1. Què és una funció?
Flashcards
- Què és una funció?
- Una relació entre dues variables on cada valor de la variable independent té un únic valor de la variable dependent.
- Com s'anomena la variable 'x' en la funció y=f(x)?
- Variable independent.
- Com s'anomena la variable 'y' en la funció y=f(x)?
- Variable dependent.
- Què és el domini d'una funció?
- El conjunt de tots els valors possibles de la variable independent (x) per als quals la funció està definida.
Preguntes tipus test
- Quina de les següents opcions descriu millor què és una funció en matemàtiques?
- a) Una equació lineal amb una sola solució.
- b) Una relació entre dues variables on cada valor de la variable independent té un únic valor de la variable dependent.
- c) Un conjunt de punts aïllats en un gràfic.
- d) Una expressió algebraica sense variables.
Resposta: b) Una relació entre dues variables on cada valor de la variable independent té un únic valor de la variable dependent.. Una funció és una relació entre dues variables (x i y) on a cada valor de x (variable independent) li correspon un únic valor de y (variable dependent).
- En una funció y=f(x), quin nom rep la variable 'x'?
- a) Variable dependent
- b) Variable independent
- c) Constant
- d) Variable aleatòria
Resposta: b) Variable independent. En la notació y=f(x), 'x' és la variable independent, ja que el seu valor pot ser triat lliurement dins del domini de la funció.
- Quin dels següents conjunts de valors representa el domini d'una funció?
- a) Els valors de 'y' que la funció pot prendre.
- b) Els valors de 'x' per als quals la funció està definida.
- c) Totes les possibles sortides de la funció.
- d) Els punts on la funció talla l'eix 'y'.
Resposta: b) Els valors de 'x' per als quals la funció està definida.. El domini d'una funció és el conjunt de tots els valors possibles de 'x' (variable independent) per als quals la funció produeix un valor vàlid de 'y'.
2. Domini i recorregut
Flashcards
- Què és el domini d'una funció?
- Conjunt de valors de x que es poden utilitzar.
- Quina és la restricció habitual per als denominadors en el domini d'una funció?
- No poden ser 0.
- Quina és la restricció habitual per a les arrels quadrades en el domini d'una funció?
- El que hi ha dins ha de ser ≥ 0.
- Quina és la restricció habitual per als logaritmes en el domini d'una funció?
- L'interior ha de ser > 0.
Preguntes tipus test
- Quina de les següents restriccions habituals s'aplica al domini d'una funció quan tenim denominadors?
- a) El denominador ha de ser major o igual a 0.
- b) El denominador ha de ser igual a 1.
- c) El denominador no pot ser 0.
- d) El denominador ha de ser menor que 0.
Resposta: c) El denominador no pot ser 0.. El domini d'una funció exclou els valors de x que fan que el denominador sigui 0, ja que la divisió per 0 no està definida.
- Quina condició s'ha de complir per les arrels quadrades en el càlcul del domini d'una funció?
- a) L'interior de l'arrel ha de ser estrictament menor que 0.
- b) L'interior de l'arrel ha de ser major o igual a 0.
- c) L'interior de l'arrel ha de ser igual a 1.
- d) L'interior de l'arrel ha de ser igual a 0.
Resposta: b) L'interior de l'arrel ha de ser major o igual a 0.. Per a que una arrel quadrada tingui un resultat real, l'expressió dins de l'arrel ha de ser major o igual a zero.
- Quina condició s'ha de complir per als logaritmes en el càlcul del domini d'una funció?
- a) L'interior del logaritme ha de ser igual a 0.
- b) L'interior del logaritme ha de ser menor que 0.
- c) L'interior del logaritme ha de ser major que 0.
- d) L'interior del logaritme ha de ser menor o igual a 0.
Resposta: c) L'interior del logaritme ha de ser major que 0.. El domini d'una funció logarítmica requereix que l'argument del logaritme (l'interior) sigui estrictament més gran que zero.
3. Tall amb els eixos
Flashcards
- Com trobem el tall amb l'eix Y?
- Fem x = 0 i resolem per y.
- Com trobem els talls amb l'eix X?
- Fem f(x) = 0 i resolem per x.
- Si f(x) = x² - 4, quin és el tall amb l'eix Y?
- (0, -4)
- Si f(x) = x² - 4, quins són els talls amb l'eix X?
- (2, 0) i (-2, 0)
Preguntes tipus test
- Què hem de fer per trobar el punt de tall amb l'eix Y d'una funció?
- a) Substituir y per 0 i resoldre per x.
- b) Substituir x per 0 i resoldre per y.
- c) Derivar la funció i igualar-la a 0.
- d) Integrar la funció.
Resposta: b) Substituir x per 0 i resoldre per y.. Per trobar el punt de tall amb l'eix Y, hem de substituir x per 0 a la funció i resoldre per y. Això ens dona el valor de y on la funció talla l'eix Y.
- Què hem de fer per trobar els punts de tall amb l'eix X d'una funció?
- a) Substituir x per 0 i resoldre per y.
- b) Derivar la funció i igualar-la a 0.
- c) Substituir f(x) per 0 i resoldre per x.
- d) Integrar la funció.
Resposta: c) Substituir f(x) per 0 i resoldre per x.. Per trobar els punts de tall amb l'eix X, hem de substituir f(x) per 0 a la funció i resoldre per x. Això ens dona els valors de x on la funció talla l'eix X.
- Si tenim la funció f(x) = x² - 4, quin és el punt de tall amb l'eix Y?
- a) (0, 4)
- b) (0, -4)
- c) (2, 0)
- d) (-2, 0)
Resposta: b) (0, -4). Per trobar el punt de tall amb l'eix Y, substituïm x per 0: f(0) = 0² - 4 = -4. Per tant, el punt de tall és (0, -4).
4. Simetries
Flashcards
- Què significa que una funció sigui parella?
- Que f(-x) = f(x), simetria respecte a l'eix Y.
- Dóna un exemple de funció parella.
- f(x) = x^2
- Què significa que una funció sigui senar?
- Que f(-x) = -f(x), simetria respecte a l'origen.
- Dóna un exemple de funció senar.
- f(x) = x^3
Preguntes tipus test
- Quina de les següents afirmacions defineix correctament una funció parella?
- a) f(-x) = -f(x)
- b) f(x) = f(-x)
- c) f(x) = -f(-x)
- d) f(x) = f(x)
Resposta: b) f(x) = f(-x). Una funció parella es defineix com aquella en què f(-x) = f(x), el que significa que és simètrica respecte a l'eix Y.
- Quin tipus de simetria presenta una funció senar?
- a) Simetria respecte a l'eix Y
- b) Simetria respecte a l'eix X
- c) Simetria respecte a l'origen
- d) No presenta cap simetria
Resposta: c) Simetria respecte a l'origen. Una funció senar presenta simetria respecte a l'origen, el que significa que f(-x) = -f(x).
- Si f(x) = x^2, què podem dir sobre la seva simetria?
- a) És una funció senar
- b) És una funció parella
- c) No té simetria
- d) Té simetria respecte a l'eix X
Resposta: b) És una funció parella. La funció f(x) = x^2 és una funció parella perquè f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x).
5. Límits
Flashcards
- Què són els límits en funcions?
- Valors als quals s'acosta una funció quan la variable independent s'acosta a un valor determinat.
- Què és una indeterminació 0/0?
- Una expressió on tant el numerador com el denominador tendeixen a zero.
- Com es resol una indeterminació 0/0?
- Factoritzant, racionalitzant o simplificant l'expressió.
- Què és una asímptota vertical?
- Una línia vertical on la funció tendeix a infinit o menys infinit.
Preguntes tipus test
- Què indiquen els límits en l'estudi de funcions?
- a) El comportament de la funció quan la variable independent s'acosta a un valor.
- b) Els punts de tall amb els eixos de coordenades.
- c) La simetria de la funció respecte a l'origen.
- d) El valor exacte de la funció en un punt determinat.
Resposta: a) El comportament de la funció quan la variable independent s'acosta a un valor.. Els límits serveixen per analitzar com es comporta la funció a mesura que la variable independent (x) s'aproxima a un valor específic, sense necessàriament arribar-hi.
- Quina és la primera estratègia que s'ha d'intentar quan es resol una indeterminació del tipus 0/0 en un límit?
- a) Racionalitzar l'expressió.
- b) Factoritzar l'expressió.
- c) Aplicar la regla de L'Hôpital.
- d) Multiplicar pel conjugat.
Resposta: b) Factoritzar l'expressió.. La factorització és una tècnica comuna per simplificar expressions algebraiques i eliminar la indeterminació 0/0, permetent calcular el límit directament.
- Què representa una asímptota vertical en una funció?
- a) Un valor de 'y' al qual la funció s'aproxima quan 'x' tendeix a infinit.
- b) Un valor de 'x' on la funció no està definida i tendeix a infinit o menys infinit.
- c) Una recta a la qual la funció s'aproxima quan 'x' tendeix a zero.
- d) Un punt on la funció canvia de concavitat.
Resposta: b) Un valor de 'x' on la funció no està definida i tendeix a infinit o menys infinit.. Una asímptota vertical és un valor 'x = a' on la funció tendeix a infinit (o menys infinit), indicant una discontinuïtat essencial en aquest punt.
6. Asímptotes
Flashcards
- Què és una asímptota vertical?
- Una línia vertical x=a on el límit de la funció tendeix a infinit quan x s'acosta a 'a'.
- Com es troba una asímptota horitzontal?
- Calculant el límit de la funció quan x tendeix a infinit.
- Quan apareix una asímptota obliqua?
- Quan el grau del numerador és 1 més gran que el grau del denominador.
- Com es calcula una asímptota obliqua?
- Realitzant la divisió de polinomis del numerador i denominador.
Preguntes tipus test
- Quina condició ha de complir una funció per tenir una asímptota vertical en x=a?
- a) El límit de la funció quan x s'acosta a 'a' ha de ser finit.
- b) La funció ha de ser contínua en x=a.
- c) El límit de la funció quan x s'acosta a 'a' ha de ser infinit.
- d) La funció ha de ser derivable en x=a.
Resposta: c) El límit de la funció quan x s'acosta a 'a' ha de ser infinit.. Una asímptota vertical en x=a implica que la funció tendeix a infinit quan x s'acosta a 'a', és a dir, lim (x->a) f(x) = ∞.
- Com es calcula una asímptota horitzontal y=L d'una funció f(x)?
- a) Calculant el límit de f(x) quan x tendeix a 0.
- b) Calculant la derivada de f(x) i igualant-la a 0.
- c) Calculant el límit de f(x) quan x tendeix a infinit.
- d) Calculant la integral de f(x).
Resposta: c) Calculant el límit de f(x) quan x tendeix a infinit.. Una asímptota horitzontal y=L existeix si el límit de f(x) quan x tendeix a infinit és igual a L, és a dir, lim (x->∞) f(x) = L.
- Quan una funció té una asímptota obliqua?
- a) Quan el grau del numerador és igual al grau del denominador.
- b) Quan el grau del numerador és inferior al grau del denominador.
- c) Quan el grau del numerador és 1 més gran que el grau del denominador.
- d) Quan la funció és un polinomi de grau 2.
Resposta: c) Quan el grau del numerador és 1 més gran que el grau del denominador.. Una funció té una asímptota obliqua quan el grau del polinomi del numerador és exactament un grau més gran que el grau del polinomi del denominador.
7. Continuïtat
Flashcards
- Què significa que una funció sigui contínua?
- Que no té 'salts' ni interrupcions en el seu gràfic.
- Quines tres condicions s'han de complir perquè una funció sigui contínua en x=a?
- 1. f(a) existeix. 2. Existeix el límit de f(x) quan x tendeix a a. 3. El límit de f(x) quan x tendeix a a és igual a f(a).
- Com es defineix una discontinuïtat evitable?
- És una discontinuïtat on existeix el límit de la funció en el punt, però la funció no està definida en aquest punt o el valor de la funció no coincideix amb el límit.
- Què és una discontinuïtat de salt?
- És una discontinuïtat on els límits laterals existeixen però són diferents.
Preguntes tipus test
- Quina de les següents condicions NO és necessària perquè una funció sigui contínua en un punt x=a?
- a) Que f(a) existeixi.
- b) Que existeixi el límit de la funció quan x tendeix a a.
- c) Que la derivada de la funció en x=a existeixi.
- d) Que el límit de la funció quan x tendeix a a coincideixi amb f(a).
Resposta: c) Que la derivada de la funció en x=a existeixi.. La continuïtat en x=a requereix que f(a) existeixi, que existeixi el límit quan x tendeix a a, i que aquest límit coincideixi amb f(a). L'existència de la derivada no és un requisit per a la continuïtat.
- Què implica que una funció sigui contínua en un interval?
- a) Que la funció té un límit infinit en algun punt de l'interval.
- b) Que la funció no té talls ni discontinuïtats en l'interval.
- c) Que la funció és derivable en tot l'interval.
- d) Que la funció és simètrica respecte a l'eix Y.
Resposta: b) Que la funció no té talls ni discontinuïtats en l'interval.. La continuïtat en un interval significa que la funció es pot dibuixar sense aixecar el llapis del paper, és a dir, no té talls ni discontinuïtats en aquest interval.
- Si una funció té una asímptota vertical en x=a, què podem dir sobre la continuïtat en aquest punt?
- a) La funció és contínua en x=a.
- b) La funció és discontínua en x=a.
- c) La funció pot ser contínua o discontínua en x=a, depenent del límit.
- d) La funció té un màxim o mínim en x=a.
Resposta: b) La funció és discontínua en x=a.. Una asímptota vertical en x=a indica que la funció tendeix a infinit (o menys infinit) quan x s'acosta a a, cosa que implica una discontinuïtat en aquest punt.
8. Derivades
Flashcards
- Què indica la derivada d'una funció?
- La pendent de la funció.
- Quina és la derivada d'una constant?
- Zero.
- Regla per derivar una potència d'x
- (x^n)' = nx^(n-1)
- Com derivem una suma de funcions?
- (f+g)' = f' + g'
Preguntes tipus test
- Què indica la derivada d'una funció en un punt?
- a) L'àrea sota la corba de la funció.
- b) La pendent de la recta tangent a la funció en aquell punt.
- c) La concavitat de la funció en aquell punt.
- d) El valor de la funció en aquell punt.
Resposta: b) La pendent de la recta tangent a la funció en aquell punt.. La derivada d'una funció en un punt representa la pendent de la recta tangent a la corba de la funció en aquell punt. Aquesta pendent indica la taxa de canvi instantània de la funció.
- Quina és la derivada d'una constant?
- a) La constant mateixa.
- b) Un.
- c) Zero.
- d) Infinit.
Resposta: c) Zero.. La derivada d'una constant és sempre zero. Això es deu al fet que una constant no canvia de valor, per tant, la seva taxa de canvi és zero.
- Quina regla s'utilitza per derivar una funció composta?
- a) Regla del producte.
- b) Regla del quocient.
- c) Regla de la cadena.
- d) Regla de la suma.
Resposta: c) Regla de la cadena.. La regla de la cadena s'utilitza per derivar funcions compostes, és a dir, funcions dins de funcions. Permet calcular la derivada de la funció exterior avaluada en la funció interior, multiplicada per la derivada de la funció interior.
9. Regles de derivació
Flashcards
- Quina és la derivada d'una constant k?
- 0
- Regla de la potència: derivada de x^n
- n * x^(n-1)
- Regla de la suma: derivada de (f + g)
- f' + g'
- Regla del producte: derivada de (f * g)
- f' * g + f * g'
Preguntes tipus test
- Quina és la derivada d'una constant (k)?
- a) 1
- b) k
- c) 0
- d) Infinit
Resposta: c) 0. La derivada d'una constant sempre és zero, ja que les constants no canvien i, per tant, no tenen pendent.
- Quina és la regla de derivació per a la suma de dues funcions (f + g)?
- a) f' + g'
- b) f' * g + f * g'
- c) f' * g - f * g'
- d) f * g
Resposta: a) f' + g'. La derivada de la suma de dues funcions és la suma de les derivades de cada funció: (f + g)' = f' + g'.
- Quina és la regla de derivació per al producte de dues funcions (f * g)?
- a) f' * g'
- b) f' * g + f * g'
- c) f' * g - f * g'
- d) f * g
Resposta: b) f' * g + f * g'. La derivada del producte de dues funcions és la derivada de la primera funció multiplicada per la segona funció sense derivar, més la primera funció sense derivar multiplicada per la derivada de la segona funció: (f * g)' = f' * g + f * g'.
10. Creixement i decreixement
Flashcards
- Què indica una derivada positiva f'(x) > 0?
- La funció és creixent.
- Què indica una derivada negativa f'(x) < 0?
- La funció és decreixent.
- Què indica f'(x) = 0?
- Possible màxim o mínim local.
- Com es troben els intervals de creixement i decreixement?
- Estudiant el signe de f'(x).
Preguntes tipus test
- Quin és el primer pas per determinar els intervals de creixement i decreixement d'una funció?
- a) Igualar la funció a zero.
- b) Calcular la derivada de la funció.
- c) Estudiar el signe de la funció original.
- d) Trobar les asímptotes de la funció.
Resposta: b) Calcular la derivada de la funció.. El primer pas per determinar els intervals de creixement i decreixement és calcular la derivada de la funció, ja que aquesta ens indica la pendent en cada punt.
- Què indica que una funció f(x) és decreixent en un interval?
- a) f'(x) > 0
- b) f'(x) = 0
- c) f'(x) < 0
- d) f(x) = 0
Resposta: c) f'(x) < 0. Una funció és decreixent en un interval si la seva derivada f'(x) és negativa (f'(x) < 0) en aquell interval.
- Si f'(x) = 0 en un punt, què podem dir d'aquest punt?
- a) És un punt d'inflexió.
- b) És un màxim o un mínim local.
- c) La funció és discontínua.
- d) La funció és creixent.
Resposta: b) És un màxim o un mínim local.. Si la derivada f'(x) és igual a zero en un punt, aquest punt és un punt crític, que pot ser un màxim o un mínim local de la funció.
11. Màxims i mínims
Flashcards
- Què són els punts crítics d'una funció?
- Punts on la primera derivada és igual a zero o no està definida.
- Com s'utilitza la segona derivada per determinar la concavitat d'una funció?
- Si f''(x) > 0, la funció és convexa; si f''(x) < 0, la funció és còncava.
- Què és un punt d'inflexió?
- Un punt on la funció canvia de concavitat.
- Com es troben els màxims i mínims d'una funció?
- Derivant la funció, igualant a zero i resolent per trobar els punts crítics, i després utilitzant el criteri de la primera o segona derivada.
Preguntes tipus test
- Quina condició ha de complir un punt per ser considerat un punt crític d'una funció?
- a) La primera derivada de la funció ha de ser igual a 1.
- b) La primera derivada de la funció ha de ser igual a 0.
- c) La segona derivada de la funció ha de ser igual a 0.
- d) La funció ha de ser igual a 0.
Resposta: b) La primera derivada de la funció ha de ser igual a 0.. Un punt crític és aquell on la primera derivada de la funció és igual a zero, indicant un punt on la pendent de la tangent és horitzontal.
- Quin criteri s'utilitza per determinar si un punt crític és un màxim o un mínim?
- a) El signe de la funció en el punt crític.
- b) El signe de la primera derivada al voltant del punt crític.
- c) El signe de la segona derivada en el punt crític.
- d) El valor de la funció en el punt crític.
Resposta: b) El signe de la primera derivada al voltant del punt crític.. El criteri utilitza el signe de la primera derivada al voltant del punt crític: si canvia de positiu a negatiu, és un màxim; si canvia de negatiu a positiu, és un mínim.
- Si la primera derivada d'una funció és positiva en un interval, què podem dir sobre el comportament de la funció en aquest interval?
- a) La funció és decreixent.
- b) La funció és constant.
- c) La funció és creixent.
- d) La funció té un màxim.
Resposta: c) La funció és creixent.. Quan la primera derivada d'una funció és positiva en un interval, indica que la funció és creixent en aquell interval.
12. Concavitat i convexitat
Flashcards
- Què indica la concavitat d'una funció?
- La direcció en què es corba la funció.
- Com es determina la concavitat d'una funció?
- Amb la segona derivada.
- Què significa que una funció és convexa?
- Que la seva segona derivada és positiva.
- Què significa que una funció és còncava?
- Que la seva segona derivada és negativa.
Preguntes tipus test
- Quina condició ha de complir la segona derivada d'una funció en un interval per tal que la funció sigui convexa en aquest interval?
- a) f''(x) < 0
- b) f''(x) = 0
- c) f''(x) > 0
- d) f''(x) ≠ 0
Resposta: c) f''(x) > 0. Una funció és convexa en un interval si la seva segona derivada és positiva en aquest interval. Això indica que la pendent de la funció augmenta a mesura que augmenta x.
- Quina condició ha de complir la segona derivada d'una funció en un interval per tal que la funció sigui còncava en aquest interval?
- a) f''(x) > 0
- b) f''(x) = 0
- c) f''(x) < 0
- d) f''(x) ≠ 0
Resposta: c) f''(x) < 0. Una funció és còncava en un interval si la seva segona derivada és negativa en aquest interval. Això indica que la pendent de la funció disminueix a mesura que augmenta x.
- Què indica un punt d'inflexió en una funció?
- a) Un màxim local de la funció
- b) Un mínim local de la funció
- c) Un canvi en la concavitat de la funció
- d) Un punt on la funció no està definida
Resposta: c) Un canvi en la concavitat de la funció. Un punt d'inflexió és un punt en el qual la funció canvia de concavitat, és a dir, passa de ser còncava a convexa o viceversa.
13. Punt d'inflexió
Flashcards
- Què és un punt d'inflexió?
- Un punt on canvia la concavitat d'una funció.
- Quin és el primer pas per trobar punts d'inflexió?
- Calcular la segona derivada i igualar-la a zero.
- Com es confirma si un punt és d'inflexió?
- Comprovar el canvi de signe de la segona derivada.
- Què indica una segona derivada positiva?
- La funció és convexa.
Preguntes tipus test
- Què indica un punt d'inflexió en una funció?
- a) Un màxim local
- b) Un mínim local
- c) Un canvi en la concavitat
- d) Una asímptota vertical
Resposta: c) Un canvi en la concavitat. Un punt d'inflexió indica un canvi en la concavitat de la funció, és a dir, on la funció passa de ser còncava a convexa o viceversa.
- Quin és el primer pas per trobar els punts d'inflexió d'una funció?
- a) Igualar la primera derivada a zero.
- b) Calcular la segona derivada.
- c) Igualar la segona derivada a zero.
- d) Trobar les asímptotes.
Resposta: c) Igualar la segona derivada a zero.. El primer pas per trobar els punts d'inflexió és calcular la segona derivada de la funció i igualar-la a zero per trobar els possibles punts d'inflexió.
- Després de trobar els punts on la segona derivada és zero, què s'ha de fer per confirmar que són punts d'inflexió?
- a) Calcular la tercera derivada.
- b) Comprovar si hi ha un canvi de signe en la primera derivada.
- c) Comprovar si hi ha un canvi de signe en la segona derivada.
- d) Comprovar si la funció és contínua.
Resposta: c) Comprovar si hi ha un canvi de signe en la segona derivada.. Després d'igualar la segona derivada a zero, cal comprovar si hi ha un canvi de signe en la segona derivada al voltant d'aquests punts per confirmar que són punts d'inflexió.
14. Representació d'una funció
Flashcards
- Quin és el primer pas en la representació d'una funció?
- Trobar el domini.
- Què indiquen els talls amb els eixos?
- On la funció interseca els eixos X i Y.
- Què és una funció parella?
- Una funció amb simetria respecte l'eix Y, on f(-x) = f(x).
- Què són les asímptotes?
- Línies a les quals la funció s'aproxima quan x tendeix a infinit o a un valor específic.
Preguntes tipus test
- Quin és el primer pas recomanat en la representació d'una funció?
- a) Calcular la segona derivada
- b) Trobar el domini
- c) Identificar les simetries
- d) Determinar les asímptotes
Resposta: b) Trobar el domini. El primer pas recomanat és trobar el domini de la funció per saber on està definida.
- Què indiquen els talls amb els eixos en la representació d'una funció?
- a) Els punts on la funció canvia de concavitat
- b) Els punts on la funció creix o decreix
- c) Els punts on la funció interseca els eixos X i Y
- d) Els punts on la derivada de la funció és zero
Resposta: c) Els punts on la funció interseca els eixos X i Y. Els talls amb els eixos indiquen els punts on la funció talla els eixos X i Y, proporcionant informació sobre el seu comportament en aquests punts.
- Què implica que una funció tingui simetria respecte l'eix Y?
- a) f(x) = -f(-x)
- b) f(-x) = f(x)
- c) f(x) = f(x+1)
- d) f(x) = -f(x)
Resposta: b) f(-x) = f(x). Una funció és simètrica respecte l'eix Y si f(-x) = f(x), és a dir, el valor de la funció en x i -x és el mateix.
15. Funcions importants
Flashcards
- Quina és la derivada de e^x?
- e^x
- Quin és el domini de ln(x)?
- x > 0
- Quina és la derivada de ln(x)?
- 1/x
- Quina és la derivada de sin(x)?
- cos(x)
Preguntes tipus test
- Quina de les següents funcions és sempre positiva?
- a) f(x) = ln(x)
- b) f(x) = e^x
- c) f(x) = sin(x)
- d) f(x) = cos(x)
Resposta: b) f(x) = e^x. La funció exponencial f(x) = e^x és sempre positiva per a qualsevol valor de x.
- Quin és el domini de la funció logaritme f(x) = ln(x)?
- a) x > 0
- b) x ≥ 0
- c) x < 0
- d) x ∈ R
Resposta: a) x > 0. El domini de la funció logaritme natural ln(x) és x > 0, ja que el logaritme només està definit per a valors positius de x.
- Quina és la derivada de la funció exponencial f(x) = e^x?
- a) 1/x
- b) e^x
- c) x * e^(x-1)
- d) ln(x)
Resposta: b) e^x. La derivada de la funció exponencial f(x) = e^x és ella mateixa, és a dir, e^x.
16. Teorema de Bolzano
Flashcards
- Què diu el Teorema de Bolzano sobre l'existència d'arrels?
- Si una funció és contínua i canvia de signe en un interval, llavors existeix almenys una arrel en aquest interval.
- Quines dues condicions ha de complir una funció per poder aplicar el Teorema de Bolzano?
- Ser contínua en un interval tancat i canviar de signe en aquest interval.
- Si una funció és contínua i f(a) > 0 i f(b) < 0, què podem concloure?
- Hi ha almenys una arrel entre a i b.
- El Teorema de Bolzano permet trobar el valor exacte de les arrels?
- No, només garanteix la seva existència.
Preguntes tipus test
- Què garanteix el Teorema de Bolzano si es compleixen les seves condicions?
- a) L'existència d'una única arrel a l'interval.
- b) L'existència d'almenys una arrel a l'interval.
- c) Que la funció és derivable a l'interval.
- d) Que la funció és constant a l'interval.
Resposta: b) L'existència d'almenys una arrel a l'interval.. El Teorema de Bolzano estableix que si una funció és contínua en un interval tancat i canvia de signe als extrems de l'interval, llavors existeix almenys una arrel dins d'aquest interval.
- Quines són les dues condicions principals que s'han de complir perquè es pugui aplicar el Teorema de Bolzano a una funció en un interval determinat?
- a) Que sigui derivable i tingui un màxim a l'interval.
- b) Que sigui contínua i canviï de signe a l'interval.
- c) Que sigui derivable i canviï de signe a l'interval.
- d) Que sigui contínua i tingui un mínim a l'interval.
Resposta: b) Que sigui contínua i canviï de signe a l'interval.. El Teorema de Bolzano requereix que la funció sigui contínua a l'interval considerat i que hi hagi un canvi de signe en els valors de la funció als extrems d'aquest interval.
- Si una funció f(x) és contínua a [a, b] i f(a) > 0 i f(b) < 0, què podem concloure segons el Teorema de Bolzano?
- a) No hi ha cap arrel de f(x) a [a, b].
- b) Hi ha exactament una arrel de f(x) a [a, b].
- c) Hi ha almenys una arrel de f(x) a [a, b].
- d) f(x) és positiva a [a, b].
Resposta: c) Hi ha almenys una arrel de f(x) a [a, b].. Segons el Teorema de Bolzano, si una funció contínua canvia de signe en un interval [a, b], llavors hi ha almenys una arrel en aquest interval.
17. Teorema de Rolle
Flashcards
- Quines tres condicions ha de complir una funció per poder aplicar el Teorema de Rolle?
- Ser contínua a [a, b], derivable a (a, b) i que f(a) = f(b).
- Què garanteix el Teorema de Rolle si es compleixen les seves condicions?
- Que existeix almenys un punt 'c' a (a, b) on f'(c) = 0.
- Què significa geomètricament que f'(c) = 0 en el context del Teorema de Rolle?
- Que hi ha un punt on la tangent a la corba és horitzontal.
- Si f(a) = f(b), implica necessàriament que el Teorema de Rolle es pot aplicar?
- No, també ha de ser contínua a [a, b] i derivable a (a, b).
Preguntes tipus test
- Quina condició NO és necessària perquè es compleixi el Teorema de Rolle?
- a) La funció ha de ser contínua en un interval tancat [a, b].
- b) La funció ha de ser derivable en un interval obert (a, b).
- c) La funció ha de ser derivable en un interval tancat [a, b].
- d) f(a) ha de ser igual a f(b).
Resposta: c) La funció ha de ser derivable en un interval tancat [a, b].. El Teorema de Rolle requereix que la funció sigui derivable en l'interval obert (a, b), no necessàriament en l'interval tancat [a, b].
- Si una funció compleix les condicions del Teorema de Rolle, què podem concloure?
- a) La derivada de la funció és sempre positiva.
- b) Existeix almenys un punt 'c' a l'interval (a, b) on la derivada de la funció és zero.
- c) La funció és constant a l'interval (a, b).
- d) La funció no té extrems a l'interval (a, b).
Resposta: b) Existeix almenys un punt 'c' a l'interval (a, b) on la derivada de la funció és zero.. El Teorema de Rolle garanteix l'existència d'un punt 'c' on la derivada de la funció és zero, indicant un punt crític.
- Quina interpretació geomètrica té el Teorema de Rolle?
- a) Existeix un punt on la tangent és vertical.
- b) Existeix un punt on la tangent és paral·lela a l'eix x.
- c) La funció és simètrica respecte a l'eix y.
- d) La funció és simètrica respecte a l'origen.
Resposta: b) Existeix un punt on la tangent és paral·lela a l'eix x.. Que la derivada sigui zero en un punt implica que la tangent a la corba en aquest punt és horitzontal, és a dir, paral·lela a l'eix x.
18. Teorema del Valor Mitjà
Flashcards
- Què diu el Teorema del Valor Mitjà sobre la pendent instantània?
- Existeix un punt on la pendent instantània coincideix amb la pendent mitjana.
- Quines dues condicions ha de complir una funció per poder aplicar el Teorema del Valor Mitjà en un interval [a, b]?
- Ser contínua en [a, b] i derivable en (a, b).
- Expressió matemàtica del Teorema del Valor Mitjà
- f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)
- Què representa 'c' en l'equació del Teorema del Valor Mitjà?
- Un punt dins de l'interval (a, b) on la derivada de la funció és igual a la pendent mitjana.
Preguntes tipus test
- Què indica el Teorema del Valor Mitjà?
- a) Que la funció és contínua en un interval tancat.
- b) Que existeix un punt on la tangent és horitzontal.
- c) Que hi ha un punt on la pendent instantània coincideix amb la pendent mitjana.
- d) Que la funció és derivable en tot el seu domini.
Resposta: c) Que hi ha un punt on la pendent instantània coincideix amb la pendent mitjana.. El Teorema del Valor Mitjà estableix que hi ha almenys un punt 'c' en l'interval (a, b) on la derivada de la funció en 'c' (la pendent instantània) és igual a la pendent de la línia secant que connecta els punts (a, f(a)) i (b, f(b)) (la pendent mitjana).
- Quina és la condició principal que ha de complir una funció per aplicar el Teorema del Valor Mitjà en un interval [a, b]?
- a) Ser derivable en [a, b].
- b) Ser contínua en (a, b).
- c) Ser contínua en [a, b] i derivable en (a, b).
- d) Tenir un màxim i un mínim en [a, b].
Resposta: c) Ser contínua en [a, b] i derivable en (a, b).. El Teorema del Valor Mitjà requereix que la funció sigui contínua en l'interval tancat [a, b] i derivable en l'interval obert (a, b).
- Si f(x) = x^2 en l'interval [1, 3], quin valor de 'c' satisfà el Teorema del Valor Mitjà?
- a) c = 1
- b) c = 2
- c) c = 3
- d) c = 4
Resposta: b) c = 2. La derivada de f(x) = x^2 és f'(x) = 2x. La pendent mitjana en [1, 3] és (f(3) - f(1)) / (3 - 1) = (9 - 1) / 2 = 4. Igualant f'(c) = 2c a 4, obtenim c = 2.
I 106 flashcards i 72 preguntes més al document.
Text del document
Apunts Selectivitat – Funcions (Matemàtiques) 1. Què és una funció? Una funció és una relació entre dues variables: y=f(x)y=f(x)y=f(x) xxx: variable independent yyy: variable dependent A cada valor de xxx li correspon un únic valor de yyy. 2. Domini i recorregut Domini (Dom(f)Dom(f)Dom(f)) Conjunt de valors de xxx que es poden utilitzar. Restriccions habituals a) Denominadors No poden ser 0. Exemple: f(x)=1x 2f(x)=\frac{1}{x-2}f(x)=x 21 x 2 0 x 2x-2\neq0 \Rightarrow x\neq2x 2=0 x=2 Domini: R {2}\mathbb{R}-\{2\}R {2} b) Arrels quadrades El que hi ha dins ha de ser 0.
Exemple: f(x)=x 3f(x)=\sqrt{x-3}f(x)=x 3 x 3 0 x 3x-3\ge0 \Rightarrow x\ge3x 3 0 x 3 Domini: [3, )[3,\infty)[3, ) c) Logaritmes L'interior ha de ser > 0. Exemple: f(x)=ln (x+1)f(x)=\ln(x+1)f(x)=ln(x+1) x+1>0 x> 1x+1>0 \Rightarrow x>-1x+1>0 x> 1 3. Tall amb els eixos Tall amb l'eix Y Posar: x=0x=0x=0 Exemple: f(x)=x2 4f(x)=x^2-4f(x)=x2 4 f(0)= 4f(0)=-4f(0)= 4 Tall: (0, 4)(0,-4)(0, 4) Tall amb l'eix X Posar: f(x)=0f(x)=0f(x)=0 Exemple: x2 4=0x^2-4=0x2 4=0 x=±2x=\pm2x=±2 Talls: ( 2,0)i(2,0)(-2,0)\quad i\quad (2,0)( 2,0)i(2,0) 4. Simetries Funció parella f( x)=f(x)f(-x)=f(x)f( x)=f(x) Simetria respecte l'eix Y.
Exemple: f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 Funció senar f( x)= f(x)f(-x)=-f(x)f( x)= f(x) Simetria respecte l'origen. Exemple: f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3 5. Límits Serveixen per estudiar què passa quan xxx s'acosta a un valor. Indeterminacions típiques 1) 00\frac{0}{0}00 S'acostuma a: factoritzar racionalitzar simplificar Exemple: lim x 2x2 4x 2\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}x 2lim x 2x2 4 Factoritzem: x2 4=(x 2)(x+2)x^2-4=(x-2)(x+2)x2 4=(x 2)(x+2) Simplifiquem: lim x 2(x+2)=4\lim_{x\to2}(x+2)=4x 2lim (x+2)=4 Límits infinits Exemple: lim x 21x 2\lim_{x\to2}\frac{1}{x-2}x 2lim x 21 Per l'esquerra: -\infty Per la dreta: + +\infty+ 6. Asímptotes Vertical Quan: x=ax=ax=a i el límit és infinit.
Exemple: f(x)=1x 2f(x)=\frac1{x-2}f(x)=x 21 Asímptota vertical: x=2x=2x=2 Horitzontal y=Ly=Ly=L si: lim x f(x)=L\lim_{x\to\infty}f(x)=Lx lim f(x)=L Exemple: f(x)=2x+1x+3f(x)=\frac{2x+1}{x+3}f(x)=x+32x+1 Asímptota: y=2y=2y=2 (perquè es divideixen els coeficients principals) Obliqua Quan el grau del numerador és 1 més gran que el del denominador. Es fa divisió de polinomis. 7. Continuïtat Una funció és contínua si no té "salts". Perquè sigui contínua en x=ax=ax=a: 1. f(a)f(a)f(a) existeix 2. Existeix el límit 3. Coincideixen lim x af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a)x alim f(x)=f(a) 8. Derivades Definició La derivada indica la pendent de la funció. f (x)f'(x)f (x) 9.
Regles de derivació Constant (k) =0(k)'=0(k) =0 Potència ddx(xn)=nxn 1\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}dxd (xn)=nxn 1 Exemple: (x3) =3x2(x^3)'=3x^2(x3) =3x2 Suma (f+g) =f +g (f+g)'=f'+g'(f+g) =f +g Producte (fg) =f g+fg (fg)'=f'g+fg'(fg) =f g+fg Quocient (fg) =f g fg g2\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}(gf ) =g2f g fg Cadena (f(g(x))) =f (g(x)) g (x)(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)(f(g(x))) =f (g(x)) g (x) 10. Creixement i decreixement Passos 1. Derivar 2. Igualar a 0 3. Estudiar signe Si f (x)>0f'(x)>0f (x)>0: creix Si f (x)<0f'(x)<0f (x)<0: decreix 11. Màxims i mínims Punts crítics: f (x)=0f'(x)=0f (x)=0 Criteri: + +\to-+ : màxim +-\to+ +: mínim 12.
Concavitat i convexitat Es fa amb la segona derivada. f (x)f''(x)f (x) f (x)>0f''(x)>0f (x)>0: convexa f (x)<0f''(x)<0f (x)<0: còncava 13. Punt d'inflexió Quan canvia la concavitat. Passos: 1. f (x)=0f''(x)=0f (x)=0 2. Comprovar canvi de signe 14. Representació d'una funció Ordre recomanat: 1. Domini 2. Talls amb eixos 3. Simetries 4. Asímptotes 5. Derivada: creixement extrems 6. Segona derivada: concavitat inflexió 7. Dibuix final 15.
Funcions importants Exponencial f(x)=exf(x)=e^xf(x)=ex sempre positiva creixent Derivada: (ex) =ex(e^x)'=e^x(ex) =ex Logaritme f(x)=ln xf(x)=\ln xf(x)=lnx Domini: x>0x>0x>0 Derivada: (ln x) =1x(\ln x)'=\frac1x(lnx) =x1 Trigonomètriques (sin x) =cos x(\sin x)'=\cos x(sinx) =cosx (cos x) = sin x(\cos x)'=-\sin x(cosx) = sinx (tan x) =1cos 2x(\tan x)'=\frac1{\cos^2x}(tanx) =cos2x1 16. Teorema de Bolzano Si: la funció és contínua canvia de signe llavors hi ha almenys una arrel. 17. Teorema de Rolle Si: contínua a [a,b][a,b][a,b] derivable a (a,b)(a,b)(a,b) f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b) llavors existeix un punt: f (c)=0f'(c)=0f (c)=0 18.
Teorema del Valor Mitjà f (c)=f(b) f(a)b af'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}f (c)=b af(b) f(a) Indica que hi ha algun punt on la pendent instantània coincideix amb la pendent mitjana.