Abitur Hessen Mathematik 2025 · GK · Teil B · Analysis (WTR)

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $$f\colon x \mapsto \frac{1}{3}x^3 - 2x + 4.$$ $G_f$ ist symmetrisch bezüglich des Punkts $(0 \mid 4)$.

a

Berechnen Sie die Extremstellen von $f$ und geben Sie das Monotonieverhalten von $f$ an. [4 BE]

$x_1 =$

$x_2 =$

b

Die Tangente an $G_f$ im Punkt $P(3|f(3))$ wird mit $t$ bezeichnet.

Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung von $t$. Zeichnen Sie den Punkt $P$ und die Tangente $t$ in Abbildung 1 ein. [5 BE]

(zur Kontrolle: $t: y = 7x - 14$)

c

Es gilt für alle $x \in \mathbb{R}$:

$$f(x) - (7x - 14) = \frac{1}{3} \cdot (x-3)^2 \cdot (x+6)$$

Begründen Sie mithilfe dieses Zusammenhangs, dass $t$ und $G_f$ neben $P$ genau einen weiteren gemeinsamen Punkt besitzen. [3 BE]

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $$f\colon x \mapsto \frac{1}{3}x^3 - 2x + 4.$$ $G_f$ ist symmetrisch bezüglich des Punkts $(0 \mid 4)$.

d

Betrachtet wird die Gleichung $\int_k^{k+1} f(x)\,\mathrm{d}x = 4$ mit $k \in \mathbb{R}$.

Es gibt eine Zahl $k$ mit $-1{,}5 \le k \le 1{,}5$, die eine Lösung dieser Gleichung ist.

Geben Sie – ohne weitere Rechnung – diese Zahl an und begründen Sie Ihre Angabe mithilfe geeigneter Eintragungen in Abbildung 1. [5 BE]

2 Die Länge einer Fahrstrecke, die ein Elektroauto mit vollständig geladener Batterie ohne erneutes Aufladen unter bestimmten Bedingungen zurücklegen kann, wird als Nennreichweite des Elektroautos bezeichnet und ist für jedes Elektroauto ein fester Wert. Die tatsächliche Reichweite hängt von vielen Faktoren ab; im Folgenden wird ausschließlich die Abhängigkeit von der Außentemperatur betrachtet.

Diese Abhängigkeit kann für eine Vielzahl von Elektroautos modellhaft im Intervall $[-12; 36]$ durch eine Funktion $r$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die Außentemperatur in °C und $r(x)$ der Quotient aus der tatsächlichen Reichweite eines Elektroautos und dessen Nennreichweite. Abbildung 2 zeigt den Graphen der Funktion $r$.

Hat also $r$ beispielsweise für eine bestimmte Außentemperatur den Wert $0{,}6$, so beträgt die tatsächliche Reichweite eines Elektroautos bei dieser Außentemperatur $60\,\%$ seiner Nennreichweite.

Im Folgenden werden nur Temperaturen im Bereich von $-12\,^\circ\text{C}$ bis $36\,^\circ\text{C}$ sowie Elektroautos betrachtet, bei denen der durch die Funktion $r$ beschriebene Zusammenhang gilt.

a)

Geben Sie anhand von Abbildung 2 die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $r$ an. Beschreiben Sie die Bedeutung des Hochpunkts und seiner Koordinaten im Sachzusammenhang.

( ∣)

b)

Es gibt Außentemperaturen, bei denen die tatsächliche Reichweite eines Elektroautos größer ist als seine Nennreichweite. Bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 2 den entsprechenden Temperaturbereich.

von °C bis °C

1 Aufgabe

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = (2 - x)\cdot \mathrm{e}^x$.

a)

Geben Sie die Nullstelle von $f$ sowie das Verhalten von $f$ für $x \to -\infty$ und für $x \to +\infty$ an.

1 Aufgabe

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = (2 - x)\cdot \mathrm{e}^x$.

b)

Berechnen Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $f$.

1 Aufgabe

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = (2 - x)\cdot \mathrm{e}^x$.

c

Begründen Sie mithilfe geeigneter Eintragungen in Abbildung 1 geometrisch, dass der Wert des Terms $\frac{1}{2} \cdot e \cdot 4$ ein Näherungswert für das Integral $\int_{-3}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$ ist. [3 BE]

d

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F$ mit $F(x) = (3-x) \cdot e^x$ ist eine Stammfunktion von $f$. [5 BE]

Berechnen Sie den exakten Wert des Integrals $\int_{-3}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$ sowie die prozentuale Abweichung des Näherungswerts $\frac{1}{2} \cdot e \cdot 4$ vom exakten Wert.

%

2 Auf einer Internetseite wird an einem bestimmten Tag um 12:00 Uhr ein Beitrag veröffentlicht. Die Anzahl der für diesen Beitrag abgegebenen Likes wird mithilfe der in $\mathbb{R}_0^+$ definierten Funktion $a$ beschrieben, deren Graph in Abbildung 2 dargestellt ist. Dabei bezeichnet $x$ die seit 12:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $a(x)$ die Anzahl der seit 12:00 Uhr abgegebenen Likes.

a

Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von $a$ im Sachzusammenhang. [2 BE]

b

Bestimmen Sie die Anzahl der von 14:00 Uhr bis 16:00 Uhr durchschnittlich pro Stunde abgegebenen Likes. [3 BE]

Likes/h

c

Betrachtet wird die Gleichung $a(x+3) = a(x) + 1000$, die im Bereich $x > 0$ genau eine Lösung hat. Ermitteln Sie die Lösung der Gleichung grafisch in Abbildung 2. Interpretieren Sie die Gleichung im Sachzusammenhang. [5 BE]

$x \approx$