Abitur NRW Physik 2021 · LK · Nachtermin

Aufgabe: Relativistische Kinematik

Albert Einstein veröffentlichte im Jahr 1905 den Artikel „Zur Elektrodynamik bewegter Körper“ in der Zeitschrift „Annalen der Physik und Chemie“ und begründete damit die Spezielle Relativitätstheorie (SRT), eine der wichtigsten Grundlagen der modernen Physik. Die folgenden Teilaufgaben behandeln kinematische Konsequenzen der SRT, insbesondere hinsichtlich der Zeit und ihrer Messung.

Teilaufgabe 1: Grundlagen der Speziellen Relativitätstheorie

a) Eines der die SRT begründenden Experimente ist das Michelson-Morley-Experiment (siehe Abbildung 1).

a1)

Zentrales Hilfsmittel bei der Durchführung des Experiments ist das Michelson-Interferometer (siehe Abbildung 2).

a2)

a3)

a4)

Die SRT beruht im Wesentlichen auf zwei Annahmen, den beiden sogenannten „Einsteinschen Postulaten“. Das erste dieser Postulate ist das „Relativitätsprinzip“.

a5)

a6)

a7)

b) In der SRT ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum $c = 299.792.458\text{ m/s}$ eine Obergrenze für die Geschwindigkeit von massebehafteten Körpern.

b1)

Stattdessen lassen sich Geschwindigkeiten auf folgende Weise addieren:$$v' = \frac{u + v}{1 + \frac{u \cdot v}{c^2}}$$Dabei ist $v$ die Geschwindigkeit eines Körpers A relativ zu einem Körper B, $u$ die Geschwindigkeit des Körpers B relativ zu einem Körper C und $v'$ die Geschwindigkeit des Körpers A relativ zum Körper C. Bei den Körpern kann es sich beispielsweise um relativistische Teilchen oder Raketen handeln (siehe Abbildung 3).

b2)

Die Formel kann auch angewendet werden, wenn es sich bei A nicht um einen Körper, sondern um ein relativ zum Körper B mit Lichtgeschwindigkeit fliegendes Objekt, beispielsweise ein Photon, handelt.

b3)

Teilaufgabe 2: Zeitdilatation

Weitere, wichtige Phänomene der SRT sind die Relativität der Gleichzeitigkeit und der zeitlichen Reihenfolge, die Längenkontraktion und die Zeitdilatation.

a) Eine näherungsweise zylinderförmige Raumstation befindet sich in den Tiefen des Alls, weit entfernt von größeren Massen. An beiden Enden der Raumstation befindet sich jeweils eine Uhr (siehe Abbildung 4).

a1)

Eine Rakete passiert die Raumstation in geringer Entfernung (siehe Abbildung 5).

Die Rakete bewegt sich relativ zur Raumstation geradlinig gleichförmig und mit hoher Relativgeschwindigkeit $v$. Am vorderen Ende der Rakete befindet sich eine Uhr. Die beiden Uhren A und B der Raumstation sind im Bezugssystem der Raumstation synchronisiert worden.

Wenn die Raketenuhr Uhr A der Raumstation passiert (linke gestrichelte Linie), wird die Uhrzeit auf Uhr A der Raumstation abgelesen, und wenn die Raketenuhr Uhr B der Raumstation passiert (rechte gestrichelte Linie), wird die Uhrzeit auf Uhr B der Raumstation abgelesen. Die Differenz beider Uhrzeiten, gemessen mit den Uhren der Raumstation, ist $\Delta t$.

In den beiden zuvor beschriebenen Momenten wird jeweils auch die Uhrzeit auf der Raketenuhr abgelesen. Die Differenz dieser beider Uhrzeiten ist $\Delta t'$.

a2)

Entscheiden Sie begründet, welche der folgenden Formeln $\Delta t$ und $\Delta t'$ korrekt miteinander verknüpft:

a3)

Isaac Newton wird folgendes Zitat zugeschrieben: „Die absolute, wahre und mathematische Zeit verfliesst an sich und vermöge ihrer Natur gleichförmig, und ohne Beziehung auf irgend einen äussern Gegenstand.“

a4)

b1)

b2)

Teilaufgabe 3: Die lange Reise

a) Eine Raumfahrerin reist von der Erde aus näherungsweise geradlinig gleichförmig zu einem fernen Sternensystem namens Delta Pavonis, in einer Entfernung von näherungsweise $20\text{ Lichtjahren}$. Dort verbringt die Raumfahrerin einige Tage mit Beobachtungen und Experimenten und reist dann näherungsweise geradlinig gleichförmig zurück zur Erde.

a1)

Die Reisegeschwindigkeit der Rakete soll $v = 0{,}86\,c$ betragen.

a2)

a3)

a4)

b) Gelegentlich wird behauptet, aus Sicht der Raumfahrerin hätten die Erdbewohner während der Reise (inklusive Rückflug) weniger altern müssen, was zu einem Widerspruch führen würde (Zwillingsparadoxon).

b1)

b2)

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Warensicherung mithilfe elektromagnetischer Schwingkreise

Viele Warenhäuser schützen ihre Artikel unter anderem mit Sicherungsetiketten vor Diebstahl. Manche dieser Systeme nutzen elektromagnetische Schwingkreise, die an den Artikeln befestigt sind. Wer das Warenhaus verlässt, geht am Ausgang durch eine sogenannte Schleuse. Führt ein Kunde Ware mit sich, die nicht bezahlt wurde, erkennt die Schleuse das Sicherungsetikett und löst einen Alarm aus.

Teilaufgabe 1: Der ideale elektromagnetische Schwingkreis

Besteht ein elektromagnetischer Schwingkreis ausschließlich aus einem Kondensator und einer Spule, gilt er als ideal, also ungedämpft. In Abbildung 2a sind für einen solchen Schwingkreis die elektrischen Feldlinien im Kondensator und die magnetischen Feldlinien in der Spule zu den Zeitpunkten $t = 0$ und $t = \frac{T}{4}$ schematisch dargestellt. $T$ steht dabei für die Periodendauer der elektromagnetischen Schwingung.

a)

• Skizzieren Sie in Abbildung 2b für die Zeitpunkte $t = \frac{T}{2}$ und $t = \frac{3\cdot T}{4}$ die elektrischen bzw. magnetischen Feldlinien innerhalb der jeweiligen Bauteile.

• Zeichnen Sie für alle vier Zeitpunkte die Polarität des Kondensators sowie die Richtung des Elektronenstroms in die Abbildungen 2a und 2b ein.

• Beschreiben Sie, was im ungedämpften elektromagnetischen Schwingkreis im Zeitraum $0 \leq t \leq \frac{T}{2}$ abläuft, und berücksichtigen Sie dabei vor allem diese Punkte:

die zeitliche Entwicklung der Kondensatorspannung $U$ und der Stromstärke $I$ in der Spule,

die zeitliche Entwicklung der elektrischen und der magnetischen Feldstärke,

die Lenz'sche Regel.

b)

Bei einer ungedämpften elektromagnetischen Schwingung besteht für die Gesamtenergie $E_{\text{ges}}$ zu jedem Zeitpunkt $t$ folgende Beziehung:

$$E_{\text{ges}}(t) = \frac{1}{2}\cdot L\cdot (\dot{Q}(t))^2 + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{C}\cdot (Q(t))^2 = \text{konstant}.$$

$L$ ist die Induktivität der Spule und $C$ die Kapazität des Kondensators. $Q$ steht für die Ladung auf den Kondensatorplatten, $\dot{Q} = I$ für deren zeitliche Ableitung, also die Stromstärke.

Leiten Sie die angegebene Beziehung für die Gesamtenergie $E_{\text{ges}}$ her.

c)

Die Ladung auf den Kondensatorplatten lässt sich zeitabhängig durch $Q(t) = Q_0 \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$ darstellen. $\omega_0$ ist hierbei die Resonanzkreisfrequenz des elektromagnetischen Schwingkreises.

Weisen Sie nach, dass die gegebene Funktion mit $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}$ die in Teilaufgabe b) genannte Beziehung $E_{\text{ges}}(t) = \text{konstant}$ erfüllt.

[Hinweis: Die Beziehung $\sin^2(\omega_0 \cdot t) + \cos^2(\omega_0 \cdot t) = 1$ darf ohne Beweis benutzt werden.]

Teilaufgabe 2: Der reale elektromagnetische Schwingkreis

In einem realen elektromagnetischen Schwingkreis weisen alle Bauelemente Ohm'sche Widerstände auf, die nicht vernachlässigt werden dürfen. Ein solcher Schwingkreis wird experimentell untersucht: Ein Kondensator mit der Kapazität $C = 2{,}0\text{ }\mu\text{F}$ wird zuerst an einer Gleichspannungsquelle mit $U = 1{,}0\text{ V}$ aufgeladen und zur Zeit $t = 0\text{ s}$ mit einer Spule der Induktivität $L = 9{,}0\text{ mH}$ verbunden. Ein Messgerät nimmt den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung $U_C$ auf.

a)

Zeichnen Sie eine passende Schaltskizze zum oben beschriebenen Versuch.

In Abbildung 3 ist die Spannung $U_C$ am Kondensator über der Zeit dargestellt.

b)

• Bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 3 die Periodendauer $T$ der gedämpften elektromagnetischen Schwingung.

• Zeigen Sie, dass die Beziehung $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}$ für die Resonanzfrequenz bei dieser schwach gedämpften elektromagnetischen Schwingung näherungsweise gut gilt.

c)

• Skizzieren Sie qualitativ das $t$-$I$-Diagramm für $0 \leq t \leq 2\cdot T$ in Abbildung 3.

• Erklären Sie, wie es bei der gedämpften elektromagnetischen Schwingung zu Energieverlusten kommt.

d)

• Berechnen Sie mithilfe des Diagramms in Abbildung 3 die Gesamtenergie $E_{\text{ges}}$, die zum Zeitpunkt $t = 0\text{ s}$ im Schwingkreis gespeichert ist.

• Ermitteln Sie, welcher prozentuale Anteil der anfänglichen Gesamtenergie dem Schwingkreis am Ende der ersten Periode nicht mehr zur Verfügung steht.

%

Aufgabenstellung:

Aufgabe: Warensicherung mithilfe elektromagnetischer Schwingkreise

Viele Warenhäuser schützen ihre Artikel unter anderem mit Sicherungsetiketten vor Diebstahl. Manche dieser Systeme nutzen elektromagnetische Schwingkreise, die an den Artikeln befestigt sind. Wer das Warenhaus verlässt, geht am Ausgang durch eine sogenannte Schleuse. Führt ein Kunde Ware mit sich, die nicht bezahlt wurde, erkennt die Schleuse das Sicherungsetikett und löst einen Alarm aus.

Teilaufgabe 3: Das Warensicherungsetikett als elektromagnetischer Schwingkreis

Gegenstand dieser Teilaufgabe ist ein Warensicherungssystem, das als Modellversuch untersucht wird (siehe Abbildung 4).

Den Durchgang (die Schleuse), den Kunden beim Verlassen eines Warenhauses passieren, bilden im Modellversuch zwei Spulen mit großem Durchmesser nach. Der dicke Pfeil in Abbildung 4 gibt modellhaft die Gehrichtung eines Kunden an. Eine Spule ist mit einer Wechselstromquelle verbunden und erzeugt dadurch ein zeitlich veränderliches Magnetfeld; sie heißt im Folgenden Sendespule. Die zweite Spule ist mit einem Oszilloskop verbunden und heißt im Folgenden Empfangsspule.

a)

Das mit der Empfangsspule verbundene Oszilloskop zeigt in Abbildung 4 eine Wechselspannung.

Erläutern Sie den Aufbau qualitativ unter dem Gesichtspunkt der elektromagnetischen Induktion.

Vereinfachend wird das maßgebliche zeitlich veränderliche Magnetfeld am Ort der Empfangsspule als homogen angenommen und mit $B(t) = B_{\max} \cdot \cos(2 \cdot \pi \cdot f \cdot t)$ beschrieben. Die Amplitude der an der Empfangsspule gemessenen Wechselspannung ergibt sich aus $U_{\max} = n \cdot A \cdot B_{\max} \cdot 2 \cdot \pi \cdot f$; dabei ist $n$ die Windungszahl und $A$ die Querschnittsfläche der Empfangsspule.

Leiten Sie die angegebene Beziehung für die Spannungsamplitude der Wechselspannung mithilfe eines allgemeinen Induktionsgesetzes her.

b)

In Abbildung 5 liegt ein Schwingkreis als Warensicherungsetikett zwischen Sende- und Empfangsspule.

Die Achsen aller drei Spulen sind parallel zueinander. Im Schwingkreis des Etiketts wird dabei eine elektromagnetische Schwingung mit konstanter Amplitude angeregt.

Erklären Sie, warum dem Schwingkreis des Etiketts hierfür fortwährend Energie zugeführt werden muss.

In Abbildung 5 ist die Amplitude $U_{\max}$ der an der Empfangsspule gemessenen Wechselspannung deutlich kleiner als in Abbildung 4.

Erläutern Sie dies unter Verwendung des in Aufgabenteil a) genannten Terms für $U_{\max}$.

Im Modellversuch gilt die kleinere Spannungsamplitude in Abbildung 5 im Vergleich zu Abbildung 4 als Nachweis (Detektion) eines Warensicherungsetiketts.

Beurteilen Sie, ob das im Modellversuch gezeigte Warensicherungssystem funktioniert, wenn die Spulenachse im Etikett senkrecht zur Achse der Sendespule steht.

c)

Nach dem Bezahlen wird ein Warensicherungsetikett deaktiviert. Hierzu wird im Kondensator des Etiketts durch eine sehr hohe Spannung zwischen den Platten ein Kurzschluss hervorgerufen. Dafür steht ein zeitlich konstantes, räumlich begrenztes und homogenes Magnetfeld bereit (siehe Abbildung 6).

Beschreiben Sie, wie sich mit dem Magnetfeld aus Abbildung 6 eine möglichst große Spannung zwischen den Kondensatorplatten des Etiketts erzielen lässt.

Begründen Sie das von Ihnen beschriebene Vorgehen.

d)

Der in Aufgabenteil c) behandelte Kurzschluss vermindert die Kapazität des Kondensators im Etikett, sodass danach dauerhaft $C \approx 0$ gilt. Betrachtet wird ein Etikett nach dem Kurzschluss, das sich beim Verlassen des Warenhauses zwischen Sende- und Empfangsspule befindet.

Begründen Sie, warum dieses Etikett nicht detektiert wird.

Aufgabe: Eigenschaften der Antimaterie und der fundamentalen Wechselwirkungen

Teilaufgabe 1: Entdeckung des Positrons und seine Eigenschaften

Als „elementare“ geladene Teilchen kannte man zu Beginn der dreißiger Jahre des vergangenen Jahrhunderts nur das Elektron und das Proton. Die kosmische Strahlung zu erforschen war zu dieser Zeit ein hochaktuelles Thema. Man wusste bereits, dass kosmische Strahlung eine energiereiche, ionisierende Strahlung aus dem Weltraum ist, doch über ihre Zusammensetzung gab es bis dahin nur Vermutungen.

Ein damals gebräuchliches Nachweisgerät für ionisierende Teilchenstrahlung war die Nebelkammer. Sie besteht aus einer Kammer, in der sich der gesättigte Dampf einer Flüssigkeit befindet, und jede noch so geringe Ionisation an einem Punkt des Raums führt dort zur Kondensation des Dampfes in winzige Tröpfchen. Schnelle geladene Teilchen ionisieren entlang ihrer Bahnkurve das Gas in der Nebelkammer und die dadurch entstehenden Tröpfchenspuren machen ihre Bahnen sichtbar.

Aus der Bahnkurve eines geladenen Teilchens in einer Nebelkammer lässt sich vor allem das Verhältnis von Ladung $q$ zu Impuls $p$ ermitteln, sofern die gesamte Nebelkammer von einem homogenen Magnetfeld der Stärke $B$ durchsetzt wird. Für die geladenen Teilchen der kosmischen Strahlung darf angenommen werden, dass sich ihre kinetische Energie beim Durchqueren des Gasvolumens der Nebelkammer nicht ändert.

a)

Beschreiben Sie qualitativ, wie die Bahn eines geladenen Teilchens im homogenen Magnetfeld einer Nebelkammer verläuft, wenn das Teilchen senkrecht zum Magnetfeld eintritt und die Kammer an einer anderen Stelle wieder verlässt.

Der Krümmungsradius $r$ der Spur eines solchen geladenen Teilchens in der Nebelkammer genügt der Beziehung $r = \frac{p}{q \cdot B}$, wobei $p$ der Impuls und $q$ die Ladung des Teilchens ist.

Leiten Sie diese Beziehung her.

Bei einer einzelnen, ununterbrochenen Spur eines unbekannten Teilchens in der Nebelkammer lässt sich zunächst nicht feststellen, in welcher Richtung das Teilchen die Bahn durchlaufen hat. Selbst bei bekanntem Magnetfeld kann man deshalb nichts über das Vorzeichen der Ladung aussagen.

b)

Aus der Bahnkurve des Teilchens in Abbildung 1 lässt sich dagegen das Ladungsvorzeichen ermitteln. Auf dieser Fotografie zeigt das Magnetfeld $\vec{B}$ in die Papierebene hinein; das Teilchen durchquert in der Nebelkammer eine dünne Bleiplatte und verliert dabei einen Teil seiner kinetischen Energie.

Beschreiben Sie qualitativ den Verlauf der Bahn des Teilchens oberhalb und unterhalb der Bleiplatte.

Begründen Sie qualitativ mithilfe von Teilaufgabe a), warum das Teilchen die Bleiplatte von unten nach oben durchquert haben muss.

Bestimmen Sie anhand dieser Bahnkurve das Vorzeichen der Ladung des Teilchens.

Aufgabe: Eigenschaften der Antimaterie und der fundamentalen Wechselwirkungen

Teilaufgabe 1: Entdeckung des Positrons und seine Eigenschaften

Als „elementare“ geladene Teilchen kannte man zu Beginn der dreißiger Jahre des vergangenen Jahrhunderts nur das Elektron und das Proton. Die kosmische Strahlung zu erforschen war zu dieser Zeit ein hochaktuelles Thema. Man wusste bereits, dass kosmische Strahlung eine energiereiche, ionisierende Strahlung aus dem Weltraum ist, doch über ihre Zusammensetzung gab es bis dahin nur Vermutungen.

Ein damals gebräuchliches Nachweisgerät für ionisierende Teilchenstrahlung war die Nebelkammer. Sie besteht aus einer Kammer, in der sich der gesättigte Dampf einer Flüssigkeit befindet, und jede noch so geringe Ionisation an einem Punkt des Raums führt dort zur Kondensation des Dampfes in winzige Tröpfchen. Schnelle geladene Teilchen ionisieren entlang ihrer Bahnkurve das Gas in der Nebelkammer und die dadurch entstehenden Tröpfchenspuren machen ihre Bahnen sichtbar.

Aus der Bahnkurve eines geladenen Teilchens in einer Nebelkammer lässt sich vor allem das Verhältnis von Ladung $q$ zu Impuls $p$ ermitteln, sofern die gesamte Nebelkammer von einem homogenen Magnetfeld der Stärke $B$ durchsetzt wird. Für die geladenen Teilchen der kosmischen Strahlung darf angenommen werden, dass sich ihre kinetische Energie beim Durchqueren des Gasvolumens der Nebelkammer nicht ändert.

Teilaufgabe 1 (Fortsetzung): Entdeckung des Positrons und seine Eigenschaften

Bei Messungen auf einem 4200 m hohen Berg konnten 1932 in einer Nebelkammer, die mit einem homogenen Magnetfeld durchsetzt war, Spuren geladener Teilchen der kosmischen Strahlung aufgezeichnet werden.

Der amerikanische Physiker Carl Anderson entdeckte bei der Auswertung dieser Nebelkammerspuren Hinweise auf „leichte“, positiv geladene Teilchen. Seiner ersten Veröffentlichung zu dieser Entdeckung war folgende Zusammenfassung (Abstract) vorangestellt:

„Aus insgesamt 1300 Fotografien von Spuren kosmischer Strahlung in einer vertikalen Wilson-Nebelkammer konnten 15 Spuren positiven Teilchen zugeordnet werden, welche keine so große Masse wie ein Proton haben. Aus einer Untersuchung des Energieverlustes und des Ionisationsverhaltens wird geschlossen, dass deren Ladung geringer als zwei Elementarladungen und wahrscheinlich genau gleich der Ladung eines Protons ist. Diese positiv geladenen Teilchen müssen für die beobachteten Krümmungen und Ionisationsdichten eine Masse aufweisen, die weniger als das Zwanzigfache der Elektronenmasse beträgt. Diese Teilchen werden Positronen genannt.“

(Übersetzung aus: Physical Review 43 (1932), S. 491 ff.)

c)

Begründen Sie mithilfe dieser Zusammenfassung und der Angaben im Einführungstext auf Seite 1, weshalb Anderson seinerzeit annehmen durfte, eine neue Teilchenart gefunden zu haben. [4 Punkte]

Es stellte sich schließlich heraus, dass es sich bei dem von Anderson entdeckten Positron um das Antiteilchen des Elektrons handelt.

Zwei Jahre später, 1934, wurde das Positron dann erstmals in einem radioaktiven Zerfallsprozess nachgewiesen. Physiker setzten dazu eine Aluminiumfolie einer $\alpha$-Strahlung aus und es gelang ihnen infolge dieser Bestrahlung der Nachweis von Neutronen $^1\text{n}$ und Positronen $\text{e}^+$.

Es kam bei diesem Experiment zu der folgenden Kernreaktion:

$${}^{27}\text{Al} + {}^4\alpha \rightarrow {}^{30}\text{P} + {}^1\text{n} \rightarrow {}^{30}\text{Si} + \text{e}^+ + \nu_\text{e} + {}^1\text{n}$$

d)

Beschreiben Sie, wie diese Kernreaktion abläuft. [4 Punkte]

Teilaufgabe 2: Quarks, Leptonen und ihre Eigenschaften

Die heutige Systematik des Standardmodells teilt die elementaren Teilchen in Quarks und Leptonen ein. Das Elektron $\text{e}^-$ gehört zur Teilchenart der Leptonen.

Abbildung 2 zeigt einen Überblick über alle Elementarteilchen des Standardmodells.

a)

Quarks unterliegen, anders als Leptonen, der Starken Wechselwirkung. Sie treten aus diesem Grund nie als Einzelteilchen, sondern immer in einem Dreierverbund auf und sind die elementaren Bausteine der Protonen und Neutronen.

• Geben Sie an, aus welchen Quarks sich ein Proton bzw. ein Neutron zusammensetzt. [2 Punkte]

• Begründen Sie die elektrischen Ladungen dieser Quarks mithilfe der Gesamtladung von Proton bzw. Neutron. [4 Punkte]

b)

Das Elektron $\text{e}^-$ ist ebenso wie das Myon $\mu^-$ und das Tau $\tau^-$ ein elektrisch geladenes Lepton. Neben diesen drei Leptonen zählt das Standardmodell der Elementarteilchen auch die drei Neutrinoarten $\nu_\text{e}$, $\nu_\mu$ und $\nu_\tau$ zu den Leptonen.

Begründen Sie mithilfe der Angaben im Einleitungstext von Teilaufgabe 1, weshalb Neutrinos im Unterschied zu Elektron, Myon und Tau in einer Nebelkammer keine Spur erzeugen. [3 Punkte]

c)

Jedes Teilchen des Standardmodells besitzt ein entsprechendes Antiteilchen.

• Erläutern Sie, bei welcher Eigenschaft sich ein geladenes Lepton von seinem Antiteilchen unterscheidet und bei welcher nicht. [2 Punkte]

• Beschreiben Sie unter Angabe einer Reaktionsgleichung den Vorgang, wenn ein Elektron mit seinem Antiteilchen zusammentrifft. [3 Punkte]

Beim Nuklid $^{22}\text{Na}$ handelt es sich um einen $\beta^+$-Strahler. Abbildung 3 zeigt zum einen das Zerfallsschema dieses Nuklids und zum anderen das mit einem Detektor gemessene Gammaspektrum einer $^{22}\text{Na}$-Quelle.

• Erklären Sie mithilfe des Zerfallsschemas, wie die beiden Linien (1) und (2) im Gammaspektrum von $^{22}\text{Na}$ entstehen. [5 Punkte]

Die Ruhemasse eines Elektrons beträgt $m_\text{e} = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\text{ kg}$.

• Bestimmen Sie hiermit die exakte Energie der Linie (1) im Gammaspektrum in Abbildung 3. [5 Punkte]

Teilaufgabe 3: Das Wasserstoffatom aus der Perspektive der Elementarteilchenphysik

Das einfachste Atom ist das Wasserstoffatom. Es besteht aus einem Proton im Atomkern und einem Elektron in der Atomhülle. Das Hüllenelektron kann verschiedene Anregungszustände im Atom annehmen. Abbildung 4 zeigt das Niveauschema des Hüllenelektrons im Wasserstoffatom. Der Zustand mit der Bindungsenergie $E_\text{B} = -13{,}61\text{ eV}$ ist dabei der Grundzustand des Elektrons.

Die Bindungsenergie des Elektrons im Wasserstoffatom errechnet sich mit der Formel

$$E_\text{B} = -\frac{m_\text{e} \cdot e^4}{8 \cdot \varepsilon_0^2 \cdot h^2 \cdot n^2},\quad \text{wobei } n = 1, 2, \dots \text{ die Hauptquantenzahl des Elektronenzustands bezeichnet.}$$

a)

Bestimmen Sie rechnerisch die Bindungsenergie $E_\text{B}$ des Zustands mit der Hauptquantenzahl $n = 4$ in der Einheit $\text{J}$. [2 Punkte]

b)

Nach den hier zugrunde liegenden Theorien ist es mittlerweile praktisch realisierbar, ein Anti-Wasserstoffatom mit einem Antiproton im Kern und einem Positron in der Hülle herzustellen.

Begründen Sie, dass die Zustandsenergien eines Positrons in der Hülle eines Anti-Wasserstoffatoms mit denen des Wasserstoffatoms in Abbildung 4 übereinstimmen müssen. [3 Punkte]

c)

Die Bindungsenergie $E_\text{B}$ eines Elektrons im Wasserstoffatom kann in der Sprache der Elementarteilchenphysik auch mit dem Parameter $\alpha_\text{E.m.}$, der sogenannten „Kopplungsstärke“ der elektromagnetischen Wechselwirkung zwischen den elektrischen Ladungen von Elektron und Proton ausgedrückt werden. Die Kopplungsstärke $\alpha$ ist in der Elementarteilchenphysik allgemein ein Maß für die „Stärke“ einer Wechselwirkung.

Unter Verwendung der Kopplungsstärke $\alpha_\text{E.m.}$ lautet die Formel für die Bindungsenergie des Elektrons im Wasserstoffatom: $E_\text{B} = -\frac{1}{2} \cdot m_\text{e} \cdot c^2 \cdot \alpha_\text{E.m.}^2 \cdot \frac{1}{n^2}$.

• Zeigen Sie durch eine Betrachtung der Einheiten, dass die Kopplungsstärke $\alpha_\text{E.m.}$ dimensionslos ist. [2 Punkte]

• Bestimmen Sie durch Vergleich mit der Formel für die Bindungsenergie des Elektrons im Wasserstoffatom einen Ausdruck der Kopplungsstärke $\alpha_\text{E.m.}$ der elektromagnetischen Wechselwirkung mit Naturkonstanten. [4 Punkte]

• Zeigen Sie, dass für die Kopplungsstärke gilt: $\alpha_\text{E.m.} \approx \frac{1}{137}$. [2 Punkte]

d)

Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik kennt insgesamt vier grundlegende Wechselwirkungen. Es handelt sich um die „Starke-“, die „Schwache-“, die „Elektromagnetische-“ sowie die „Gravitationswechselwirkung“. Ähnlich wie für die Elektromagnetische Wechselwirkung kann auch für jede der drei anderen grundlegenden Wechselwirkungen jeweils eine dimensionslose Kopplungsstärke bestimmt werden.

Abbildung 5 zeigt größenordnungsmäßig die Werte dieser Kopplungsstärken $\alpha$ für die vier grundlegenden Wechselwirkungen.

Bestimmen Sie mithilfe dieser Abbildung der Größenordnung nach, um welchen Faktor die elektromagnetische Wechselwirkung auf elektrisch geladene Elementarteilchen „stärker“ wirkt als die Gravitationswechselwirkung. [3 Punkte]

e)

Erläutern Sie qualitativ, inwiefern die grundlegenden Wechselwirkungen (mit Ausnahme der Gravitation) die physikalischen Eigenschaften von Kern und Elektronenhülle eines $^3\text{H}$-Atoms bestimmen.

Hinweis: Das Wasserstoffisotop $^3\text{H}$ (sogenanntes „Tritium“) ist ein $\beta^-$-Strahler. [5 Punkte]