Aufgabe 2 - Teilaufgaben 1 und 2 · Abitur NRW Physik LK · Nachtermin 2021

1 a) Skizzieren Sie in Abbildung 2b die elektrischen bzw. magnetischen Feldlinien sowie Polarität und Richtung des Elektronenstroms für alle vier Zeitpunkte; 2 a) Schaltskizze; 2 c) Skizze des t-I-Diagramms

Lösung: Teilaufgabe 1 a) Schematische Darstellung der Feldlinien, Polarität und Elektronenstromrichtung: Abbildung 2a: Abbildung 2b: Teilaufgabe 2 a) Schaltskizze: Teilaufgabe 2 c) Skizze des $t$-$I$-Diagramms:

1 a) Beschreiben Sie, was im ungedämpften elektromagnetischen Schwingkreis im Zeitraum 0 ≤ t ≤ T/2 abläuft

Lösung: Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist der Kondensator auf die maximale Spannung aufgeladen und damit ist auch die Stärke des elektrischen Feldes maximal. Der Strom und somit auch die magnetische Feldstärke sind gleich Null. Bis zum Zeitpunkt $t = \frac{T}{4}$ nimmt die Aufladung des Kondensators ab, d. h. die Spannung und die elektrische Feldstärke sinken. Gleichzeitig nimmt die Stromstärke und infolgedessen die Stärke des Magnetfeldes zu. Dies geschieht allerdings nicht schlagartig, da die Induktivität der Spule die Entladung gemäß der Lenz’schen Regel verzögert. Zum Zeitpunkt $t = \frac{T}{4}$ ist der Kondensator entladen, die Spannung und die elektrische Feldstärke sind Null und die Stromstärke sowie die magnetische Feldstärke sind maximal. Bis zum Zeitpunkt $t = \frac{T}{2}$ verhindert die Induktivität der Spule nach der Lenz’schen Regel ein plötzliches Absinken der Stromstärke und sorgt damit für eine Aufladung des Kondensators mit umgekehrter Polarität. Die elektrische Feldstärke steigt, die magnetische Feldstärke sinkt.

1 b) Leiten Sie die angegebene Beziehung für die Gesamtenergie $E_{\text{ges}}$ her.

Lösung: Die Gesamtenergie $E_{\text{ges}}$ ist zu jedem Zeitpunkt $t$ konstant und setzt sich aus der in dem elektrischen Feld des Kondensators gespeicherten Energie $E_{\text{el}}(t) = \frac{1}{2}\cdot C\cdot (U(t))^2$ und der im Magnetfeld der Spule gespeicherten Energie $E_{\text{mag}}(t) = \frac{1}{2}\cdot L\cdot (I(t))^2$ zusammen. Einsetzen der beiden Beziehungen $I(t) = \dot{Q}(t)$ und $U(t) = \frac{Q(t)}{C}$ in die Gleichung für die Gesamtenergie liefert: $$E_{\text{ges}}(t) = \frac{1}{2}\cdot L\cdot (\dot{Q}(t))^2 + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{C}\cdot (Q(t))^2 = \text{konstant}.$$

1 c) Weisen Sie nach, dass die gegebene Funktion mit $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}$ die Beziehung $E_{\text{ges}}(t) = \text{konstant}$ erfüllt.

Lösung: Einsetzen von $Q(t) = Q_0 \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$ bzw. $\dot{Q}(t) = -\omega_0 \cdot Q_0 \cdot \sin(\omega_0 \cdot t)$ in die Gleichung für die Gesamtenergie liefert: $$E_{\text{ges}}(t) = \frac{1}{2}\cdot L\cdot (-\omega_0 \cdot Q_0 \cdot \sin(\omega_0 \cdot t))^2 + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{C}\cdot (Q_0 \cdot \cos(\omega_0 \cdot t))^2.$$ Auflösen der Klammern ergibt: $$E_{\text{ges}}(t) = \frac{1}{2}\cdot L\cdot \omega_0^2 \cdot Q_0^2 \cdot \sin^2(\omega_0 \cdot t) + \frac{1}{2}\cdot \frac{Q_0^2}{C}\cdot \cos^2(\omega_0 \cdot t).$$ Einsetzen von $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}$ liefert: $$E_{\text{ges}}(t) = \frac{1}{2}\cdot \frac{Q_0^2}{C}\cdot (\sin^2(\omega_0 \cdot t) + \cos^2(\omega_0 \cdot t)).$$ Wegen $\sin^2(\omega_0 \cdot t) + \cos^2(\omega_0 \cdot t) = 1$ ist damit: $$E_{\text{ges}}(t) = \frac{1}{2}\cdot \frac{Q_0^2}{C} = \text{konstant}.$$

2 b) Bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 3 die Periodendauer $T$ der gedämpften elektromagnetischen Schwingung.

Lösung: $0{,}83$ ms / $0{,}00083$ s

2 b) Zeigen Sie, dass die Beziehung $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}$ für die Resonanzfrequenz bei dieser schwach gedämpften elektromagnetischen Schwingung näherungsweise gut gilt.

Lösung: Die Kreisfrequenz der gedämpften elektromagnetischen Schwingung ist: $$\omega = 2\cdot \pi\cdot f = 2\cdot \pi\cdot \frac{1}{T} = 7{,}6\cdot 10^3\text{ Hz}.$$ Mit der angegebenen Kapazität $C = 2{,}0\text{ }\mu\text{F}$ und der angegebenen Induktivität $L = 9{,}0\text{ mH}$ erhält man: $$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L\cdot C}} = 7{,}5\cdot 10^3\text{ Hz},$$ sodass der angegebene Zusammenhang in guter Näherung gültig ist.

2 c) Erklären Sie, wie es bei der gedämpften elektromagnetischen Schwingung zu Energieverlusten kommt.

Lösung: Bei der gedämpften elektromagnetischen Schwingung treten Energieverluste bei der Umwandlung von elektrischer Energie in Wärme, bedingt durch den Ohm’schen Widerstand der Bauteile, auf.

2 d) Berechnen Sie mithilfe des Diagramms in Abbildung 3 die Gesamtenergie $E_{\text{ges}}$, die zum Zeitpunkt t = 0 s im Schwingkreis gespeichert ist.

Lösung: $1{,}0\cdot 10^{-6}$ J / $1{,}0$ µJ / $1{,}0\cdot 10^{-3}$ mJ

2 d) Ermitteln Sie, welcher prozentuale Anteil der anfänglichen Gesamtenergie dem Schwingkreis am Ende der ersten Periode nicht mehr zur Verfügung steht.

Lösung: 44 % / 43,8 %