Abitur Hessen Mathematik 2025 · LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

Betrachtet werden die Punkte $A(2|0|0)$, $B(-2|0|0)$, $C(-2|0|3)$, $D(2|0|3)$, $S(0|-5|0)$, $E_k(0|k|0)$ und $F_k(0|k|30-3k)$ mit $0 < k \le 10$.

Die Abbildung zeigt einen zusammengesetzten Körper, der aus der Pyramide $ABCDS$ und einem Körper $ABCDE_kF_k$ besteht.

a)

Das Viereck ABCD ist ein Rechteck. Untersuchen Sie, ob ABCD auch ein Quadrat ist. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS.

c)

Begründen Sie, dass die xz-Ebene für keinen Wert von k eine Symmetrieebene des zusammengesetzten Körpers ist.

e)

Im Dreieck $DF_kC$ wird der Innenwinkel im Punkt $F_k$ betrachtet. Ermitteln Sie denjenigen Wert von k, für den die Größe dieses Winkels maximal ist, und erläutern Sie Ihren Lösungsweg.

Betrachtet werden die Punkte $A(2|0|0)$, $B(-2|0|0)$, $C(-2|0|3)$, $D(2|0|3)$, $S(0|-5|0)$, $E_k(0|k|0)$ und $F_k(0|k|30-3k)$ mit $0 < k \le 10$.

Die Abbildung zeigt einen zusammengesetzten Körper, der aus der Pyramide $ABCDS$ und einem Körper $ABCDE_kF_k$ besteht.

b)

Jeder Punkt $F_k$ liegt auf der Gerade g (vgl. Abbildung). Geben Sie den Ortsvektor eines Punkts auf g an und zeigen Sie, dass $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ ein Richtungsvektor von g ist.

d)

Die Punkte C, D und S liegen in der Ebene L. Bestimmen Sie eine Gleichung von L in Koordinatenform. Ermitteln Sie den Wert von k, für den der Eckpunkt $F_k$ ebenfalls in L liegt.