Aufgabe 3 - Teilaufgaben 1 c)-d), 2 und 3 · Abitur NRW Physik LK · Nachtermin 2021

Aufgabe: Eigenschaften der Antimaterie und der fundamentalen Wechselwirkungen

Teilaufgabe 1: Entdeckung des Positrons und seine Eigenschaften

Als „elementare“ geladene Teilchen kannte man zu Beginn der dreißiger Jahre des vergangenen Jahrhunderts nur das Elektron und das Proton. Die kosmische Strahlung zu erforschen war zu dieser Zeit ein hochaktuelles Thema. Man wusste bereits, dass kosmische Strahlung eine energiereiche, ionisierende Strahlung aus dem Weltraum ist, doch über ihre Zusammensetzung gab es bis dahin nur Vermutungen.

Ein damals gebräuchliches Nachweisgerät für ionisierende Teilchenstrahlung war die Nebelkammer. Sie besteht aus einer Kammer, in der sich der gesättigte Dampf einer Flüssigkeit befindet, und jede noch so geringe Ionisation an einem Punkt des Raums führt dort zur Kondensation des Dampfes in winzige Tröpfchen. Schnelle geladene Teilchen ionisieren entlang ihrer Bahnkurve das Gas in der Nebelkammer und die dadurch entstehenden Tröpfchenspuren machen ihre Bahnen sichtbar.

Aus der Bahnkurve eines geladenen Teilchens in einer Nebelkammer lässt sich vor allem das Verhältnis von Ladung $q$ zu Impuls $p$ ermitteln, sofern die gesamte Nebelkammer von einem homogenen Magnetfeld der Stärke $B$ durchsetzt wird. Für die geladenen Teilchen der kosmischen Strahlung darf angenommen werden, dass sich ihre kinetische Energie beim Durchqueren des Gasvolumens der Nebelkammer nicht ändert.

Teilaufgabe 1 (Fortsetzung): Entdeckung des Positrons und seine Eigenschaften

Bei Messungen auf einem 4200 m hohen Berg konnten 1932 in einer Nebelkammer, die mit einem homogenen Magnetfeld durchsetzt war, Spuren geladener Teilchen der kosmischen Strahlung aufgezeichnet werden.

Der amerikanische Physiker Carl Anderson entdeckte bei der Auswertung dieser Nebelkammerspuren Hinweise auf „leichte“, positiv geladene Teilchen. Seiner ersten Veröffentlichung zu dieser Entdeckung war folgende Zusammenfassung (Abstract) vorangestellt:

„Aus insgesamt 1300 Fotografien von Spuren kosmischer Strahlung in einer vertikalen Wilson-Nebelkammer konnten 15 Spuren positiven Teilchen zugeordnet werden, welche keine so große Masse wie ein Proton haben. Aus einer Untersuchung des Energieverlustes und des Ionisationsverhaltens wird geschlossen, dass deren Ladung geringer als zwei Elementarladungen und wahrscheinlich genau gleich der Ladung eines Protons ist. Diese positiv geladenen Teilchen müssen für die beobachteten Krümmungen und Ionisationsdichten eine Masse aufweisen, die weniger als das Zwanzigfache der Elektronenmasse beträgt. Diese Teilchen werden Positronen genannt.“

(Übersetzung aus: Physical Review 43 (1932), S. 491 ff.)

c)

Begründen Sie mithilfe dieser Zusammenfassung und der Angaben im Einführungstext auf Seite 1, weshalb Anderson seinerzeit annehmen durfte, eine neue Teilchenart gefunden zu haben. [4 Punkte]

Es stellte sich schließlich heraus, dass es sich bei dem von Anderson entdeckten Positron um das Antiteilchen des Elektrons handelt.

Zwei Jahre später, 1934, wurde das Positron dann erstmals in einem radioaktiven Zerfallsprozess nachgewiesen. Physiker setzten dazu eine Aluminiumfolie einer $\alpha$-Strahlung aus und es gelang ihnen infolge dieser Bestrahlung der Nachweis von Neutronen $^1\text{n}$ und Positronen $\text{e}^+$.

Es kam bei diesem Experiment zu der folgenden Kernreaktion:

$${}^{27}\text{Al} + {}^4\alpha \rightarrow {}^{30}\text{P} + {}^1\text{n} \rightarrow {}^{30}\text{Si} + \text{e}^+ + \nu_\text{e} + {}^1\text{n}$$

d)

Beschreiben Sie, wie diese Kernreaktion abläuft. [4 Punkte]

Teilaufgabe 2: Quarks, Leptonen und ihre Eigenschaften

Die heutige Systematik des Standardmodells teilt die elementaren Teilchen in Quarks und Leptonen ein. Das Elektron $\text{e}^-$ gehört zur Teilchenart der Leptonen.

Abbildung 2 zeigt einen Überblick über alle Elementarteilchen des Standardmodells.

a)

Quarks unterliegen, anders als Leptonen, der Starken Wechselwirkung. Sie treten aus diesem Grund nie als Einzelteilchen, sondern immer in einem Dreierverbund auf und sind die elementaren Bausteine der Protonen und Neutronen.

• Geben Sie an, aus welchen Quarks sich ein Proton bzw. ein Neutron zusammensetzt. [2 Punkte]

• Begründen Sie die elektrischen Ladungen dieser Quarks mithilfe der Gesamtladung von Proton bzw. Neutron. [4 Punkte]

b)

Das Elektron $\text{e}^-$ ist ebenso wie das Myon $\mu^-$ und das Tau $\tau^-$ ein elektrisch geladenes Lepton. Neben diesen drei Leptonen zählt das Standardmodell der Elementarteilchen auch die drei Neutrinoarten $\nu_\text{e}$, $\nu_\mu$ und $\nu_\tau$ zu den Leptonen.

Begründen Sie mithilfe der Angaben im Einleitungstext von Teilaufgabe 1, weshalb Neutrinos im Unterschied zu Elektron, Myon und Tau in einer Nebelkammer keine Spur erzeugen. [3 Punkte]

c)

Jedes Teilchen des Standardmodells besitzt ein entsprechendes Antiteilchen.

• Erläutern Sie, bei welcher Eigenschaft sich ein geladenes Lepton von seinem Antiteilchen unterscheidet und bei welcher nicht. [2 Punkte]

• Beschreiben Sie unter Angabe einer Reaktionsgleichung den Vorgang, wenn ein Elektron mit seinem Antiteilchen zusammentrifft. [3 Punkte]

Beim Nuklid $^{22}\text{Na}$ handelt es sich um einen $\beta^+$-Strahler. Abbildung 3 zeigt zum einen das Zerfallsschema dieses Nuklids und zum anderen das mit einem Detektor gemessene Gammaspektrum einer $^{22}\text{Na}$-Quelle.

• Erklären Sie mithilfe des Zerfallsschemas, wie die beiden Linien (1) und (2) im Gammaspektrum von $^{22}\text{Na}$ entstehen. [5 Punkte]

Die Ruhemasse eines Elektrons beträgt $m_\text{e} = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\text{ kg}$.

• Bestimmen Sie hiermit die exakte Energie der Linie (1) im Gammaspektrum in Abbildung 3. [5 Punkte]

Teilaufgabe 3: Das Wasserstoffatom aus der Perspektive der Elementarteilchenphysik

Das einfachste Atom ist das Wasserstoffatom. Es besteht aus einem Proton im Atomkern und einem Elektron in der Atomhülle. Das Hüllenelektron kann verschiedene Anregungszustände im Atom annehmen. Abbildung 4 zeigt das Niveauschema des Hüllenelektrons im Wasserstoffatom. Der Zustand mit der Bindungsenergie $E_\text{B} = -13{,}61\text{ eV}$ ist dabei der Grundzustand des Elektrons.

Die Bindungsenergie des Elektrons im Wasserstoffatom errechnet sich mit der Formel

$$E_\text{B} = -\frac{m_\text{e} \cdot e^4}{8 \cdot \varepsilon_0^2 \cdot h^2 \cdot n^2},\quad \text{wobei } n = 1, 2, \dots \text{ die Hauptquantenzahl des Elektronenzustands bezeichnet.}$$

a)

Bestimmen Sie rechnerisch die Bindungsenergie $E_\text{B}$ des Zustands mit der Hauptquantenzahl $n = 4$ in der Einheit $\text{J}$. [2 Punkte]

b)

Nach den hier zugrunde liegenden Theorien ist es mittlerweile praktisch realisierbar, ein Anti-Wasserstoffatom mit einem Antiproton im Kern und einem Positron in der Hülle herzustellen.

Begründen Sie, dass die Zustandsenergien eines Positrons in der Hülle eines Anti-Wasserstoffatoms mit denen des Wasserstoffatoms in Abbildung 4 übereinstimmen müssen. [3 Punkte]

c)

Die Bindungsenergie $E_\text{B}$ eines Elektrons im Wasserstoffatom kann in der Sprache der Elementarteilchenphysik auch mit dem Parameter $\alpha_\text{E.m.}$, der sogenannten „Kopplungsstärke“ der elektromagnetischen Wechselwirkung zwischen den elektrischen Ladungen von Elektron und Proton ausgedrückt werden. Die Kopplungsstärke $\alpha$ ist in der Elementarteilchenphysik allgemein ein Maß für die „Stärke“ einer Wechselwirkung.

Unter Verwendung der Kopplungsstärke $\alpha_\text{E.m.}$ lautet die Formel für die Bindungsenergie des Elektrons im Wasserstoffatom: $E_\text{B} = -\frac{1}{2} \cdot m_\text{e} \cdot c^2 \cdot \alpha_\text{E.m.}^2 \cdot \frac{1}{n^2}$.

• Zeigen Sie durch eine Betrachtung der Einheiten, dass die Kopplungsstärke $\alpha_\text{E.m.}$ dimensionslos ist. [2 Punkte]

• Bestimmen Sie durch Vergleich mit der Formel für die Bindungsenergie des Elektrons im Wasserstoffatom einen Ausdruck der Kopplungsstärke $\alpha_\text{E.m.}$ der elektromagnetischen Wechselwirkung mit Naturkonstanten. [4 Punkte]

• Zeigen Sie, dass für die Kopplungsstärke gilt: $\alpha_\text{E.m.} \approx \frac{1}{137}$. [2 Punkte]

d)

Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik kennt insgesamt vier grundlegende Wechselwirkungen. Es handelt sich um die „Starke-“, die „Schwache-“, die „Elektromagnetische-“ sowie die „Gravitationswechselwirkung“. Ähnlich wie für die Elektromagnetische Wechselwirkung kann auch für jede der drei anderen grundlegenden Wechselwirkungen jeweils eine dimensionslose Kopplungsstärke bestimmt werden.

Abbildung 5 zeigt größenordnungsmäßig die Werte dieser Kopplungsstärken $\alpha$ für die vier grundlegenden Wechselwirkungen.

Bestimmen Sie mithilfe dieser Abbildung der Größenordnung nach, um welchen Faktor die elektromagnetische Wechselwirkung auf elektrisch geladene Elementarteilchen „stärker“ wirkt als die Gravitationswechselwirkung. [3 Punkte]

e)

Erläutern Sie qualitativ, inwiefern die grundlegenden Wechselwirkungen (mit Ausnahme der Gravitation) die physikalischen Eigenschaften von Kern und Elektronenhülle eines $^3\text{H}$-Atoms bestimmen.

Hinweis: Das Wasserstoffisotop $^3\text{H}$ (sogenanntes „Tritium“) ist ein $\beta^-$-Strahler. [5 Punkte]