Abitur NRW Physik 2021 · GK · Haupttermin

Aufgabe: Induktion und Wirbelströme

Teilaufgabe 1: Physikalische Grundlagen der elektrischen Energieversorgung

Unser ganzes Alltagsleben basiert auf der ständigen Verfügbarkeit von elektrischer Energie. In Kraftwerken werden verschiedene Formen der Primärenergie zunächst in Bewegungsenergie und diese schließlich in elektrische Energie umgesetzt. Dabei kommt bei der Umsetzung von Bewegungsenergie in elektrische Energie ein Generator zum Einsatz. Abbildung 1 zeigt die wesentlichen Bestandteile eines Generators.

a)

• Beschreiben Sie mithilfe dieser Skizze den grundsätzlichen Aufbau eines Generators und berücksichtigen Sie dabei die in Abbildung 1 nummerierten Bauteile.

• Erläutern Sie qualitativ, also ohne mathematische Beziehungen zu verwenden, inwiefern die elektromagnetische Induktion für die Funktionsweise grundlegend ist.

Im Weiteren geht es zunächst um die mathematisierte Formulierung des Induktionsgesetzes.

In einem homogenen Magnetfeld der Stärke $B$ befindet sich eine ebene Leiterschleife. Diese Leiterschleife besitzt bezüglich des homogenen Magnetfeldes eine effektive Querschnittsfläche $A_{\text{eff}}$, die je nach Orientierung der Leiterschleife ein positives oder negatives Vorzeichen besitzen kann. Diese effektive Querschnittsfläche $A_{\text{eff}}$ wird von dem homogenen Magnetfeld orthogonal durchsetzt (siehe Abbildung 2).

Für eine Induktionsspannung $U_{\text{ind}}$ in einer Leiterschleife mit Windungszahl $n$ kann es zwei mögliche Ursachen geben, die durch die beiden folgenden Zusammenhänge beschrieben werden:

$$(1)\ U_{\text{ind}} = -n\cdot B\cdot \frac{\Delta A_{\text{eff}}}{\Delta t} \qquad\qquad (2)\ U_{\text{ind}} = -n\cdot A_{\text{eff}}\cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}$$

In beiden Zusammenhängen bezeichnet $\Delta t$ ein kurzes Zeitintervall.

In der exakten Formulierung gehen im Grenzfall immer kürzer werdender Zeitintervalle bei beiden Zusammenhängen die zeitlichen Änderungsraten $\frac{\Delta A_{\text{eff}}}{\Delta t}$ bzw. $\frac{\Delta B}{\Delta t}$ in die jeweilige Ableitung nach der Zeit über. Die beiden Zusammenhänge lauten dann:

$$(1)\ U_{\text{ind}} = -n\cdot B\cdot \dot{A}_{\text{eff}} \qquad\qquad (2)\ U_{\text{ind}} = -n\cdot A_{\text{eff}}\cdot \dot{B}$$

b)

• Erläutern Sie, was die beiden angegebenen Zusammenhänge physikalisch aussagen.

• Begründen Sie, warum bei einem Generator wie in Abbildung 1 der Zusammenhang (2) nicht die Ursache der Induktionsspannung sein kann.

• Erklären Sie qualitativ, dass sich im Betrieb eines Generators wie in Abbildung 1 die effektive Fläche $A_{\text{eff}}$ der Leiterschleife fortwährend zeitlich ändert.

c)

Beim Betrieb eines typischen Generators wird die in Abbildung 3 dargestellte Generatorspannung erzeugt. Dabei bezeichnet $\hat{U}$ die Spannungsamplitude.

Für die Zeitabhängigkeit der effektiven Querschnittsfläche $A_{\text{eff}}$ kann dabei der folgende Zusammenhang angenommen werden: $A_{\text{eff}}(t) = A_{\text{L}} \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T}\cdot t\right)$.

Es ist dabei vorausgesetzt, dass die Fläche der Leiterschleife $A_{\text{L}}$ zum Zeitpunkt $t = 0$ orthogonal zu den Feldlinien des homogenen Magnetfeldes steht und komplett von diesem homogenen Magnetfeld durchsetzt wird. Die Größe $T$ bezeichnet dabei die Umdrehungsdauer der Leiterschleife.

Zeigen Sie, dass für die induzierte Spannung in diesem Fall folgt: $U(t) = \hat{U}\cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T}\cdot t\right)$ mit der Spannungsamplitude $\hat{U} = n\cdot B\cdot A_{\text{L}}\cdot \frac{2\pi}{T}$.

d)

In einem konkreten Generator dieses Typs beträgt die Fläche der Leiterschleife $A_{\text{L}} = 50{,}0\text{ cm}^2$, deren Windungszahl $n = 300$, die Stärke des Magnetfeldes $B = 250\text{ mT}$, und die Leiterschleife dreht sich pro Minute 3000-mal im Magnetfeld.

Bestimmen Sie die Spannungsamplitude $\hat{U}$ dieses Generators im beschriebenen Betrieb.

Teilaufgabe 2: Elektrische Wirbelströme und ihre Anwendung beim Induktionsherd

Der Induktionsherd ist eine Alltagsanwendung von Wirbelströmen und hat Vorteile gegenüber Herdtypen mit direkter thermischer Energiezufuhr. Der schematische Aufbau eines Induktionsherdes ist in Abbildung 4 dargestellt.

Der wesentliche Bestandteil eines Induktionsherdes ist die Feldspule, in der ein sehr schnell wechselndes, sogenanntes „hochfrequentes“ Magnetfeld erzeugt wird. Dieses sich schnell ändernde Magnetfeld verursacht im elektrisch leitenden Boden des Kochgeschirrs Induktionseffekte, welche dort zu einer starken Erwärmung führen.

Mit folgender Messung wurde das hochfrequente Magnetfeld untersucht. Auf einem eingeschalteten Induktionskochfeld wurde eine Leiterschleife mit drei Windungen platziert und der zeitliche Verlauf der darin induzierten Spannung mit einem Oszilloskop gemessen (Versuchsaufbau siehe Abbildung 5).

a)

Begründen Sie qualitativ, dass bei der in Abbildung 5 gezeigten Messung allein der Zusammenhang (2) $U_{\text{ind}} = -n\cdot A_{\text{eff}}\cdot \dot{B}$ (siehe Teilaufgabe 1b) für die im Oszilloskop gemessene Spannung verantwortlich ist.

Abbildung 6 zeigt die Einstellung der Zeitablenkung des Oszilloskops bei dieser Messung sowie den gemessenen zeitlichen Verlauf der induzierten Spannung in der Leiterschleife.

Im Folgenden soll von dem in Abbildung 6 eingezeichneten vereinfachend angenommenen Verlauf der Induktionsspannung ausgegangen werden.

b)

• Bestimmen Sie anhand von Abbildung 6 die Periodendauer $T$, in der sich das hochfrequente Magnetfeld des Induktionskochfeldes periodisch ändert.

• Geben Sie die Frequenz $f$ der Induktionsspannung in $\text{kHz}$ an.

• Begründen Sie qualitativ, dass das Magnetfeld in der Feldspule dieses Induktionsherdes zeitlich so verläuft wie in Abbildung 7.

kHz

c)

Durch das sich schnell ändernde Magnetfeld in der Feldspule des Induktionsherdes werden Wirbelströme im elektrisch leitenden Boden des Kochgeschirrs hervorgerufen. Abbildung 8 zeigt eine Modellvorstellung für die Entstehung der Wirbelströme. Den Boden eines Induktionskochtopfs kann man sich aus vielen konzentrischen Kreisringen aufgebaut vorstellen. Jeder dieser Ringe ist eine kurzgeschlossene Leiterschleife.

Erklären Sie qualitativ, wie auf dem Induktionsherd in einem Kreisring des Topfbodens ein Kreisstrom, der sogenannte „Wirbelstrom“, entsteht.

d)

Für die Heizleistung $P_{\text{Heiz}}$ des Wirbelstroms in einem Kreisring der Breite $b = 1\text{ mm}$ in einem typischen Material für den Boden eines Induktionskochtopfs gilt:

$$P_{\text{Heiz}} = \left(0{,}22\,\frac{\text{m}}{\Omega}\right) \cdot \left(\frac{\Delta B}{\Delta t}\right)^2 \cdot r^3$$

Dabei bezeichnet $r$ den Radius des Kreisrings (in $\text{m}$) und $\frac{\Delta B}{\Delta t}$ die Änderungsrate des Magnetfeldes auf der Induktionsherdplatte.

• Zeigen Sie mithilfe einer Einheitenbetrachtung, dass die rechte Seite des angegebenen Zusammenhangs wirklich die Einheit einer Leistung ($1\text{ W} = 1\,\frac{\text{J}}{\text{s}}$) hat.

Bei dem in Teilaufgabe 2a) untersuchten Induktionsherd beträgt die Änderungsrate des Magnetfeldes $\frac{\Delta B}{\Delta t} = 320\,\frac{\text{T}}{\text{s}}$.

• Bestimmen Sie mit dem obigen Zusammenhang die Heizleistung $P_{\text{Heiz}}$ des Wirbelstroms in einem Kreisring der Breite $b = 1\text{ mm}$ mit $r = 10\text{ cm}$ in $\text{W}$.

Aufgabe: Der Franck-Hertz-Versuch mit Quecksilber

Mit dem Franck-Hertz-Versuch lassen sich bedeutsame Aussagen über die Struktur von Atomen gewinnen.

Teilaufgabe 1: Aufbau des Franck-Hertz-Versuchs

In Abbildung 1 ist der Versuchsaufbau des Franck-Hertz-Versuchs mit Quecksilberdampf schematisch dargestellt. $U_\mathrm{H}$ steht für die Heizspannung, $I_\mathrm{A}$ für den Anodenstrom. Die Spannung $U_\mathrm{B}$ kann dabei variiert werden.

a)

• Erläutern Sie, welche Aufgabe die Bauelemente des Franck-Hertz-Versuchs in Abbildung 1 haben und was die Spannungen $U_\mathrm{B}$ und $U_\mathrm{G}$ bedeuten.

• Geben Sie an, wie die Spannungen $U_\mathrm{B}$ und $U_\mathrm{G}$ in Abbildung 1 bei einer typischen Durchführung des Franck-Hertz-Versuchs gepolt sind.

b)

Beschreiben Sie, wie der Franck-Hertz-Versuch mit Quecksilber durchgeführt wird.

Teilaufgabe 2: Auswertung des Versuchs

In diesem Versuch ist $U_\mathrm{G} = 1{,}5\ \mathrm{V}$ eingestellt. Abbildung 2 stellt das $U_\mathrm{B}$-$I_\mathrm{A}$-Diagramm dar, das bei einer Änderung von $U_\mathrm{B}$ von $0$ bis $32\ \mathrm{V}$ entsteht.

a)

• Beschreiben Sie den Kurvenverlauf in Abbildung 2.

• Geben Sie die Werte der Spannung $U_\mathrm{B}$ an, bei denen der Anodenstrom $I_\mathrm{A}$ im Diagramm in Abbildung 2 seine Maxima erreicht.

b)

Begründen Sie, warum nur dann ein Anodenstrom $I_\mathrm{A}$ größer als Null auftritt, wenn $U_\mathrm{B}$ den Wert $1{,}5\ \mathrm{V}$ übersteigt.

c)

• Erklären Sie, warum die Stromstärke $I_\mathrm{A}$ im Diagramm in Abbildung 2 zum ersten Mal abnimmt.

• Erläutern Sie, warum $I_\mathrm{A}$ im weiteren Verlauf wiederholt abnimmt.

• Bestimmen Sie anhand des Diagramms in Abbildung 2 die Anregungsenergie $E_\mathrm{Hg}$ von Quecksilber.

Es wird angenommen, dass angeregtes Quecksilber unmittelbar in den Grundzustand zurückkehrt.

• Berechnen Sie die Wellenlänge $\lambda_\mathrm{Hg}$, die im Versuch beim Übergang des angeregten Quecksilbers in den Grundzustand auftreten müsste.

• Begründen Sie, warum das menschliche Auge die Strahlung der Wellenlänge $\lambda_\mathrm{Hg}$ in diesem Versuch nicht wahrnehmen kann.

d)

Abbildung 3 zeigt ein vereinfachtes Energieniveauschema von Quecksilber.

Neben der $\lambda_\mathrm{Hg}$-Linie besitzt das Spektrum einer Quecksilber-Dampflampe auch Linien im sichtbaren Bereich.

Erläutern Sie anhand des Energieschemas in Abbildung 3, warum sich die Anregungsenergien der sichtbaren Spektrallinien von Quecksilber im $U_\mathrm{B}$-$I_\mathrm{A}$-Diagramm in Abbildung 2 nicht zeigen.

e)

Bestimmen Sie die Mindestgeschwindigkeit $v$, die ein Elektron gemäß Abbildung 3 besitzen muss, damit es ein Quecksilberatom anregen kann.

Teilaufgabe 3: Absorption von Energieportionen

Auch außerhalb des Franck-Hertz-Versuchs werden in Experimenten Energieportionen absorbiert. So kann man etwa Kochsalz, das Natrium enthält, in einer Bunsenbrennerflamme verdampfen und diese Flamme überkreuz zugleich mit Licht einer Quecksilberdampflampe und einer Natriumdampflampe bestrahlen. Abbildung 4 gibt den Aufbau schematisch wieder, Abbildung 5 zeigt eine Aufnahme des Versuchs. Dabei fällt das Licht der Natriumdampflampe nur auf Schirm 1, das der Quecksilberdampflampe nur auf Schirm 2.

a)

• Beschreiben Sie, was auf den Schirmen in Abbildung 5 zu beobachten ist.

• Erläutern Sie die beschriebenen Beobachtungen.

b)

Erläutern Sie, worin sich die Energieübertragung im Versuch in Abbildung 5 von der im Franck-Hertz-Versuch unterscheidet.

c)

1911 präsentierte E. Rutherford ein damals neuartiges Atommodell, in dem sich Elektronen auf beliebigen Kreisbahnen um einen positiv geladenen Kern bewegen.

Erläutern Sie, welche grundlegende Einsicht diesem Modell noch fehlte, um die Ergebnisse des Versuchs in Abbildung 5 sowie des Franck-Hertz-Versuchs erklären zu können.

Aufgabe: Der Photoeffekt

Teilaufgabe 1: Albert Einstein und der Photoeffekt

Albert Einstein ist es gelungen, den Photoeffekt mithilfe des Teilchencharakters von Licht zu erklären. Für die Energiebilanz des Photoeffekts ist nach Einstein die folgende Gleichung von Bedeutung:

$$h \cdot f = E_{\text{kin}} + E_{\text{A}}$$

Dabei bezeichnen $h$ das Planck’sche Wirkungsquantum, $f$ die Frequenz des eingestrahlten Lichts, $E_{\text{kin}}$ die kinetische Energie eines Elektrons und $E_{\text{A}}$ dessen Austrittsenergie.

a)

• Beschreiben Sie knapp die physikalische Erscheinung, die man Photoeffekt nennt.

• Erläutern Sie die gegebene Gleichung vor dem Hintergrund des Photoeffekts.

b)

Abbildung 1 zeigt eine Sonderbriefmarke, die zu Ehren Albert Einsteins von der Deutschen Bundespost herausgegeben wurde. Die Briefmarke zeigt Licht in sechs unterschiedlichen Farben, das auf eine Metallschicht trifft. Die neun dicken schwarzen Punkte stellen Elektronen dar, die gepunkteten Linien deren Bahnkurven und die Pfeile die zugehörigen Geschwindigkeitsvektoren.

• Erklären Sie unter Verwendung des Photoeffekts, warum die Pfeile, die im rechten Bereich der Abbildung 1 beginnen, wesentlich länger gezeichnet sind als die Pfeile im linken Bereich der Abbildung 1.

• Interpretieren Sie physikalisch, dass im roten Bereich keine gepunkteten Linien eingezeichnet sind.

Teilaufgabe 2: Experimentelle Untersuchung des Photoeffekts

Eine Photozelle besteht aus einem evakuierten Glaskolben, in dem sich zwei Elektroden befinden. Auf die Kathode (K) ist eine metallische Schicht aufgedampft. Vor der Kathode sitzt als Anode (A) ein kreisförmig gebogener Metallring. Die Kathode wird durch eine Blende (B) mit Licht einer Quecksilberdampflampe (QDL) beleuchtet. Mithilfe von Farbfiltern (F) erhält man monochromatisches Licht. Zwischen Kathode und Anode wird die Stärke des Photostroms $I_{\text{Ph}}$ in Abhängigkeit von einer angelegten Gegenspannung $U_G$ gemessen. Abbildung 2 zeigt eine schematische Darstellung der Photozelle sowie deren Beschaltung für die Gegenfeldmethode.

a)

Mittels der beiden Messgeräte aus Abbildung 2 werden die Gegenspannung $U_G$ und die Photostromstärke $I_{\text{Ph}}$ gemessen. Abbildung 3 zeigt die gemessene Photostromstärke $I_{\text{Ph}}$ in Abhängigkeit von der angelegten Gegenspannung $U_G$ bei der Beleuchtung der Photozelle mit Licht der Wellenlänge $\lambda = 436\text{ nm}$.

b)

Die Blendenöffnung wird nun bei gleicher Wellenlänge vergrößert, sodass sich ein größerer Lichtfleck auf der Kathode bildet.

Skizzieren Sie in Abbildung 3 einen möglichen Graphen, der die geänderten Versuchsbedingungen berücksichtigt.

c)

Die kinetische Energie der aus der Kathode ausgelösten Elektronen kann mithilfe der Beziehung $E_{\text{kin}} = e \cdot U_{G,\text{max}}$ berechnet werden, wobei $e$ die Elementarladung bezeichnet.

• Erläutern Sie, warum sich mit der gegebenen Beziehung die kinetische Energie der ausgelösten Elektronen bestimmen lässt.

• Leiten Sie den Zusammenhang $U_{G,\text{max}} = \frac{h}{e} \cdot f - \frac{E_{\text{A}}}{e}$ zwischen der Grenzspannung $U_{G,\text{max}}$ und der Frequenz $f$ des eingestrahlten Lichts her.

d)

Die folgende Tabelle zeigt die Messwerte einer Messreihe, bei der die Grenzspannung $U_{G,\text{max}}$ in Abhängigkeit von der Frequenz $f$ des verwendeten Lichts gemessen wurde.

$f$ in $10^{14}\text{ Hz}$

5,19

5,49

6,88

7,40

$U_{G,\text{max}}$ in V

0,13

0,27

0,81

1,02

Bestimmen Sie durch eine grafische Auswertung unter Einbeziehung sämtlicher Messwerte:

Teilaufgabe 3: Lenard-Versuch

Zur Bestimmung der spezifischen Ladung $\frac{e}{m}$ der beim Photoeffekt ausgelösten Elektronen entwarf der Physiker Philipp Lenard 1899 eine Vakuumröhre, deren Prinzip in Abbildung 4 dargestellt ist.

Die Kathode im Inneren der Röhre wird mit monochromatischem UV-Licht bestrahlt. Zwischen der Kathode (K) und der Anode (A) wird eine Spannung $U_{\text{B}}$ angelegt, sodass die aus der Kathode ausgelösten Elektronen zur Anode beschleunigt werden. Die durch ein in der Anode befindliches Loch hindurchtretenden Elektronen treffen auf einen Auffänger ($P_1$) und werden durch ein Messgerät ($E_1$) registriert.

Durch ein geeignetes homogenes Magnetfeld der Stärke $B$ hinter der Anode (A) können die Elektronen zu einem zweiten Auffänger ($P_2$) abgelenkt und dort ebenfalls durch ein Messgerät ($E_2$) gemessen werden.

a)

b)

Zwischen der kinetischen Energie $E_{\text{kin,A}}$ beim Eintritt in das zeitlich konstante Magnetfeld der Stärke $B$ und dem Radius $r$ der Kreisbahn gilt der Zusammenhang

$$E_{\text{kin,A}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^2}{m} \cdot r^2 \cdot B^2.$$

Beurteilen Sie, ob die Wellenlänge $\lambda$ des eingestrahlten UV-Lichts bei kleinen Beschleunigungsspannungen $U_{\text{B}}$ einen Einfluss auf den Radius $r$ der Kreisbahn hat.

c)

Zwischen Kathode und Anode liegt die Beschleunigungsspannung $U_{\text{B}} = 600\text{ V}$ an. Damit die Elektronen den Auffänger $P_2$ auf einer Kreisbahn mit dem erforderlichen Radius $r = 8{,}70\text{ cm}$ erreichen, muss die Stärke des Magnetfeldes $B = 960\text{ }\mu\text{T}$ betragen. Gehen Sie zunächst vereinfachend davon aus, dass die Elektronen beim Verlassen der Kathode die kinetische Energie $E_{\text{kin,K}} = 0$ besitzen.

Das verwendete monochromatische UV-Licht hat die Wellenlänge $\lambda = 260\text{ nm}$. Das verwendete Kathodenmaterial Aluminium hat die Austrittsenergie $E_{\text{A}} = 4{,}20\text{ eV}$.

Untersuchen Sie, ob sich die Vereinfachung $E_{\text{kin,K}} = 0$ innerhalb der oben genannten Genauigkeit auf den Messwert der spezifischen Ladung $\frac{e}{m}$ auswirkt.