Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2024

1 Aufgabe

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $$f(x)=2\cdot (x^2-1)\cdot e^x.$$

Für jeden Wert $k \in \mathbb{R}^+$ wird die Funktion $h_k$ mit $h_k(x)=k\cdot (x^2-1)\cdot e^x$ und $x \in \mathbb{R}$ betrachtet. Damit entspricht die Funktion $h_2$ der Funktion $f$, deren Graph in Abbildung 1 dargestellt ist.

a)

Zeigen Sie, dass für die erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ gilt: $f'(x) = 2\cdot (x^2 + 2x - 1)\cdot e^x$

b)

Weisen Sie nach, dass $f$ genau zwei Nullstellen hat und dass diese $-1$ und $1$ sind. Berechnen Sie die x-Koordinate des Tiefpunkts des Graphen von $f$.