Resum de Matemàtiques per Selectivitat

I 42 flashcards i 28 preguntes més al document.

Text del document

IES Duc de Montblanc Matemàtiques Selectivitat 2018 Anàlisi i càlcul, àlgebra i geometria a l'espai. Cristina García Maig – juny 2018 Descarregat per C (comscoot.mail@gmail.com) lOMoARcPSD"56120209 LÍMÍTS Una funció és una aplicació que assigna un únic nombre real f(x) a cada nombre real x. Els límits finits són aquells que tendeixen a una constant sense arribar a tocar-la o que passa vàries vegades per ella.

Podem fer les següents operacions amb límits finits: On ( ) = ( ) = ) lim [ ( ) + ( )] = + lim [ ( ) ( )] = lim [ ( ) · ( )] = · lim ( ) ( ) = lim ( ) ( ) = *Sempre que f(x) > 0 lim ( ) = *si n és parell o senar i f(x) 0 lim log ( ) = log *Si a > 0 i f(x) > 0 Els límits infinits són aquells on podem aconseguir que f(x) sigui tan gran com vulguem, per valors x tan gran com calguin o, per contra, que f(x) sigui tan negatiu com vulguem, per valors d'x tan grans com calgui. Ordre dels infinits: Diem que una funció f(x) és d'ordre superior a una altra g(x) si: lim ( ) ( ) = ± lim ( ) ( ) = 0 Jerarquia Exemple 1. Funció exponencial de base més gran que 1 (s'endrecen segons la base). 1x < 2,3x 2.

Potències d'exponent positiu (s'ordenen segons l'exponent). x4 < x9 3. Funcions logarítmiques (s'ordenen segons la base, gran lenta). log2x > log4x Diem que una funció f(x) és del mateix ordre que una altra g(x) si: lim ( ) ( ) = Jerarquia Exemple 1. Dues funcions exponencials de la mateixa base. 4x /4x = 1 2. Dues potències d'x del mateix exponent.

4x4 / 2x4 = 2 Descarregat per C (comscoot.mail@gmail.com) lOMoARcPSD"56120209 Operacions amb infinit: SUMES DIVISIONS MULTIPLICACIONS POTÈNCIES + + k = + ± / k = ± (+ )·(+ )= + (+ )(+ ) = + (+ )(- ) = 0 + + = + k / 0 = ± (si k 0 (+ )·(- )= - Si k ˃ 0 + k = + - + k = - k / ± = 0 Si k ˃ 0 + · k=+ Si k ˂ 0 + k = 0 - · k = - - - = - Si k ˂ 0 + · k = - Si k ˃ 1 k+ = + - · k = + k- = 0 -(- ) = + Si k ˂ 1 k+ = 0 k- = + Indeterminacions: - + 0 0/0 1± / 00 0· El seu resultat no és fix, depèn de la situació. Resolució d'indeterminacions a límits provocades per arrels negatives: Multiplicar i dividir pel conjugat (el mateix amb el signe de l'arrel canviat). Aplicar diferència de quadrats.

Desenvolupar i simplificar. Escollir la prioritat del numerador / denominador. L'arrel quadrada al quadrat ens dóna el valor absolut, el signe se li posa després segons el signe d'x. Resolució de la indeterminació 1 : Sabem que lim (1 + 1 ) = . lim (1 + 1 ) = lim ((1 + 1 ) ) = . Si lim ( ) = , lim (1 + 1 ( ) ) ( ) = .

Si lim ( ) = i lim ( ) = , lim (1 + 1 ( ) ) ( ) = lim ( ) ( ) Si lim ( ) = 1 i lim ( ) = , lim [ ( )] ( ) = lim ( ) [ ( ) 1] Descarregat per C (comscoot.mail@gmail.com) lOMoARcPSD"56120209 LÍMITS EN UN PUNT lim ( ) EXISTENTS lim = ± lim = + lim = lim = lim = + lim = INEXISTENTS lim = lim + = lim 1 = FUNCIONS CONTÍNUA EN UN PUNT X=A DISCONTÍNUA EN UN PUNT X=A DICONTINUÏTAT DE SALT DISCONTINUÏTAT ASSIMPTÒTICA DISCONTINUÏTAT EVITABLE 1. lim ( ) existeix i és un nombre real 2. f (a) existeix [ ( )] 3. lim ( ) = ( ) lim lim + lim ( ) = lim + ( ) = lim ( ) = lim ( ) ( ) Descarregat per C (comscoot.mail@gmail.com) lOMoARcPSD"56120209 Tipus d'asímptotes: Asímptotes verticals: x = a, lim ( ) = .

Asímptotes horitzontals: y = a, lim ( ) = . Asímptotes obliqües: el lim ( ) s'acosta a una recta. El grau del numerador és una unitat superior al del denominador. TEOREMA DE BOLZANO El Teorema de Bolzado diu que si f (x) és contínua en [a, b] i f (a) i f (b) tenen signe diferent, existeix com a mínim un punt C (a, b) on f(c) = 0. Aquest teorema ens permet dir si una equació té solució (a partit de la igualtat de la funció i 0) i aproximar-la. Utilitzarem el teorema quan ens demanin que demostrem que existeix almenys una solució, arrel, punt de tall, etc.

Descarregat per C (comscoot.mail@gmail.com) lOMoARcPSD"56120209 TÈCNÍQUÈS DÈ DÈRÍVACÍÓ Í APLÍCACÍÓNS DÈ LÈS DÈRÍVADÈS REGLES DE DERIVACIÓ Suma [ ( ) + ( )] = ( ) + ( ) Producte per un nombre [ · ( )] = · ( ) Producte [ ( ) · ( )] = ( ) · ( ) + ( ) · ( ) Quocient [ ( ) ( ) ] = ( ) · ( ) ( ) · ( ) ( )2 Composició (regla de la cadena) { [ ( )]} = [ ( )] · ( ) { ( [ ( )])} = ( [ ( )]) · [ ( )] · ( ) Potència ( ) = · 1 [ ( ) ] = · ( ) 1 · ( ) = ( 1 2) = 1 2 ( ) = 1 2 ( ) · ( ) ( 1 ) = ( 1) = 1 2 ( 1 ( ) ) = 1 ( ) · ( ) Trigonomètriques (sin ) = cos [sin ( )] = cos ( ) · ( ) (cos ) = sin [cos ( )] = sin ( ) · ( ) (tan ) = 1 + tan2 [tan ( )] = [1 + tan2 ( )] · ( ) Funcions arc ( sin ) = 1 1 2 [ sin ( )] = 1 1 ( )2 · ( ) (arccos ) = 1 1 2 [arccos ( )] = 1 1 ( )2 · ( ) (arctan ) = 1 1 + 2 [arctan ( )] = 1 1 + ( )2 · ( ) Exponencials ( ) = [ ( ) ] = ( ) · ( ) ( ) = · ln [ ( ) ] = ( ) · ln · ( ) Logarítmiques (ln ) = 1 [ln ( )] = 1 ( ) · ( ) ( ) = 1 · 1 ln [ ( )] = 1 ( ) · 1 ln · ( ) Descarregat per C (comscoot.mail@gmail.com) lOMoARcPSD"56120209 DERIVACIÓ LOGARÍTMICA De vegades, prenent logaritmes i aprofitant-ne les propietats, se simplifica notablement el càlcul de la derivada d'una funció.

Vegem-ho en un exemple: ( ) = . Aquesta expressió no és potencial, perquè l'exponent no és constant, ni exponencial, perquè la base no és constant. Ens manquen, doncs, les regles per trobar-ne la derivada. No obstant això, si prenem logaritmes obtenim una funció que sabem derivar: ln ( ) = ln , ja que ln( ) = ln ( ) ( ) = ln + · 1 2 ( ) = ( ) · (ln + 1) = ln + APLICACIONS DE LES DERIVADES 1. Recta tangent a una corba en un dels seus punts Si ( ) és derivable en , l'equació de la recta tangent a la gràfica de = ( ) en és: = ( ) + ( )( ) 2.

Informació extreta de la primera derivada Creixement i decreixement: si f'(x) ˃ 0, el pendent és positiu i la funció creix i si f'(x) ˂ 0 el pendent és negatiu i la funció decreix. Màxims i mínims relatius: si f'(x) = 0, la funció pot presentar un màxim o un mínim relatiu en aquell punt, ja que el pendent és 0, sempre i quan al seu voltant la funció sigui creixent per un costat i decreixent per l'altre o a la inversa. Punt d'inflexió: si f'(x) = 0, la funció pot presentar un punt d'inflexió, sempre i quan el signe de les derivades del voltant sigui el mateix. 3.

Informació extreta de la segona derivada Concavitat, convexitat i punt d'inflexió: si f''(x) ˃ 0, la funció és còncava en aquell punt, si f''(x) ˂ 0, la funció és convexa en aquell punt i si f''(x) = 0, la funció presenta un punt d'inflexió en aquell punt (quan es produeix un canvi de curvatura). Identificació de màxims i mínims: si f''(x) ˃ 0 es tracta d'un mínim i si f''(x) ˂ 0 es tracta d'un màxim. ESTUDI DE LA MONOTONIA D'UNA FUNCIÓ (CREIXEMENT I DECREIXEMENT) 1. Buscar el domini i les possibles asímptotes verticals, horitzontals i obliqües. 2. Estudiar el creixement, decreixement i trobar els extrems relatius a partir de la primera derivada. 3.

Estudiar la curvatura a partir de la segona derivada. Descarregat per C (comscoot.mail@gmail.com) lOMoARcPSD"56120209 OPTIMITZACIÓ DE FUNCIONS L'optimització és una tècnica utilitzada per resoldre problemes en què ens demanen un valor màxim o un mínim (el valor òptim). Trobar l'equació del que ens demanen en funció de dos paràmetres. Expressar l'equació en funció d'un únic paràmetre a partir d'alguna dada de l'enunciat. Fer la primera derivada i igualar a 0. Comprovar si és realment un màxim o un mínim i calcular el que ens demanin per donar la solució.

Descarregat per C (comscoot.mail@gmail.com) lOMoARcPSD"56120209 Descarregat per C (comscoot.mail@gmail.com) lOMoARcPSD"56120209 CALCUL D'ARÈÈS AMB FUNCÍÓNS. ÍNTÈGRACÍÓ CÀLCUL DE PRIMITIVES. REGLES BÀSIQUES PER AL SEU CÀLCUL F(x) és una primitiva o una integral indefinida de f(x) si F'(x) = F (x). Això s'expressa de la següent manera: ( ) = ( ) Cada funció té infinites primitives, perquè si F(x) és primitiva de f(x), llavors F(x) + k també ho és, perquè la derivada d'un nombre és 0.

I això és cert qualsevol que sigui la constant k, per això escrivim: ( ) = ( ) + Propietats: [ ( ) + ( )] = ( ) + ( ) · ( ) = · ( ) TAULA D'INTEGRALS IMMEDIATES = + = +1 +1 +c 1 = " " + = + = + (1 + tan2 ) = tan + 1 2 = tan + 1 2 = + 1 1 + 2 = + 1 1 2 = + 1 1 2 = + = + = ln + 1 = 2 + = "sin " + = " " + Descarregat per C (comscoot.mail@gmail.com) lOMoARcPSD"56120209 Regla de la cadena: Com que és la inversa que la derivació, l'integral d'una funció per la seva derivada serà igual a l'integral de la funció.

( ( )) · ( ) = ( ( )) + ( ) · ( ) = 2 ( ) 2 + En el cas en què no tinguem la derivada multiplicant per la funció, podem fer el següent: 2 = 2 · 2 · 1 2 = 1 2 2 · 2 = 1 2 2 + Mètode de substitució. Canvi de variable: Si ( ) = , ( ) = . D'aquesta manera, ( ( )) · ( ) = ( ( )) · = ( ) + . Exemple: 2 + 1 2 + 1 = 2 = = 2 2 + 1 = 2 = 1 2 = 1 2 1/2 = 1 2 · 3/2 3/2 + = 1 3 3 + = ( 2 + 1)3 3 Integració per parts: Quan tenim el producte de dues funcions, podem trobar la seva integral a partir de la integració per parts. · = · · + On u és una funció i u' la seva derivada i v és l'altra funció i v' la seva derivada.

INTEGRACIÓ DEFINITA Regla de Barrow: ( ) = ( ) ( ) , on F és una primitiva de f (F'(x) = f(x)). Descarregat per C (comscoot.mail@gmail.com) lOMoARcPSD"56120209 Àrea entre la funció y=f(x), l'eix OX, x=a i x=b: 1. Trobar les punts de tall amb l'eix d'abscisses: f(x) = 0. 2. Comprovar quines solucions són dins de l'interval [a, b] i dividir aquest interval en intervals més petits. 3. Calcular la integral de cada un dels intervals. 4. Sumar en valor absoluts els resultats obtinguts de les respectives integrals. Àrea entre dues funcions: L'àrea entre dues funcions (f i g) és la resta entre aquestes (f-g). 1. Trobar els punts de tall entre les dues funcions. 2.

Calcular la primitiva de la seva resta. 3. Aplicar-la als diferents intervals. 4. Sumar les diferents àrees en valor absolut. Descarregat per C (comscoot.mail@gmail.com) lOMoARcPSD"56120209 ALGÈBRA 1. SISTEMES D'EQUACIONS: RESOLUCIÓ I DISCUSSIÓ. Per resoldre i/o discutir un sistema d'equacions cal esglaonar-lo amb el mètode de Gauss. A partir d'aquí: Grau de llibertat: nombre de paràmetres. Sistema homogeni: tots els termes independents són zero. Sempre és un sistema compatible, i té com a mínim la solució de que cada incògnita és 0. 2. MATRIUS: OPERACIONS, EQUACIONS I INVERSA. Matriu: conjunt de nombres ordenats en files i columnes. Matriu fila: matriu d'una sola fila.

Matriu columna: matriu d'una sola columna. Matriu diagonal: matriu quadrada amb zeros fora de la diagonal. Matriu quadrada: matriu amb el mateix nombre de files que de columnes. Matriu identitat: matriu quadrada diagonal amb 1 en la diagonal. Matriu transposada (At ): matriu que s'obté al canviar les files d'una matriu per les seves columnes. Matriu simètrica: és aquella que al transposar-la es queda igual. Propietats de la transposació de matrius (At )t = A (A+B)t = At + Bt (K·A)t = K·At (A·B)t = At ·Bt Operacions amb matrius: Suma i resta: les matrius han de ser de les mateixes dimensions, i es fa sumant o restant cada nombre amb el de la seva posició.

SISTEMES D'EQUACIONS COMPATIBLES INCOMPATIBLES Tenen solució. No tenen solució. En fer Gauss surt que 0 = k ( 0). DETERMINATS INDETERMINATS Tenen una solució. En fer Gauss queden tantes equacions com incògnites. Tenen infinites solucions. En fer Gauss queden menys equacions que incògnites i el nombre de paràmetres és la diferència entre el nombre d'incògnites i el nombre d'equacions. Descarregat per C (comscoot.mail@gmail.com) lOMoARcPSD"56120209 o A + B = B + A o (A + B) + C = A + (B + C) o Té element neutre (matriu zero) o Té element oposat: op(A) = -A, A + op(A) = 0 Multiplicació per un nombre: multiplicar cada element de la matriu per aquest nombre.

Multiplicació per matrius: es multipliquen les files per les columnes. És necessari que el nombre d'elements de la fila sigui igual al nombre d'elements de la columna. No és commutativa. Potència d'una matriu: es multiplica la matriu tantes vegades per sí mateixa com vegades que indica l'exponent. Podem trobar matrius cícliques. Inversa d'una matriu: es fa amb el mètode de Gauss i Jordan, deixant la matriu identitat a la dreta de la matriu en qüestió i esglaonant amunt i avall per passar la matriu identitat a l'esquerra. Només és aplicable a matrius quadrades. El resultat de la matriu per la seva inversa dona la matriu identitat.

Expressió matricial d'un sistema Un sistema pot escriure's com una equació de matrius de la següent manera: { 3 2 + 4 = 5 + + = 3 2 + 5 = 8 3 2 4 1 1 1 2 1 5 · = 5 3 8 (AX=B) D'aquesta manera, podem resoldre el sistema multiplicant per la inversa d'A a banda i banda: AX = B A-1 · A · X = A-1 · B I · X = A-1 · B X = A-1 · B 3. DETERMINANTS: CÀLCUL I ÚS PER TROBAR LA INVERSA. El determinant és un nombre associat a la matriu quadrada. Determinant d'una matriu d'ordre 2: " " = · · Determinant d'una matriu d'ordre 3: S'escriuen les dues primeres files a sota de la matriu i es resten les diagonals d'esquerra a dreta menys les diagonals de dreta a esquerra.

Propietats dels determinants: Det A = det At tot allò aplicable a les files és aplicable també a les columnes. Si es multiplica una fila o una columna per una constant, el determinant queda multiplicat per la constant. Si una fila o columna pot expressar-se com a suma de dos, el determinant es pot expressar com a suma de dos determinants: " 3 + 5 4 3 " = " 3 5 4 3 " + " 4 3 " Al intercanviar files o columnes, el determinant canvia de signe (si el canvi de files és parell). Si hi ha una fila o columna de zeros, el determinant val zero. Descarregat per C (comscoot.mail@gmail.com) lOMoARcPSD"56120209 Si una fila o columna és combinació lineal de les altres, el determinant val zero.

És a dir, que si el determinant d'A 0, les files i columnes són linealment independents. Menor complementari Per fer el menor complementari de qualsevol element, es treu la fila i la columna de l'element en qüestió i es calcula el determinant. Adjunt L'adjunt és el menor canviat de signe (positiu si la suma entre les posicions de fila i columna és parell i negatiu si és senar). Determinants d'ordre 4 Es calcula multiplicant cada un dels elements d'una fila o columna qualsevol de la matriu pels seus respectius adjunts.

Càlcul de la inversa a partir del determinant 1 = 1 det [ ( )2 ] Rang d'una matriu El rang d'una matriu és el nombre màxim de vectors linealment independents que pot haver-hi a les files o columnes. Mètode 1: esglaonar i comptar el nombre de files diferents a 0. Mètode 2: amb determinants. Cal fer el determinant i igualar-lo a zero. Amb les possibles solucions mirar els diferents rangs que podem obtenir. Si el determinant no és igual a 0, són linealment independents. Descarregat per C (comscoot.mail@gmail.com) lOMoARcPSD"56120209 GÈÓMÈTRÍA DÈ L'ÈSPAÍ 1. GEOMETRIA AFI Els elements: Punt, coordenades: P(x, y, z).

Vector, components: = ( , , ) Combinació lineal (CL): és combinació lineal d'una família de vectors si = 1 1 + 2 2 + + . Estan al mateix pla perquè són múltiples. Vectors linealment dependents: 1 … són linealment dependents si un d'ells és combinació lineal dels altres (família de vectors). Vectors linealment independents: 1 … són linealment independents si cap d'ells és combinació lineal dels altres. Criteri a 3 : 3 és l'espai on treballem: a. Dos vectors, i són linealment dependents si 1 1 = 2 2 = 3 3 . b. Tres vectors, , i , són linealment dependents si det( , , ) = 0. c. Tres vectors, , i , són linealment independents si det( , , ) 0. d.

Més de tres vectors a 3 són sempre linealment dependents. Operacions amb vectors Producte escalar: · = " " · " " · cos = 1 1 + 2 2 + 3 3 a. " " = 1 2 + 2 2 + 3 2 b. cos = · " "· " " c. Si · = 0, Producte vectorial: = " 1 2 3 1 2 3 " a. i Aplicació del determinant a la geometria: tres vectors formen un paral·lelepípede (paral·lelogram en tres dimensions) el volum del qual és el valor absolut del determinant dels tres vectors.

= "det( , , )" Equacions de la recta Equació vectorial: = + Equació paramètrica: { = 1 + 1 = 2 + 2 = 3 + 3 Equació contínua: 1 1 = 2 2 = 3 3 Equació implícita: { 1 + 1 + 1 = 1 2 + 2 + 2 = 2 Descarregat per C (comscoot.mail@gmail.com) lOMoARcPSD"56120209 Equacions del pla Equació vectorial: = + + Equació paramètrica:{ = 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 Equació general: + + + = 0 Posicions relatives Pla - Pla Posició relativa Punt – vector associat Sistema d'equacions Coincideixen = · = 0 = = = Són paral·lels = · 0 = = Es tallen en una recta { + + = + + = s.c.i.

Pla - Recta Posició relativa Punt – vector associat Sistema d'equacions La recta és dins del pla · = 0 · = 0 { + + = 1 + 1 + 1 = 1 2 + 2 + 2 = 2 s.c.i. Són paral·lels · = 0 · 0 { + + = 1 + 1 + 1 = 1 2 + 2 + 2 = 2 s.i. Es tallen en un punt · 0 { + + = 1 + 1 + 1 = 1 2 + 2 + 2 = 2 s.c.d. Recta r- Recta s Posició relativa Punt – vector associat Sistema d'equacions Coincideixen = = { 1 + 1 + 1 = 1 2 + 2 + 2 = 2 1 + 1 + 1 = 1 2 + 2 + 2 = 2 s.c.i. Són paral·leles = { 1 + 1 + 1 = 1 2 + 2 + 2 = 2 1 + 1 + 1 = 1 2 + 2 + 2 = 2 s.i. rang (A) = 2 Es tallen en un punt det( , , ) = 0 { 1 + 1 + 1 = 1 2 + 2 + 2 = 2 1 + 1 + 1 = 1 2 + 2 + 2 = 2 s.c.d.

Es creuen det( , , ) 0 { 1 + 1 + 1 = 1 2 + 2 + 2 = 2 1 + 1 + 1 = 1 2 + 2 + 2 = 2 s.i. rang (A) = 3 Descarregat per C (comscoot.mail@gmail.com) lOMoARcPSD"56120209 2. GEOMETRIA MÈTRICA Angles Entre dos vectors Entre una recta i un pla que es tallen cos = · " " · " " = 2 , on β és l'angle entre la recta i el vector associat al pla. cos = · " " · " " Entre rectes que es tallen Entre dos plans que es tallen cos = · " " · " " És l'angle entre els dos vectors associats.

cos = · " " · " " Distàncies Entre dos punts Entre un punt i una recta ( , ) = " " ( , ) = " " " " Entre un punt i un pla Entre varietats lineals que coincideixin o es tallin ( , ) = " 1 + 2 + 3 + " 2 + 2 + 2 d = 0 Entre dos plans paral·lels Entre un pla i una recta paral·lels Agafar punt P de 1. ( 1, 2) = ( , 2) Agafar un punt P de r ( , ) = ( , ) Entre dues rectes paral·leles Entre dues rectes que es creuen Agafar un punt P de r ( , ) = ( , ) Construir un pla paral·lel a s que contingui r amb el vector director d'r i d's i el punt r.

( , ) = ( , ) Àrees Paral·lelogram Triangle = " " = " " 2 Volums Paral·lelepípede Piràmide = det( , , ) = 1 3 det( , , ) Tetraedre = 1 6 det( , , ) Descarregat per C (comscoot.mail@gmail.com) lOMoARcPSD"56120209