Abitur Hessen Mathematik 2025 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

Ein Partyzelt wird beschrieben durch einen zusammengesetzten Körper bestehend aus einem geraden Prisma und einer geraden Pyramide (vgl. Abbildung 1). Die Grundfläche des Prismas ist ein Achteck. Abbildung 2 zeigt den zusammengesetzten Körper in einem Koordinatensystem.

Die Punkte $A(5|0|0)$, $B(4|3|0)$, $C(0|5|0)$, $D(5|0|3)$, $E(4|3|3)$, $F(0|5|3)$ und $S(0|0|5)$ sind Eckpunkte des zusammengesetzten Körpers. Die $x_1x_3$-Ebene und die $x_2x_3$-Ebene des Koordinatensystems sind Symmetrieebenen des zusammengesetzten Körpers. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt die Horizontale. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Realität.

a)

Abbildung 3 zeigt einen Teil der Grundfläche des Prismas in der $x_1x_2$-Ebene. Vervollständigen Sie die Grundfläche in Abbildung 3.

b)

An allen acht gleich langen Dachkanten, die in der Spitze des Partyzeltes zusammenlaufen, soll jeweils eine Girlande angebracht werden. Dabei muss jede Girlande 60 cm länger als die zugehörige Dachkante sein. Bestimmen Sie die Gesamtlänge aller Girlanden.

d)

Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche, die durch das Dreieck EFS beschrieben wird, gegenüber der Horizontalen.

Ein Partyzelt wird beschrieben durch einen zusammengesetzten Körper bestehend aus einem geraden Prisma und einer geraden Pyramide (vgl. Abbildung 1). Die Grundfläche des Prismas ist ein Achteck. Abbildung 2 zeigt den zusammengesetzten Körper in einem Koordinatensystem.

Die Punkte $A(5|0|0)$, $B(4|3|0)$, $C(0|5|0)$, $D(5|0|3)$, $E(4|3|3)$, $F(0|5|3)$ und $S(0|0|5)$ sind Eckpunkte des zusammengesetzten Körpers. Die $x_1x_3$-Ebene und die $x_2x_3$-Ebene des Koordinatensystems sind Symmetrieebenen des zusammengesetzten Körpers. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt die Horizontale. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Realität.

c)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene, in der das Dreieck EFS liegt, in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 25$)

e)

Im Inneren des Partyzelts befindet sich eine gerade Schiene, deren Enden im Modell der Punkt S und der Mittelpunkt M(2|4|3) der Strecke $\overline{\text{EF}}$ sind. Ein Strahler bewegt sich entlang der gesamten Schiene und sendet dabei einen Laserstrahl in der Richtung, die durch den Vektor $\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$ dargestellt werden kann, in den Innenraum des Partyzelts aus.

Auf einer Zeltwand befindet sich an einer Stelle ein kleines Loch. Diese Stelle wird durch den Punkt L(-2|-4|0,5) beschrieben. Um zu untersuchen, ob durch dieses Loch der Laserstrahl nach außen dringen kann, wird der Lösungsansatz$$\vec{OP_t} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}\quad \text{betrachtet, wobei}\quad \vec{OP_t} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\quad \text{mit } t \in [0;1] \text{ gilt.}$$

Erläutern Sie die geometrischen Sachverhalte, die diesem Lösungsansatz zugrunde liegen, und deuten Sie diese im Sachzusammenhang.

Betrachtet wird ein gerades Prisma mit den Eckpunkten $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ und $F$. Seine Grundfläche ist das Dreieck $ABC$.

$A(-2|0|0)$, $B(2|0|0)$, $C(0|8|0)$, $D(-2|0|4)$, $E(2|0|4)$, $F(0|8|4)$

Im Folgenden wird die Gerade $g$ mit der Gleichung $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $t \in \mathbb{R}$ betrachtet.

Des Weiteren wird der Punkt $F$ durch den Punkt $F_t(0 \mid t \mid 12 - t)$ mit $0 < t \le 8$ ersetzt.

Für jeden Wert von $t$ liegt der Punkt $F_t$ auf der Gerade $g$ (vgl. Abbildung 2).

Mit $M$ wird der Mittelpunkt der Basis $\overline{DE}$ des gleichschenkligen Dreiecks $EF_tD$ bezeichnet.

a)

Abbildung 1 zeigt die Kante $\overline{\mathrm{BC}}$ des Prismas. Zeichnen Sie das Prisma in Abbildung 1 ein und berechnen Sie das Volumen des Prismas.

VE

d)

Zeigen Sie rechnerisch, dass für $t = 4$ die Strecke $\overline{\mathrm{MF}_t}$ senkrecht auf der Gerade $g$ steht.

e)

Begründen Sie ohne Rechnung, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $\mathrm{EF}_t\mathrm{D}$ für $t = 4$ am kleinsten ist.

Betrachtet wird ein gerades Prisma mit den Eckpunkten $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ und $F$. Seine Grundfläche ist das Dreieck $ABC$.

$A(-2|0|0)$, $B(2|0|0)$, $C(0|8|0)$, $D(-2|0|4)$, $E(2|0|4)$, $F(0|8|4)$

Im Folgenden wird die Gerade $g$ mit der Gleichung $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $t \in \mathbb{R}$ betrachtet.

Des Weiteren wird der Punkt $F$ durch den Punkt $F_t(0 \mid t \mid 12 - t)$ mit $0 < t \le 8$ ersetzt.

Für jeden Wert von $t$ liegt der Punkt $F_t$ auf der Gerade $g$ (vgl. Abbildung 2).

Mit $M$ wird der Mittelpunkt der Basis $\overline{DE}$ des gleichschenkligen Dreiecks $EF_tD$ bezeichnet.

b)

Die Seitenfläche $BCFE$ liegt in der Ebene $H$. Bestimmen Sie eine Gleichung von $H$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $4x_1 + x_2 = 8$)

c)

Die Ebene $H$ liegt parallel zu einer der drei Koordinatenachsen. Geben Sie diese Achse an und begründen Sie Ihre Angabe anhand der Gleichung dieser Ebene.