Abitur Hessen Mathematik 2025 · GK · Teil A · Lineare Algebra

1 Aufgabe

Betrachtet werden die Matrix $M = \begin{pmatrix} 0 & b & 0 \\ 1 & 0 & a \\ 0 & 0{,}5 & 1-a \end{pmatrix}$ mit $a, b \in \mathbb{R}$ und der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$. [5 BE]

Untersuchen Sie, ob es Werte von a und b gibt, sodass $M \cdot \vec{v} = \vec{v}$ gilt.

1 Aufgabe

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem:

$$\begin{aligned} \text{I}& \quad 2x - y - 2z = 11 \\ \text{II}& \quad x + 4z = -6 \end{aligned}$$

a

Weisen Sie nach, dass $x = 2$, $y = -3$, $z = -2$ eine Lösung dieses Gleichungssystems ist.

[1 BE]

b

Das Gleichungssystem wird durch eine weitere Gleichung ergänzt:

[4 BE]

$$\text{III} \quad 3x - y + 2z = a$$

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Es gibt einen reellen Wert von a, für den das aus I, II und III bestehende Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.