Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2025

Thema: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Aus der Prüfung LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS) (2025)

Aufgabenstellung

Betrachtet werden die Punkte A(2∣0∣0)A(2|0|0), B(−2∣0∣0)B(-2|0|0), C(−2∣0∣3)C(-2|0|3), D(2∣0∣3)D(2|0|3), S(0∣−5∣0)S(0|-5|0), Ek(0∣k∣0)E_k(0|k|0) und Fk(0∣k∣30−3k)F_k(0|k|30-3k) mit 0<k≤100 < k \le 10.

Die Abbildung zeigt einen zusammengesetzten Körper, der aus der Pyramide ABCDSABCDS und einem Körper ABCDEkFkABCDE_kF_k besteht.

a)

Das Viereck ABCD ist ein Rechteck. Untersuchen Sie, ob ABCD auch ein Quadrat ist. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS.

c)

Begründen Sie, dass die xz-Ebene für keinen Wert von k eine Symmetrieebene des zusammengesetzten Körpers ist.

e)

Im Dreieck DFkCDF_kC wird der Innenwinkel im Punkt FkF_k betrachtet. Ermitteln Sie denjenigen Wert von k, für den die Größe dieses Winkels maximal ist, und erläutern Sie Ihren Lösungsweg.

Aufgabenstellung: Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2025

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

Untersuchen Sie, ob ABCD auch ein Quadrat ist.

Lösung: Nein

Begründung zur Quadrateigenschaft von ABCD

Lösung: Seitenlängenvergleich: ∣AB⃗∣=4≠3=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = 4 \ne 3 = |\vec{BC}|, daher kein Quadrat.

Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS.

Lösung: 20

Begründen Sie, dass die xz-Ebene für keinen Wert von k eine Symmetrieebene des zusammengesetzten Körpers ist.

Lösung: Der Körper ABCDS ist eine Pyramide mit der Höhe 5. Der Körper ABCDEkFkABCDE_kF_k ist nur für k=10k = 10 eine Pyramide. Da diese Pyramide die Höhe 10 besitzt, ist der zusammengesetzte Körper nicht symmetrisch bezüglich der xz-Ebene.

Ermitteln Sie denjenigen Wert von k, für den die Größe dieses Winkels maximal ist

Lösung: 8,1 / 8.1

Erläutern Sie Ihren Lösungsweg zur Maximierung des Innenwinkels.

Lösung: Der Innenwinkel bei FkF_k im gleichschenkligen Dreieck DFkCDF_kC ist maximal, wenn der Abstand von FkF_k zur Strecke CDCD minimal ist, also wenn der Vektor MFk⃗\vec{MF_k} orthogonal zur Geraden gg steht.

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