Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2025

Die Abbildung zeigt einen Würfel, bei dem ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt und jede Kante parallel zu einer der drei Koordinatenachsen verläuft.

Der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}$ ist der Verbindungsvektor zwischen den beiden Eckpunkten $O$ und $A$ des Würfels.

a

Geben Sie einen Vektor $\vec{u}$ an, der die folgenden drei Eigenschaften hat:

$\vec{u}$ ist Verbindungsvektor zwischen zwei Eckpunkten des Würfels.

$\vec{u}$ hat die gleiche Länge wie $\vec{v}$.

$\vec{u}$ und $\vec{v}$ sind nicht kollinear.

b

Betrachtet werden alle Dreiecke $OAB$, wobei $B$ ein weiterer Eckpunkt des Würfels ist. Begründen Sie, dass alle diese Dreiecke kongruent sind. Ermitteln Sie den Flächeninhalt eines dieser Dreiecke.