Equacions de la recta a l'espai
Flashcards
- Quina equació té la forma $\\vec{OX} = \\vec{OP} + \\lambda\\vec{v}$?
- L'equació vectorial d'una recta a l'espai.
- Què representa el terme $\\vec{OP}$ en l'equació vectorial d'una recta?
- Un punt conegut de la recta.
- Què representa el terme $\\vec{v}$ en l'equació vectorial d'una recta?
- El vector director de la recta.
- Què representa el terme $\\vec{OX}$ en l'equació vectorial d'una recta?
- Un punt genèric qualsevol de la recta.
Preguntes tipus test
- Quins elements geomètrics són necessaris per definir l'equació vectorial d'una recta a l'espai?
- a) Un punt de la recta i el seu vector director.
- b) Dos punts qualssevol de la recta.
- c) El vector normal a la recta.
- d) Tres punts no alineats de la recta.
Resposta: a) Un punt de la recta i el seu vector director.. L'equació vectorial d'una recta es defineix com $\\vec{OX} = \\vec{OP} + \\lambda\\vec{v}$, on $\\vec{OP}$ és el vector de posició d'un punt conegut de la recta i $\\vec{v}$ és el vector director de la recta.
- En les equacions paramètriques d'una recta, què representen $x_0, y_0, z_0$?
- a) Les components del vector director.
- b) Les coordenades d'un punt genèric de la recta.
- c) Les coordenades d'un punt conegut de la recta.
- d) El valor del paràmetre $\\lambda$.
Resposta: c) Les coordenades d'un punt conegut de la recta.. En les equacions paramètriques $(x, y, z) = (x_0 + \\lambda v_x, y_0 + \\lambda v_y, z_0 + \\lambda v_z)$, el punt $(x_0, y_0, z_0)$ correspon a les coordenades del punt conegut de la recta.
- Com s'obtenen les equacions paramètriques d'una recta a partir de l'equació vectorial?
- a) De l'equació contínua, aïllant cada variable.
- b) De l'equació vectorial, desagregant per components.
- c) De l'equació general del pla.
- d) No es deriven de cap altra equació, són independents.
Resposta: b) De l'equació vectorial, desagregant per components.. Les equacions paramètriques s'obtenen directament desagregant l'equació vectorial per components i igualant les coordenades corresponents.
Equacions del pla a l'espai
Flashcards
- Quins elements geomètrics són necessaris per definir l'equació vectorial d'un pla a l'espai?
- Es necessita un punt que pertany al pla (P) i dos vectors directors (u, v) que siguin linealment independents (no paral·lels) i estiguin continguts al pla.
- Quina és la forma general de l'equació vectorial d'un pla?
- OX = OP + λ·u + μ·v, on OX és el vector posició d'un punt genèric X del pla, OP és el vector posició del punt P conegut, u i v són els vectors directors, i λ, μ són paràmetres reals.
- Què representen els símbols λ i μ en les equacions vectorial i paramètriques d'un pla?
- Són els paràmetres λ (lambda) i μ (mu), que prenen valors reals (λ, μ ∈ R) i permeten "recorrer" tot el pla combinant els vectors directors des del punt base.
- Com s'obtenen les equacions paramètriques d'un pla a partir de la seva equació vectorial?
- S'obtenen igualant les components del vector posició genèric (x, y, z) a les components del punt conegut (x0, y0, z0) sumades a les combinacions lineals dels vectors directors (ux, uy, uz) i (vx, vy, vz) multiplicades pels paràmetres λ i μ. Resulta un sistema de tres equacions: x = x0 + λux + μvx, y = y0 + λuy + μvy, z = z0 + λuz + μvz.
Preguntes tipus test
- Quina de les següents expressions correspon a l'equació vectorial d'un pla a l'espai?
- a) OX = OP + λ·v
- b) OX = OP + λ·u + μ·v
- c) Ax + By + Cz + D = 0
- d) x/l + y/m + z/n = 1
Resposta: b) OX = OP + λ·u + μ·v. L'equació vectorial d'un pla es defineix per un punt de pas (OP) i una combinació lineal de dos vectors directors no paral·lels (λ·u + μ·v), on λ i μ són paràmetres reals.
- En les equacions paramètriques d'un pla, què representen λ i μ?
- a) Les coordenades d'un punt del pla
- b) Les components dels vectors directors
- c) Paràmetres reals que varien per descriure el pla
- d) Les coordenades del punt de pas
Resposta: c) Paràmetres reals que varien per descriure el pla. En les equacions paramètriques x = x0 + λux + μvx, y = y0 + λuy + μvy, z = z0 + λuz + μvz, les lletres gregues λ (lambda) i μ (mu) són els paràmetres que, en variar per tots els nombres reals, generen tots els punts del pla.
- Quina forma d'equació d'un objecte geomètric a l'espai correspon a Ax + By + Cz + D = 0?
- a) L'equació general, cartesiana o implícita d'un pla
- b) L'equació vectorial d'una recta
- c) L'equació paramètrica d'una recta
- d) L'equació canònica d'un pla
Resposta: a) L'equació general, cartesiana o implícita d'un pla. L'equació de la forma Ax + By + Cz + D = 0 és l'equació general, cartesiana o implícita d'un pla a l'espai.
Posició relativa de 2 plans
Flashcards
- Quina és la posició relativa de dos plans si rang M = 1 i rang M' = 1?
- Plans coincidents
- Quina és la posició relativa de dos plans si rang M = 1 i rang M' = 2?
- Plans paral·lels
- Quina és la posició relativa de dos plans si rang M = 2 i rang M' = 2?
- Plans secants
- Què representa la intersecció de dos plans secants?
- Es tallen en una recta
Preguntes tipus test
- Si el rang de la matriu M és 1 i el rang de la matriu M' és 2 per a dos plans, quina és la seva posició relativa?
- a) Plans coincidents
- b) Plans secants
- c) Plans paral·lels
- d) La posició relativa no es pot determinar amb aquestes dades
Resposta: c) Plans paral·lels. La taula de rangs indica que si el rang de la matriu de coeficients (M) és 1 i el rang de la matriu ampliada (M') és 2, el sistema és incompatible (SI), la qual cosa correspon a dos plans paral·lels que no tenen punts en comú.
- Quina de les següents condicions en les ràtios dels coeficients generals A, B, C i D indica que dos plans són coincidents?
- a) A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ = D₁/D₂
- b) A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ ≠ D₁/D₂
- c) A₁/A₂ ≠ B₁/B₂ o B₁/B₂ ≠ C₁/C₂
- d) rang M = 1 i rang M' = 2
Resposta: a) A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ = D₁/D₂. La condició de les ràtios de coeficients per a plans coincidents és que totes les ràtios dels coeficients (A, B, C i D) siguin iguals. Això significa que una equació és múltiple de l'altra, representant el mateix pla.
- Quina és la intersecció de dos plans que són secants?
- a) Un punt
- b) Cap punt
- c) Tot l'espai
- d) Una recta
Resposta: d) Una recta. Quan dos plans són secants, es tallen al llarg d'una línia recta. La intersecció d'aquests dos plans és precisament aquesta recta, que conté tots els punts que satisfan ambdues equacions simultàniament.
Posició relativa de 3 plans
Flashcards
- Quins són els rangs de la matriu de coeficients (M) i la matriu ampliada (M') quan tres plans són coincidents?
- rang(M) = 1, rang(M') = 1
- Quin tipus de sistema lineal correspon a tres plans coincidents?
- Sistema Compatible Indeterminat (SCI) amb 2 Graus de Llibertat (GL)
- Quins rangs de M i M' indiquen que dos plans són coincidents i un és paral·lel a ells?
- rang(M) = 1, rang(M') = 2
- Quin tipus de sistema lineal correspon a dos plans coincidents i un de paral·lel?
- Sistema Incompatible (SI)
Preguntes tipus test
- Si la posició relativa de tres plans és '3 plans coincidents', quins són els rangs de la matriu de coeficients (M) i la matriu ampliada (M')?
- a) rang(M) = 1, rang(M') = 2
- b) rang(M) = 2, rang(M') = 2
- c) rang(M) = 1, rang(M') = 1
- d) rang(M) = 3, rang(M') = 3
Resposta: c) rang(M) = 1, rang(M') = 1. Quan els tres plans són coincidents, les seves equacions són equivalents i el sistema té infinites solucions amb 2 graus de llibertat. Això es correspon amb rang(M) = 1 i rang(M') = 1.
- Quin tipus de sistema lineal descriu la situació de '2 plans coincidents i 1 paral·lel'?
- a) SCI amb 2 GL
- b) SI
- c) SCI amb 1 GL
- d) SCD
Resposta: b) SI. La situació de '2 plans coincidents i 1 paral·lel' implica que hi ha dues equacions equivalents i una tercera que és incompatible amb elles (tenen els mateixos coeficients directors però terme independent diferent). Això es tradueix en rang(M) = 1 i rang(M') = 2, i el sistema no té solució, per tant és Incompatible (SI).
- Si rang(M) = 2 i rang(M') = 3, quina és la posició relativa dels tres plans?
- a) 3 plans secants 2 a 2
- b) 3 plans que concorren en 1 punt
- c) 3 plans amb una recta comuna
- d) 2 plans paral·lels i el 3r secant
Resposta: a) 3 plans secants 2 a 2. Quan tres plans es tallen formant tres rectes d'intersecció paral·leles entre si, el rang de M és 2 (les direccions dels plans no són proporcionals de tres en tres) i el rang de M' és 3 (les equacions no tenen solució comuna). El sistema és Incompatible (SI).
Posició relativa d'una recta i un pla
Flashcards
- Quina és la posició relativa d'una recta i un pla si el rang de la matriu de coeficients (M) és 2 i el rang de la matriu ampliada (M') és 2?
- La recta està continguda al pla.
- Quina és la posició relativa d'una recta i un pla si el rang de la matriu de coeficients (M) és 2 i el rang de la matriu ampliada (M') és 3?
- La recta és paral·lela al pla.
- Quina és la posició relativa d'una recta i un pla si el rang de la matriu de coeficients (M) és 3 i el rang de la matriu ampliada (M') és 3?
- La recta és secant al pla.
- Si un punt P de la recta pertany al pla i el vector director de la recta és perpendicular al vector normal del pla, quina és la posició relativa?
- La recta està continguda al pla.
Preguntes tipus test
- Si considerem el sistema format per les equacions d'una recta (donada per la intersecció de dos plans) i un pla, i trobem que rang(M) = 2 i rang(M') = 2, quina és la posició relativa de la recta respecte al pla?
- a) Recta continguda al pla
- b) Recta paral·lela al pla
- c) Recta secant al pla
- d) No es pot determinar la posició
Resposta: a) Recta continguda al pla. Quan el rang de la matriu de coeficients (M) és 2 i el de la matriu ampliada (M') és 2, el sistema és compatible indeterminat amb 3 incògnites i 2 equacions linealment independents (3-2=1 grau de llibertat), cosa que correspon a la solució d'una recta. Com que la recta és la solució del sistema format per les equacions del pla i la recta, la recta està continguda en el pla.
- Segons el mètode dels rangs, quina posició relativa correspon a rang(M) = 2 i rang(M') = 3?
- a) Recta continguda al pla
- b) Recta paral·lela al pla
- c) Recta secant al pla
- d) La recta coincideix amb el pla
Resposta: b) Recta paral·lela al pla. Quan el rang de la matriu de coeficients (M) és 2 i el de la matriu ampliada (M') és 3, el sistema és incompatible (rang M ≠ rang M'). Això significa que no hi ha punts en comú entre la recta i el pla, i com que els rangs són els que són, indica que no són coincidents, per tant, la recta és paral·lela al pla.
- Si rang(M) = 3 i rang(M') = 3, quina és la posició relativa de la recta i el pla?
- a) Recta continguda al pla
- b) Recta paral·lela al pla
- c) Recta secant al pla
- d) No tenen punts en comú
Resposta: c) Recta secant al pla. Quan el rang de la matriu de coeficients (M) és 3 i el de la matriu ampliada (M') també és 3, el sistema és compatible determinat (SCD). Això significa que hi ha una única solució per al sistema, que correspon a un únic punt d'intersecció entre la recta i el pla. Per tant, la recta és secant al pla.
Posició relativa de 2 rectes
Flashcards
- Quina és la posició relativa de dues rectes si el rang de la matriu de coeficients (M) és 2 i el rang de la matriu ampliada (M') és 2, amb n=3 variables?
- Rectes coincidents (r = s)
- Si el rang de M és 2 i el rang de M' és 3 (amb n=3), quina és la posició relativa de les rectes segons el sistema d'equacions?
- Rectes paral·leles (r || s)
- Segons l'anàlisi dels rangs, quina posició tenen dues rectes si rang M = 3 i rang M' = 3 (amb n=3)?
- Rectes secants (r X s)
- Si rang M = 3 i rang M' = 4 (amb n=3 variables), quina és la posició relativa de les rectes?
- Rectes que es creuen (r X s)
Preguntes tipus test
- Si la posició relativa de dues rectes es determina mitjançant un sistema d'equacions i s'obté rang M = 2 i rang M' = 3, quina és la posició relativa?
- a) Rectes coincidents
- b) Rectes secants
- c) Rectes paral·leles
- d) Rectes que es creuen
Resposta: c) Rectes paral·leles. Quan el rang de la matriu de coeficients (M) és 2 i el de la matriu ampliada (M') és 3 per a un sistema de 4 equacions amb 3 incògnites que representen dues rectes, el sistema és incompatible (SI). En aquest cas, amb rang M=2 i rang M'=3, les rectes no tenen punts en comú però els seus vectors directors són linealment dependents (ja que rang M=2), indicant que són paral·leles.
- Quina combinació de rangs (rang M, rang M') correspon a rectes secants quan s'analitza el sistema d'equacions (amb n=3)?
- a) rang M = 2, rang M' = 2
- b) rang M = 3, rang M' = 3
- c) rang M = 2, rang M' = 3
- d) rang M = 3, rang M' = 4
Resposta: b) rang M = 3, rang M' = 3. Les rectes secants s'obtenen quan el sistema d'equacions que les representa és compatible determinat (SCD). Això succeeix quan el rang de la matriu de coeficients (M) és igual al rang de la matriu ampliada (M') i igual al nombre de variables (n). Per a dues rectes en l'espai, n=3, i el rang màxim de M és 3. Per tant, SCD implica rang M = rang M' = 3.
- Si dues rectes són coincidents, quina és la relació entre els rangs de les matrius M i M' del sistema d'equacions que les defineix?
- a) rang M = 3, rang M' = 3
- b) rang M = 2, rang M' = 3
- c) rang M = 3, rang M' = 4
- d) rang M = 2, rang M' = 2
Resposta: d) rang M = 2, rang M' = 2. Les rectes coincidents es donen quan el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat (SCI amb 1 GL). Això correspon a rang M = rang M' = n - 1. En el cas de rectes en l'espai amb 3 variables (n=3), això significa rang M = rang M' = 3 - 1 = 2.
Distàncies i angles
Flashcards
- Quina és la distància entre dos plans coincidents?
- La distància entre ells és zero.
- Quina és la distància entre una recta i un pla si la recta està continguda al pla?
- La distància entre ells és zero.
- Quina és la distància entre dues rectes secants?
- La distància entre ells és zero.
- Quina és la fórmula per calcular la distància entre dos punts P(xp, yp, zp) i Q(xq, yq, zq)?
- d(P,Q) = √(xp-xq)² + (yp-yq)² + (zp-zq)²
Preguntes tipus test
- Quina és la fórmula correcta per calcular la distància entre dos punts P(xp, yp, zp) i Q(xq, yq, zq) a l'espai?
- a) √((xp-xq)² + (yp-yq)² + (zp-zq)²)
- b) |xp-xq| + |yp-yq| + |zp-zq|
- c) (xp-xq)² + (yp-yq)² + (zp-zq)²
- d) √(|xp-xq| + |yp-yq| + |zp-zq|)
Resposta: a) √((xp-xq)² + (yp-yq)² + (zp-zq)²). La distància entre dos punts P i Q es calcula mitjançant la magnitud del vector PQ, que al seu torn s'obté amb l'arrel quadrada de la suma dels quadrats de les diferències de les coordenades corresponents.
- Si tenim un punt P(xp, yp, zp) i un pla π: Ax + By + Cz + D = 0, quina és la fórmula per calcular la distància de P a π?
- a) |Axp + Byp + Czp| / √A² + B² + C²
- b) Axp + Byp + Czp + D
- c) |Axp + Byp + Czp + D| / √A² + B² + C²
- d) |D| / √A² + B² + C²
Resposta: c) |Axp + Byp + Czp + D| / √A² + B² + C². La distància d'un punt a un pla es calcula substituint les coordenades del punt a l'equació general del pla, prenent el valor absolut del resultat, i dividint per la magnitud del vector normal del pla (el mòdul dels coeficients A, B, C).
- En quins casos la distància entre dos plans π₁ i π₂ és igual a zero?
- a) Són paral·lels i distints
- b) Són coincidents o s'intersecten
- c) Són coincidents
- d) S'intersecten
Resposta: b) Són coincidents o s'intersecten. La distància entre dos plans és zero si els plans coincideixen (són el mateix) o si s'intersecten (no són paral·lels). Només és una distància positiva (calculada amb una fórmula) si són paral·lels i distints.
Simetries
Flashcards
- Quina relació geomètrica hi ha entre el punt P, el seu simètric P' respecte a un punt Q, i el punt Q?
- El punt Q és el punt mitjà del segment PP', on P' és el simètric de P.
- Quina és la fórmula per calcular el punt simètric P' d'un punt P respecte a un altre punt Q?
- P' = 2Q - P.
- En la simetria d'un punt P respecte a una recta r, quin punt cal trobar primer abans de calcular P'?
- Cal trobar el punt Q, que és la projecció ortogonal de P sobre la recta.
- Descriu un dels mètodes per trobar la projecció ortogonal Q d'un punt P sobre una recta r.
- Una manera és buscar Q com a punt genèric de la recta i imposar que el vector PQ sigui perpendicular al vector director de la recta (el seu producte escalar sigui zero).
Preguntes tipus test
- Si P' és el punt simètric de P respecte a un punt Q, quina afirmació és correcta?
- a) Q és el punt inicial del vector PP'.
- b) Q és el punt mitjà del segment PP'.
- c) P és el punt mitjà del segment QP'.
- d) P' és el punt mitjà del segment PQ.
Resposta: b) Q és el punt mitjà del segment PP'.. En la simetria d'un punt P respecte a un altre punt Q, el punt Q és el punt mitjà del segment que uneix P i el seu simètric P'. Per tant, el vector PQ és igual al vector QP'.
- Quina és la fórmula correcta per calcular el simètric P' d'un punt P respecte a un punt Q?
- a) P' = Q - P
- b) P' = P + Q
- c) P' = 2Q - P
- d) P' = 2P - Q
Resposta: c) P' = 2Q - P. La fórmula que relaciona P, Q i P' quan Q és el punt mitjà de PP' és Q = (P + P') / 2. Aïllant P', s'obté 2Q = P + P', i per tant P' = 2Q - P.
- Quin és el primer pas crucial per calcular el simètric d'un punt P respecte a una recta r?
- a) Cal trobar directament el punt P' usant el vector director de la recta.
- b) Cal trobar el pla perpendicular a la recta que passa per l'origen.
- c) Cal trobar la distància del punt P a la recta r i duplicar-la.
- d) Cal trobar la projecció ortogonal Q del punt P sobre la recta r.
Resposta: d) Cal trobar la projecció ortogonal Q del punt P sobre la recta r.. Per trobar el simètric d'un punt P respecte a una recta r, primer cal trobar la projecció ortogonal Q del punt P sobre la recta r. Un cop trobat Q, el punt simètric P' es calcula utilitzant la fórmula P' = 2Q - P.
I 48 flashcards i 32 preguntes més al document.