Abitur Hessen Mathematik 2025 · GK · Teil A · Stochastik

Bei einem Onlinespiel wird einem Spieler zu Beginn des Spiels entweder Startpunkt A oder Startpunkt B zufällig zugewiesen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dem Spieler Startpunkt A zugewiesen wird, beträgt $40\,\%$. Beginnt der Spieler das Spiel bei Startpunkt A, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er im Spiel auf einen bestimmten Charakter trifft, $80\,\%$. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dem Spieler Startpunkt B zugewiesen wird und er auf diesen Charakter trifft, beträgt $42\,\%$.

a

Erstellen Sie zum beschriebenen Sachverhalt ein beschriftetes Baumdiagramm. [3 BE]

b

Ein Spieler beginnt das Spiel. Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem folgenden Term berechnet werden kann: [2 BE]

$$1 - (0{,}4 \cdot 0{,}8 + 0{,}42)$$

Ein Glücksrad mit acht gleich großen Sektoren ist wie abgebildet beschriftet. Das Glücksrad wird zweimal gedreht.

a

Interpretieren Sie den Term $\left(\frac{3}{8}\right)^2$ im Sachzusammenhang. [2 BE]

b

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen ungerade ist. [3 BE]

In einer Schwimmgruppe, zu der 20 Kinder gehören, haben 9 Kinder das Schwimmabzeichen Bronze.

a

Zwei Kinder der Schwimmgruppe werden zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese beiden Kinder das Schwimmabzeichen Bronze haben. [2 BE]

b

Geben Sie die Bedeutung des folgenden Terms im Sachzusammenhang an: [3 BE]

$$\frac{\displaystyle\binom{9}{2} \cdot \binom{11}{4}}{\displaystyle\binom{20}{6}}$$

In einem Behälter befinden sich eine schwarze Kugel und $w$ weiße Kugeln, wobei $w \ge 2$.

Für ein Spiel wird aus dem Behälter zweimal nacheinander eine Kugel ohne Zurücklegen zufällig entnommen.

1 Aufgabe

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n$ und $p = 0{,}5$.

a)

Es gilt $P(X = 10) = P(X = 11)$. Begründen Sie, dass $n$ nicht gerade ist.

[2 BE]

b)

Es gilt $P(X \ge 9) \approx 0{,}81$ und $P(X = 12) \approx 0{,}14$.

Berechnen Sie unter Verwendung dieser Werte näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P(X = 10)$.

[3 BE]

In einem Behälter befinden sich eine schwarze Kugel und $w$ weiße Kugeln, wobei $w \ge 2$.

Für ein Spiel wird aus dem Behälter zweimal nacheinander eine Kugel ohne Zurücklegen zufällig entnommen.

a

Geben Sie unter der Annahme, dass $w = 3$ ist, die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die schwarze Kugel bereits im ersten Zug entnommen wird.

In einem Behälter befinden sich eine schwarze Kugel und $w$ weiße Kugeln, wobei $w \ge 2$.

Für ein Spiel wird aus dem Behälter zweimal nacheinander eine Kugel ohne Zurücklegen zufällig entnommen.

b

Der Einsatz bei diesem Spiel beträgt $2\,\text{€}$. Wird die schwarze Kugel beim ersten Zug entnommen, werden $8\,\text{€}$ ausgezahlt, wird sie beim zweiten Zug entnommen, so beträgt die Auszahlung $4\,\text{€}$. Wird bei keinem der beiden Züge die schwarze Kugel entnommen, erfolgt keine Auszahlung. Bei wiederholter Durchführung des Spiels ist zu erwarten, dass sich auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgleichen. Ermitteln Sie den zugehörigen Wert von $w$.