Aufgabe 1 · Abitur NRW Physik GK · Haupttermin · Weiterbildungskolleg 2021

Aufgabe: Induktion und Wirbelströme

Teilaufgabe 1: Physikalische Grundlagen der elektrischen Energieversorgung

Das tägliche Leben hängt davon ab, dass jederzeit elektrische Energie zur Verfügung steht. In Kraftwerken wird Primärenergie in unterschiedlicher Form erst in Bewegungsenergie und anschließend in elektrische Energie überführt. Für den letzten Schritt wird ein Generator verwendet. Die wichtigsten Bauteile eines Generators sind in Abbildung 1 dargestellt.

a)

• Beschreiben Sie mithilfe der Skizze den grundsätzlichen Aufbau eines Generators und berücksichtigen Sie dabei die in Abbildung 1 nummerierten Bauteile.

• Erläutern Sie qualitativ, also ohne mathematische Beziehungen zu verwenden, inwiefern die elektromagnetische Induktion für die Funktionsweise grundlegend ist.

Zunächst wird nun das Induktionsgesetz in mathematischer Form betrachtet.

b)

In einem homogenen Magnetfeld der Stärke $B$ befindet sich eine ebene Leiterschleife. Diese Leiterschleife besitzt bezüglich des homogenen Magnetfeldes eine effektive Querschnittsfläche $A_{\text{eff}}$, die je nach Orientierung der Leiterschleife ein positives oder negatives Vorzeichen besitzen kann. Diese effektive Querschnittsfläche $A_{\text{eff}}$ wird von dem homogenen Magnetfeld orthogonal durchsetzt (siehe Abbildung 2).

Für eine Induktionsspannung $U_{\text{ind}}$ in einer Leiterschleife mit Windungszahl $n$ kann es zwei mögliche Ursachen geben, die durch die beiden folgenden Zusammenhänge beschrieben werden:

$$(1)\ U_{\text{ind}} = -n \cdot B \cdot \frac{\Delta A_{\text{eff}}}{\Delta t} \qquad (2)\ U_{\text{ind}} = -n \cdot A_{\text{eff}} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}$$

In beiden Zusammenhängen bezeichnet $\Delta t$ ein kurzes Zeitintervall.

• Erläutern Sie, was die beiden angegebenen Zusammenhänge physikalisch aussagen.

In der exakten Formulierung gehen im Grenzfall immer kürzer werdender Zeitintervalle bei beiden Zusammenhängen die zeitlichen Änderungsraten $\frac{\Delta A_{\text{eff}}}{\Delta t}$ bzw. $\frac{\Delta B}{\Delta t}$ in die jeweilige Ableitung nach der Zeit über: $(1)\ U_{\text{ind}} = -n \cdot B \cdot \dot{A}_{\text{eff}}$ bzw. $(2)\ U_{\text{ind}} = -n \cdot A_{\text{eff}} \cdot \dot{B}$.

• Begründen Sie, warum bei einem Generator wie in Abbildung 1 der Zusammenhang (2) nicht die Ursache der Induktionsspannung sein kann.

• Erklären Sie qualitativ, warum sich im Betrieb eines Generators wie in Abbildung 1 die effektive Fläche $A_{\text{eff}}$ der Leiterschleife fortwährend zeitlich ändert.

c)

Beim Betrieb eines typischen Generators wird die in Abbildung 3 dargestellte Generatorspannung erzeugt. Dabei bezeichnet $\hat{U}$ die Spannungsamplitude.

Für die Zeitabhängigkeit der effektiven Querschnittsfläche $A_{\text{eff}}$ kann dabei der folgende Zusammenhang angenommen werden: $A_{\text{eff}}(t) = A_{\text{L}} \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T}\cdot t\right)$.

Es ist dabei vorausgesetzt, dass die Fläche der Leiterschleife $A_{\text{L}}$ zum Zeitpunkt $t = 0$ orthogonal zu den Feldlinien des homogenen Magnetfeldes steht und komplett von diesem homogenen Magnetfeld durchsetzt wird. Die Größe $T$ bezeichnet dabei die Umdrehungsdauer der Leiterschleife.

Zeigen Sie, dass sich für die induzierte Spannung in diesem Fall ergibt: $U(t) = \hat{U} \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T}\cdot t\right)$ mit der Spannungsamplitude $\hat{U} = n \cdot B \cdot A_{\text{L}} \cdot \frac{2\pi}{T}$.

d)

In einem konkreten Generator dieses Typs beträgt die Fläche der Leiterschleife $A_{\text{L}} = 50{,}0\,\text{cm}^2$, deren Windungszahl $n = 300$, die Stärke des Magnetfeldes $B = 250\,\text{mT}$, und die Leiterschleife dreht sich pro Minute $3000$-mal im Magnetfeld.

Bestimmen Sie die Spannungsamplitude $\hat{U}$ eines so betriebenen Generators.

Teilaufgabe 2: Elektrische Wirbelströme und ihre Anwendung beim Induktionsherd

Der Induktionsherd ist eine Alltagsanwendung von Wirbelströmen und hat Vorteile gegenüber Herdtypen mit direkter thermischer Energiezufuhr. Der schematische Aufbau eines Induktionsherdes ist in Abbildung 4 dargestellt.

Der wesentliche Bestandteil eines Induktionsherdes ist die Feldspule, in der ein sehr schnell wechselndes, sogenanntes „hochfrequentes“ Magnetfeld erzeugt wird. Dieses sich schnell ändernde Magnetfeld verursacht im elektrisch leitenden Boden des Kochgeschirrs Induktionseffekte, welche dort zu einer starken Erwärmung führen.

Mit folgender Messung wurde das hochfrequente Magnetfeld untersucht. Auf einem eingeschalteten Induktionskochfeld wurde eine Leiterschleife mit drei Windungen platziert und der zeitliche Verlauf der darin induzierten Spannung mit einem Oszilloskop gemessen (Versuchsaufbau siehe Abbildung 5).

a)

Begründen Sie qualitativ, dass bei der in Abbildung 5 dargestellten Messung ausschließlich der Zusammenhang $(2)\ U_{\text{ind}} = -n \cdot A_{\text{eff}} \cdot \dot{B}$ (siehe Teilaufgabe 1b) für die im Oszilloskop gemessene Spannung verantwortlich ist.

b)

Abbildung 6 zeigt die Einstellung der Zeitablenkung des Oszilloskops bei dieser Messung sowie den gemessenen zeitlichen Verlauf der induzierten Spannung in der Leiterschleife.

Im Folgenden soll von dem in Abbildung 6 eingezeichneten vereinfachend angenommenen Verlauf der Induktionsspannung ausgegangen werden.

• Bestimmen Sie aus Abbildung 6 die Periodendauer $T$, mit der sich das hochfrequente Magnetfeld des Induktionskochfeldes periodisch verändert.

• Geben Sie die Frequenz $f$ der Induktionsspannung in der Maßeinheit $\text{kHz}$ an.

• Begründen Sie qualitativ, dass der zeitliche Verlauf des Magnetfeldes in der Feldspule dieses Induktionsherdes dem in Abbildung 7 entspricht.

kHz

c)

Durch das sich schnell ändernde Magnetfeld in der Feldspule des Induktionsherdes werden Wirbelströme im elektrisch leitenden Boden des Kochgeschirrs hervorgerufen. Abbildung 8 zeigt eine Modellvorstellung für die Entstehung der Wirbelströme. Den Boden eines Induktionskochtopfs kann man sich aus vielen konzentrischen Kreisringen aufgebaut vorstellen. Jeder dieser Ringe ist eine kurzgeschlossene Leiterschleife.

Erklären Sie qualitativ, wie es auf dem Induktionsherd zu einem Kreisstrom, dem sogenannten „Wirbelstrom“, in einem Kreisring im Topfboden kommt.

d)

Für die Heizleistung $P_{\text{Heiz}}$ des Wirbelstroms in einem Kreisring der Breite $b = 1\,\text{mm}$ in einem typischen Material für den Boden eines Induktionskochtopfs gilt:$$P_{\text{Heiz}} = \left(0{,}22\,\frac{\text{m}}{\Omega}\right) \cdot \left(\frac{\Delta B}{\Delta t}\right)^2 \cdot r^3$$Dabei bezeichnet $r$ den Radius des Kreisrings (in $\text{m}$) und $\frac{\Delta B}{\Delta t}$ die Änderungsrate des Magnetfeldes auf der Induktionsherdplatte.

• Zeigen Sie anhand einer Einheitenbetrachtung, dass die rechte Seite des angegebenen Zusammenhangs tatsächlich die Maßeinheit der Leistung ($1\,\text{W} = 1\,\frac{\text{J}}{\text{s}}$) besitzt.

Bei dem in Teilaufgabe 2a) untersuchten Induktionsherd beträgt die Änderungsrate des Magnetfeldes $\frac{\Delta B}{\Delta t} = 320\,\frac{\text{T}}{\text{s}}$.

• Bestimmen Sie anhand des obigen Zusammenhangs die Heizleistung $P_{\text{Heiz}}$ des Wirbelstroms in einem $b = 1\,\text{mm}$ breiten Kreisring mit $r = 10\,\text{cm}$ in der Einheit $\text{W}$.