Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2021

a) Zeigen Sie, dass auch $\overline{AE}$ und $\overline{CD}$ parallel sind und dass $\overline{CD}$ und $\overline{DE}$ einen rechten Winkel einschließen.

Lösung: $\vec{AE} = 3 \cdot \vec{CD}$ und $\vec{CD} \circ \vec{DE} = 0$

b) Nennen Sie diese Größe

Lösung: Inhalt der Rasenfläche / Flächeninhalt der Rasenfläche

b) und erläutern Sie den gegebenen Ansatz.

Lösung: Zerlegung in ein Rechteck mit den Seitenlängen $|\vec{AE}|$ und $|\vec{DE}|$ sowie ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen $|\vec{AB}|-|\vec{DE}|$ und $|\vec{AE}|-|\vec{CD}|$.

d) Weisen Sie nach, dass der Winkel, unter dem sich der Roboter dem Rand der Rasenfläche nähert, etwa $41^\circ$ groß ist.

Lösung: $\cos \varphi = \frac{|\vec{BC} \circ \vec{v}|}{|\vec{BC}| \cdot |\vec{v}|} \approx 0{,}753 \Rightarrow \varphi \approx 41^\circ$

e) Berechnen Sie mithilfe einer geeigneten Skizze die Koordinaten von S (Rechenweg).

Lösung: $|\vec{QS}| = \frac{0{,}2}{\sin \varphi} \approx 0{,}305\ \mathrm{m}$, $\vec{s} = \vec{q} - \frac{|\vec{QS}|}{|\vec{v}|} \cdot \vec{v}$

e) $x_1$-Koordinate von S

Lösung: 15,3

e) $x_2$-Koordinate von S

Lösung: 4,1

e) $x_3$-Koordinate von S

Lösung: 1,3

e) Skizze zur Bestimmung des Punktes S

Lösung: Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse $\overline{QS}$ auf der Geraden $g$, der Gegenkathete der Länge $0{,}2$ senkrecht zur Kante $\overline{BC}$ und dem Innenwinkel $\varphi$ bei $Q$.