrittsenergie.

Teilaufgabe 1: Albert Einstein und der Photoeffekt

Albert Einstein ist es gelungen, den Photoeffekt mithilfe des Teilchencharakters von Licht zu erklären. Für die Energiebilanz des Photoeffekts ist nach Einstein die folgende Gleichung von Bedeutung:

$$h \cdot f = E_{\text{kin}} + E_{\text{A}}$$

Hierbei steht $h$ für das Planck'sche Wirkungsquantum, $f$ für die Frequenz des eingestrahlten Lichts, $E_{\text{kin}}$ für die kinetische Energie eines Elektrons und $E_{\text{A}}$ für dessen Austrittsenergie.

a)

b)

Abbildung 1 zeigt eine Sonderbriefmarke, die zu Ehren Albert Einsteins von der Deutschen Bundespost herausgegeben wurde. Die Briefmarke zeigt Licht in sechs unterschiedlichen Farben, das auf eine Metallschicht trifft. Die neun dicken schwarzen Punkte stellen Elektronen dar, die gepunkteten Linien deren Bahnkurven und die Pfeile die zugehörigen Geschwindigkeitsvektoren.

Teilaufgabe 2: Experimentelle Untersuchung des Photoeffekts

Eine Photozelle besteht aus einem evakuierten Glaskolben mit zwei Elektroden. Die Kathode (K) trägt eine aufgedampfte Metallschicht. Als Anode (A) dient ein kreisförmig gebogener Metallring vor der Kathode. Licht einer Quecksilberdampflampe (QDL) beleuchtet die Kathode durch eine Blende (B). Farbfilter (F) liefern monochromatisches Licht. Gemessen wird die Photostromstärke $I_{\text{Ph}}$ zwischen Kathode und Anode in Abhängigkeit von einer angelegten Gegenspannung $U_{\text{G}}$. Abbildung 2 zeigt die Photozelle schematisch mit der Schaltung für die Gegenfeldmethode.

a)

Die beiden Messgeräte in Abbildung 2 erfassen die Gegenspannung $U_{\text{G}}$ und die Photostromstärke $I_{\text{Ph}}$. In Abbildung 3 ist die gemessene Photostromstärke $I_{\text{Ph}}$ abhängig von der Gegenspannung $U_{\text{G}}$ dargestellt, wobei die Photozelle mit Licht der Wellenlänge $\lambda = 436\text{ nm}$ beleuchtet wurde.

b)

Nun wird bei unveränderter Wellenlänge die Blendenöffnung erweitert, wodurch auf der Kathode ein größerer Lichtfleck entsteht.

c)

Die kinetische Energie der aus der Kathode herausgelösten Elektronen lässt sich mit der Beziehung $E_{\text{kin}} = e \cdot U_{\text{G,max}}$ bestimmen, wobei $e$ für die Elementarladung steht.

d)

In der folgenden Tabelle sind die Messwerte einer Messreihe aufgeführt, in der die Grenzspannung $U_{\text{G,max}}$ abhängig von der Frequenz $f$ des eingesetzten Lichts ermittelt wurde:

$f\text{ in }10^{14}\text{ Hz}$ · 5,19 · 5,49 · 6,88 · 7,40

$U_{\text{G,max}}\text{ in V}$ · 0,13 · 0,27 · 0,81 · 1,02

Bestimmen Sie durch eine grafische Auswertung unter Verwendung aller Messwerte:

Aufgabenstellung:

Teilaufgabe 1: Albert Einstein und der Photoeffekt

Albert Einstein konnte den Photoeffekt deuten, indem er Licht als aus Teilchen bestehend auffasste. Die Energiebilanz des Photoeffekts wird nach Einstein durch die folgende Gleichung beschrieben:

$$h \cdot f = E_{\text{kin}} + E_{\text{A}}$$

Hierbei steht $h$ für das Planck'sche Wirkungsquantum, $f$ für die Frequenz des auftreffenden Lichts, $E_{\text{kin}}$ für die kinetische Energie eines Elektrons und $E_{\text{A}}$ für dessen Austrittsenergie.

Teilaufgabe 3: Analyse eines senkrechten Sprungs

In Abbildung 4 sind schematisch fünf Momentaufnahmen eines senkrechten Sprungs aus der Hocke dargestellt. Anhand dieser Aufnahmen wird der Sprung in vier Phasen gegliedert. Vom Anfang der Phase 2 bis zum Ende der Phase 3 behält der Sportler seine Körperhaltung bei. Mit der Sprunghöhe $h$ ist im Folgenden der Abstand der Körperschwerpunkte am Anfang und am Ende von Phase 2 gemeint.

In Abbildung 5 ist das $t$-$a$-Diagramm des Hochsprungs eines Sportlers mit der Masse $m = 75{,}0\text{ kg}$ dargestellt.

a)

• Bestimmen Sie, welche Geschwindigkeit $v_1$ der Sportler am Ende der ersten Hochsprungphase hat.

• Begründen Sie mithilfe von Abbildung 5, dass der Sportler ungefähr bei $t = 0{,}6\text{ s}$ die Sprunghöhe $h$ erreicht.

• Ermitteln Sie die Sprunghöhe $h$.

b)

Berechnen Sie den Betrag $F_{\text{Beine}}$ der mittleren Kraft, die der Sportler in der ersten Hochsprungphase mit seinen Beinen vertikal aufwenden muss.

c)

Beim senkrechten Sprung aus Abbildung 5 setzte der Sportler nur einen Teil seiner maximalen Beinkraft $F_{\text{Beine,max}}$ vertikal ein. Bei einem zweiten Sprung unter sonst gleichen Bedingungen setzt er die maximale Beinkraft vertikal ein und erreicht am Ende der ersten Phase eine Geschwindigkeit $v_{1,\text{max}}$, die doppelt so groß ist wie beim ersten Hochsprung.

Überprüfen Sie auf der Grundlage einer energetischen Betrachtung, ob die maximale Sprunghöhe $h_{\text{max}}$ des Sportlers in diesem Fall doppelt so groß ausfällt wie beim ersten Sprung.