1. Definicions bàsiques i operacions amb vectors
Flashcards
- Què és un vector fix?
- Un segment orientat determinat per dos punts: un origen $A$ i un extrem $B$.
- Quins són els tres elements d'un vector?
- Mòdul (longitud), direcció (recta de suport) i sentit (recorregut d'origen a extrem).
- Què defineixen tots els vectors fixos equipolents agrupats?
- Formen una classe d'equivalència que constitueix un únic vector lliure.
- Com es defineix analíticament la suma de dos vectors a l'espai?
- Sumant component a component: $\vec{u} + \vec{v} = (u_1+v_1, u_2+v_2, u_3+v_3)$.
Preguntes tipus test
- A partir de la representació , quina relació guarden els vectors $\vec{AB}$ i $\vec{BA}$?
- a) Són exactament el mateix vector fix en compartir la mateixa recta de suport.
- b) Tenen diferent direcció i mòdul, compartint únicament el sentit del recorregut.
- c) Tenen la mateixa direcció i sentit, però el seu mòdul és completament diferent.
- d) Tenen el mateix mòdul i la mateixa direcció, però presenten sentits oposats.
Resposta: d) Tenen el mateix mòdul i la mateixa direcció, però presenten sentits oposats.. Dos punts $A$ i $B$ determinen dos vectors fixos $\vec{AB}$ i $\vec{BA}$ amb el mateix mòdul i la mateixa direcció, però amb sentits contraris segons el punt que s'esculli com a origen i quin com a extrem.
- Quins tres elements defineixen de forma unívoca un vector a l'espai?
- a) La longitud del segment, la seva àrea i el perímetre.
- b) El seu mòdul, la seva direcció i el seu sentit.
- c) El seu punt d'origen, el pendent i la seva curvatura.
- d) La dimensió espacial, el terme independent i el rang.
Resposta: b) El seu mòdul, la seva direcció i el seu sentit.. Un vector queda completament determinat pel seu mòdul (longitud del segment orientat), la seva direcció (la recta que el conté o qualsevol de paral·lela) i el seu sentit (la forma de recórrer el segment d'origen a extrem).
- Quan es multipliquen un escalar $k < 0$ i un vector $\vec{v}$, com és el vector resultant $k\cdot\vec{v}$?
- a) Té diferent direcció, sentit inalterat i el seu mòdul esdevé un nombre negatiu.
- b) Té la mateixa direcció, sentit contrari a $\vec{v}$ i mòdul $|k|$ vegades el de $\vec{v}$.
- c) Té la mateixa direcció i sentit que $\vec{v}$, però amb mòdul dividit per la constant.
- d) Té direcció perpendicular, el mateix sentit que $\vec{v}$ i mòdul constant igual a $k$.
Resposta: b) Té la mateixa direcció, sentit contrari a $\vec{v}$ i mòdul $|k|$ vegades el de $\vec{v}$.. El producte d'un vector per un escalar negatiu conserva la direcció de la recta de suport, inverteix el sentit original del vector i multiplica el seu mòdul pel valor absolut d'aquesta constant.
2. Combinació lineal, bases i sistemes de referència
Flashcards
- Què és una combinació lineal de vectors?
- És l'expressió $\vec{v} = \lambda_1 \cdot \vec{u}_1 + \dots + \lambda_n \cdot \vec{u}_n$, on $\lambda_i \in \mathbb{R}$.
- Quan són linealment independents els vectors $\vec{u}_1, \dots, \vec{u}_n$?
- Quan cap d'ells no es pot escriure com a combinació lineal dels altres.
- Què és un sistema generador d'un espai?
- Un conjunt de vectors amb el qual es pot generar qualsevol vector de l'espai mitjançant combinació lineal.
- Quines condicions defineixen una base d'un espai de dimensió $n$?
- Complir com a mínim dues de: ser $n$ vectors, ser linealment independents o formar sistema generador.
Preguntes tipus test
- Quan es diu que un vector $\vec{v}$ és combinació lineal d'un conjunt de vectors $\vec{u}_1, \vec{u}_2, \dots, \vec{u}_n$?
- a) Quan és perpendicular a cadascun dels vectors que formen el conjunt en l'espai tridimensional.
- b) Quan es pot expressar com $\vec{v} = \lambda_1 \cdot \vec{u}_1 + \lambda_2 \cdot \vec{u}_2 + \dots + \lambda_n \cdot \vec{u}_n$ amb escalars reals.
- c) Quan el producte escalar del vector $\vec{v}$ per cadascun dels vectors del conjunt és igual a la unitat.
- d) Quan té exactament el mateix mòdul i la mateixa direcció que la suma directa de tots els vectors donats.
Resposta: b) Quan es pot expressar com $\vec{v} = \lambda_1 \cdot \vec{u}_1 + \lambda_2 \cdot \vec{u}_2 + \dots + \lambda_n \cdot \vec{u}_n$ amb escalars reals.. Per definició, un vector $\vec{v}$ és combinació lineal d'altres vectors si existeixen escalars reals tals que $\vec{v}$ és la suma ponderada d'aquests.
- Quina és la condició perquè un conjunt de vectors sigui linealment independent?
- a) El nombre total de vectors del conjunt ha de coincidir sempre amb la dimensió de l'espai.
- b) Cap dels vectors del conjunt no es pot escriure com a combinació lineal dels altres.
- c) La suma de tots els vectors del conjunt ha de ser diferent del vector nul.
- d) Tots els vectors del conjunt han de tenir mòdul igual a 1 i ser perpendiculars entre ells.
Resposta: b) Cap dels vectors del conjunt no es pot escriure com a combinació lineal dels altres.. Un conjunt de vectors és linealment independent precisament quan cap d'ells no es pot expressar com a combinació lineal dels restants.
- Quantes condicions d'aquestes tres (tenir $n$ vectors, ser linealment independents, formar un sistema generador) cal complir com a mínim per ser base d'un espai de dimensió $n$?
- a) És imprescindible complir sempre les tres sense excepció.
- b) Cal complir-ne com a mínim dues de les tres condicions.
- c) N'hi ha prou amb complir només una condició qualsevol.
- d) Només cal complir la condició de formar un sistema generador.
Resposta: b) Cal complir-ne com a mínim dues de les tres condicions.. En un espai de dimensió $n$, qualsevol conjunt que compleixi dues d'aquestes tres condicions compleix automàticament la tercera i forma una base.
3. Mòdul, distància i dependència lineal amb components
Flashcards
- Com es calcula el mòdul d'un vector $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$?
- Com l'arrel quadrada de la suma dels quadrats de les seves components: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$.
- Com s'obté un vector unitari $\vec{u}$ a partir d'un vector $\vec{v}$ no nul?
- Dividint el vector $\vec{v}$ pel seu propi mòdul: $\vec{u} = \dfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$.
- Com es defineix la distància entre dos punts $A$ i $B$?
- És igual al mòdul del vector que té com a extrems aquests dos punts: $d(A, B) = |\vec{AB}|$.
- Quan són linealment independents $n$ vectors segons la seva combinació lineal?
- Quan cap vector del conjunt es pot expressar com a combinació lineal de la resta.
Preguntes tipus test
- Observa el següent esquema . Quina és la característica fonamental del vector $\vec{u}_{AB}$ respecte al vector $\vec{AB}$?
- a) És un vector perpendicular al vector original que serveix com a eix de coordenades
- b) Té la mateixa direcció i sentit que el vector original però el seu mòdul és exactament 1
- c) Té la meitat de longitud que el vector original i sentit contrari a la recta guia
- d) Té un mòdul el triple de gran que el vector original per cobrir tot el segment marcat
Resposta: b) Té la mateixa direcció i sentit que el vector original però el seu mòdul és exactament 1. Un vector unitari manté la direcció i el sentit del vector original, però té mòdul igual a 1, resultat de dividir el vector pel seu propi mòdul.
- Si prenem els punts $A(-2, 3, 7)$ i $B(2, 0, -4)$, quin és el mòdul del vector $\vec{AB}$?
- a) $146$
- b) $\sqrt{162}$
- c) $\sqrt{130}$
- d) $\sqrt{146}$
Resposta: d) $\sqrt{146}$. El vector $\vec{AB}$ té components $(2 - (-2), 0 - 3, -4 - 7) = (4, -3, -11)$. El seu mòdul és $\sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-11)^2} = \sqrt{16 + 9 + 121} = \sqrt{146}$.
- Què podem afirmar necessàriament sobre un conjunt de 4 vectors a l'espai tridimensional?
- a) Poden ser linealment independents si el determinant format per ells és no nul
- b) Són sempre linealment dependents perquè el rang màxim de la matriu de components és 3
- c) Són linealment independents si cap d'ells té components iguals a zero
- d) Són independents sempre que no siguin paral·lels dos a dos en el mateix pla
Resposta: b) Són sempre linealment dependents perquè el rang màxim de la matriu de components és 3. A l'espai tridimensional, qualsevol conjunt de n vectors amb n major que 3 és sempre linealment dependent perquè la matriu té com a màxim rang 3.
4. Producte escalar i aplicacions geomètriques
Flashcards
- Com es defineix geomètricament el producte escalar de dos vectors?
- És el producte dels seus mòduls pel cosinus de l'angle menor que formen: $\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$.
- Quina és la fórmula de la projecció d'un vector $\vec{v}$ sobre $\vec{u}$?
- $\text{Proy}_{\vec{u}}\vec{v} = |\vec{v}|\cos\alpha = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|}$. Pot ser positiva o negativa.
- Com s'expressa el vector projecció de $\vec{v}$ sobre $\vec{u}$?
- $\vec{\text{Proy}}_{\vec{u}}(\vec{v}) = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|^2}\,\vec{u}$. Dona la projecció orientada com a vector.
- Com es calcula el producte escalar en el sistema canònic?
- Sumant els productes de les coordenades corresponents: $\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$.
Preguntes tipus test
- Com es calcula el valor de la projecció d'un vector $\vec{v}$ sobre un vector $\vec{u}$ a partir del producte escalar?
- a) $\text{Proy}_{\vec{u}}\vec{v} = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|}$
- b) $\text{Proy}_{\vec{u}}\vec{v} = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}$
- c) $\text{Proy}_{\vec{u}}\vec{v} = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|^2}$
- d) $\text{Proy}_{\vec{u}}\vec{v} = |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\sin\alpha$
Resposta: a) $\text{Proy}_{\vec{u}}\vec{v} = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|}$. Com que $\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}|\cdot\text{Proy}_{\vec{u}}\vec{v}$, aïllant la projecció s'obté el quocient entre el producte escalar i el mòdul del vector sobre el qual es projecta, $|\vec{u}|$.
- Quin és el vector projecció de $\vec{v}$ sobre $\vec{u}$, tenint en compte la seva direcció i sentit?
- a) $\vec{\text{Proy}}_{\vec{u}}(\vec{v}) = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|^2}\,\vec{u}$
- b) $\vec{\text{Proy}}_{\vec{u}}(\vec{v}) = (\vec{u}\cdot\vec{v})\,\vec{u}$
- c) $\vec{\text{Proy}}_{\vec{u}}(\vec{v}) = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|^2}\,\vec{v}$
- d) $\vec{\text{Proy}}_{\vec{u}}(\vec{v}) = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|}\,\vec{v}$
Resposta: a) $\vec{\text{Proy}}_{\vec{u}}(\vec{v}) = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|^2}\,\vec{u}$. El vector projecció s'obté multiplicant l'escalar de projecció pel vector unitari en la direcció de $\vec{u}$, la qual cosa dona $\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|^2}\,\vec{u}$.
- Quina interpretació geomètrica té una projecció escalar amb valor estrictament negatiu segons ?
- a) Els dos vectors són estrictament perpendiculars
- b) El vector i la seva projecció tenen sentit contrari
- c) Els dos vectors tenen mòduls iguals a zero
- d) L'angle entre els vectors és menor de noranta graus
Resposta: b) El vector i la seva projecció tenen sentit contrari. Quan l'angle és obtús, el cosinus és negatiu i la projecció té signe negatiu, indicant que la projecció té sentit contrari al vector base.
5. Producte vectorial i càlcul d'àrees
Flashcards
- Com es defineix el mòdul del producte vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$?
- $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \sin\alpha$, sent $\alpha$ el menor angle entre ells.
- Quina és la propietat anticonmutativa del producte vectorial?
- $\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})$. El canvi d'ordre inverteix el sentit.
- Quan és nul el producte vectorial de dos vectors no nuls?
- Quan els vectors són paral·lels: $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} \iff \vec{u} \parallel \vec{v}$.
- Com es calcula analíticament $\vec{u} \times \vec{v}$ a la base canònica?
- Desenvolupant el determinant amb $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ a la fila 1 i les components a sota.
Preguntes tipus test
- Quina relació es compleix en intercanviar l'ordre dels vectors en el producte vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$?
- a) La direcció del vector es torna paral·lela a un dels dos vectors
- b) El vector resultant canvia de sentit: $\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})$
- c) El mòdul del vector resultant esdevé nul de manera immediata
- d) El resultat no varia perquè compleix la propietat commutativa
Resposta: b) El vector resultant canvia de sentit: $\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})$. El producte vectorial té la propietat anticonmutativa, de manera que en canviar l'ordre dels factors s'obté el vector oposat.
- Com es determina el sentit del producte vectorial indicat en aquest esquema?
- a) Orientant el sentit en la mateixa direcció que el vector de major longitud
- b) Mitjançant el sentit d'avanç d'un llevataps que gira del primer vector cap al segon
- c) Fent coincidir sempre el sentit positiu amb l'eix vertical de cotes del sistema
- d) Triant el sentit que minimitzi l'angle absolut entre els dos vectors inicials
Resposta: b) Mitjançant el sentit d'avanç d'un llevataps que gira del primer vector cap al segon. La regla de Maxwell o del llevataps estableix que el sentit del producte vectorial és el d'avanç d'un llevataps en girar de u cap a v.
- Com s'expressa analíticament el producte vectorial de dos vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ en el sistema canònic?
- a) Multiplicant la matriu de components pel producte escalar dels dos vectors
- b) Mitjançant un determinant 3x3 amb els vectors unitaris a la primera fila
- c) Calculant la diferència entre els mòduls elevats al quadrat de cada vector
- d) Amb la suma dels productes component a component dels dos vectors
Resposta: b) Mitjançant un determinant 3x3 amb els vectors unitaris a la primera fila. El producte vectorial s'obté analíticament desenvolupant el determinant format pels vectors de la base canònica a la primera fila i les components dels vectors a la segona i tercera fila.
6. Producte mixt i càlcul de volums
Flashcards
- Què és el producte mixt de tres vectors?
- És el nombre obtingut de fer $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$, denotat com $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$.
- Com es calcula analíticament $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ amb components?
- Mitjançant el determinant $3 \times 3$ format per les coordenades dels tres vectors disposades per files.
- Què implica que $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$?
- Implica que els tres vectors són linealment dependents, és a dir, són coplanaris.
- Com es calcula el volum d'un paral·lelepípede amb producte mixt?
- Com el valor absolut del producte mixt: $V = |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$.
Preguntes tipus test
- Com es defineix algebraicament el producte mixt de tres vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$?
- a) Com el producte escalar del primer vector pel producte vectorial dels altres dos: $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$.
- b) Com el producte vectorial del primer vector pel producte escalar dels altres dos: $\vec{u} \times (\vec{v} \cdot \vec{w})$.
- c) Com el determinant format per la suma i resta successiva de cadascun dels tres components vectorials.
- d) Com la suma del producte escalar i el producte vectorial dels tres vectors: $(\vec{u} \cdot \vec{v}) + \vec{w}$.
Resposta: a) Com el producte escalar del primer vector pel producte vectorial dels altres dos: $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$.. El producte mixt de tres vectors s'obté en calcular el producte escalar del primer vector pel producte vectorial dels altres dos, denotat com $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$.
- Com es calcula analíticament el producte mixt $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ en el sistema de referència canònic?
- a) Multiplicant directament les components homòlogues dels tres vectors: $u_1 v_1 w_1 + u_2 v_2 w_2 + u_3 v_3 w_3$.
- b) Mitjançant el determinant d'ordre $3$ format per les components dels tres vectors en files o columnes.
- c) Calculant el producte de les diagonals principals de la matriu formada únicament per $\vec{u}$ i $\vec{v}$.
- d) Sumant els mòduls dels tres vectors i multiplicant pel cosinus de l'angle que formen entre ells.
Resposta: b) Mitjançant el determinant d'ordre $3$ format per les components dels tres vectors en files o columnes.. L'expressió analítica del producte mixt en el sistema canònic correspon al determinant de la matriu $3 \times 3$ formada per les coordenades dels vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$.
- Quina condició geomètrica equival al fet que el producte mixt de tres vectors sigui nul, $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$?
- a) Els tres vectors són linealment dependents i, per tant, es troben en un mateix pla (són coplanaris).
- b) El vector resultant té mòdul igual a zero però direcció indefinida en el pla.
- c) Els tres vectors són perpendiculars entre si dos a dos en l'espai tridimensional.
- d) Com a mínim dos dels tres vectors tenen mòdul unitari i sentits oposats.
Resposta: a) Els tres vectors són linealment dependents i, per tant, es troben en un mateix pla (són coplanaris).. El producte mixt és zero si i només si els vectors són linealment dependents, la qual cosa significa geomètricament que són coplanaris.
I 17 flashcards i 15 preguntes més al document.