Aufgabe 1 a, b - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2021

1 a Zeigen Sie rechnerisch, dass der Punkt (12|2160) ein Hochpunkt des Graphen von f ist und dass die Tangente an den Graphen von f im Punkt (0|0) parallel zur x-Achse verläuft.

Lösung: $f'(x) = -\frac{5}{4}x^3 + 15x^2$, $f''(x) = -\frac{15}{4}x^2 + 30x$, $f(12)=2160$, $f'(12)=0$, $f''(12)=-180 < 0$ und $f'(0)=0$

1 b Bestimmen Sie eine Gleichung der Gerade g, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von f verläuft.

Lösung: 160x

1 b Zeichnen Sie in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu g ist und für 0 <= x <= 8 mit dem Graphen von f genau einen Punkt gemeinsam hat.

Lösung: Eine eingezeichnete Gerade mit Steigung $m = 160$, die parallel zur Wendegerade verläuft und den Graphen von $f$ im Intervall $0 \le x \le 8$ in genau einem Punkt schneidet bzw. berührt (wie in der Abbildung der Musterlösung dargestellt).