Abitur Hessen Mathematik 2025 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR)

Die Kunden eines Pay-TV-Anbieters können zwischen drei Varianten von Abonnements (Abo) wählen: dem Kino-Abo (K), dem Premium-Abo (P) und dem Sport-Abo (S). Im Folgenden werden 3000 Kunden betrachtet, die zu jeder Zeit genau ein Abo haben und die jeweils zu Beginn eines Quartals die Abo-Variante wechseln können.

Die Verteilung dieser Kunden auf die drei Abo-Varianten kann durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} k \\ p \\ s \end{pmatrix}$ dargestellt werden, wobei $k$, $p$ und $s$ die Anzahlen der Kunden mit der Abo-Variante K, P bzw. S bezeichnen. Die Entwicklung der Kundenverteilung von einem Quartal $n$ zum nächsten lässt sich modellhaft durch die Gleichung $\mathrm{v}_{n+1} = \mathrm{M} \cdot \mathrm{v}_n$ mit $$\mathrm{M} = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}1 & 0 \\ 0{,}3 & 0{,}8 & 0{,}5 \\ 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}5 \end{pmatrix}$$ beschreiben.

a

Beschreiben Sie die Bedeutung der Einträge $0$ und $0{,}8$ in der Matrix $\mathrm{M}$ im Sachzusammenhang. [2 BE]

b

Es gibt eine Kundenverteilung, die sich von einem Quartal zum nächsten nicht mehr ändert. Untersuchen Sie, ob bei dieser Verteilung mehr als $60\,\%$ der Kunden die Abo-Variante P haben. [5 BE]

Ja

Nein

c

Es gilt: $$\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 7 & -1 & 1 \\ -2 & 6 & -6 \\ -1 & -1 & 9 \end{pmatrix} \cdot \mathrm{M} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Zu Beginn eines Quartals haben genauso viele Kunden die Abo-Variante K wie die Abo-Variante P. Bestimmen Sie die größtmögliche Anzahl von Kunden, die zu Beginn des vorausgegangenen Quartals die Abo-Variante K hatten. [6 BE]

Der Pay-TV-Anbieter plant, eine Skulptur vor der Firmenzentrale aufzustellen. In einem Koordinatensystem wird die Skulptur durch ein gerades Prisma dargestellt. Die Abbildung zeigt das gerade Prisma, bei dem das Vieleck mit den sieben Eckpunkten $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ und $G$ die Grundfläche bildet sowie $H$ ein weiterer Eckpunkt ist. Dabei gilt $A(1|1|0)$, $B(1|2|4)$ und $D(1|0|1)$.

Das gerade Prisma ist sowohl zur $xz$-Ebene als auch zur $yz$-Ebene symmetrisch.

a

Geben Sie die Koordinaten der Punkte $F$ und $H$ an.

b

Der Punkt $C$ besitzt die folgenden drei Eigenschaften:

Die $x$-Koordinate von $C$ ist $1$.

Die $z$-Koordinate von $C$ ist $4$.

Die Kanten $\overline{AB}$ und $\overline{DC}$ sind parallel.

Bestimmen Sie die $y$-Koordinate von $C$.