Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat

I 0 flashcards i 36 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS MATEMÀTIQUES II Selectivitat (PAU Catalunya) AprenAI 2026-2027 Apunts de Matemàtiques II per a la PAU de Catalunya: funcions, derivades i integrals, matrius i sistemes, geometria de l'espai i probabilitat, amb mètodes pas a pas.

APREN.AI Índex Funcions i límits 1 Funcions elementals: tipus, domini i propietats 7 Famílies de funcions elementals 8 Funcions trigonomètriques i les seves transformacions 10 Càlcul del domini 10 Talls amb els eixos i signe d'una funció 11 Simetries: funcions parelles i senars 12 2 Funcions a trossos i funció valor absolut 14 Funcions definides a trossos 14 La funció valor absolut com a funció a trossos 15 3 Límits de funcions i indeterminacions 16 Límit en un punt i límits laterals 16 Operacions amb infinit 17 Límits de funcions racionals 17 Arrels, exponencials i logaritmes 18 4 Asímptotes verticals, horitzontals i obliqües 20 Què és una asímptota 20 Funcions racionals: el procediment 21 Posició de la corba respecte de l'asímptota 22 Exemple resolt complet 22 Funcions no racionals 23 5 Continuïtat i teorema de Bolzano 24 Continuïtat en un punt i en un interval 25 Tipus de discontinuïtat 26 Continuïtat de funcions a trossos amb paràmetres 27 El teorema de Bolzano 27 Localitzar l'arrel i comprovar que és única 29 Derivades 6 La derivada: definició, interpretació geomètrica i derivabilitat 33 Taxa de variació mitjana 33 La derivada en un punt 34 Interpretació geomètrica 34 La funció derivada 35 Continuïtat i derivabilitat 35 Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 1 Derivades laterals i funcions a trossos 35 7 Regles de derivació 38 Regles d'operació: suma, producte i quocient 38 Taula de derivades i regla de la cadena 39 Derivació logarítmica 42 Derivades successives 42 8 Recta tangent i recta normal 43 L'equació de la recta tangent 43 La recta normal 44 Punts on la tangent té un pendent donat 45 Tangents amb paràmetres i tangents que passen per un punt 45 Aplicacions de la derivada 9 Creixement, decreixement i extrems relatius 49 Signe de la derivada i monotonia 49 Punts crítics i extrems relatius 51 Extrems absoluts en un interval tancat 53 10 Curvatura i punts d'inflexió 54 Concavitat i convexitat 54 Punts d'inflexió 55 Procediment amb la taula de signes 55 11 Càlcul de paràmetres a partir de condicions 57 Taula de traducció 57 El procediment 58 Per què cal comprovar 59 12 Estudi complet i representació gràfica d'una funció 61 El guió de l'estudi 61 Un exemple complet 62 De les dades a l'esbós 62 Relació entre la gràfica de i la de 63 13 Problemes d'optimització: el mètode 64 Què és un problema d'optimització 65 El mètode pas a pas 65 Exemple resolt: un tancat adossat a un mur 67 Com es justifica l'òptim 67 14 Optimització: problemes geomètrics, de costos i de distàncies 68 Els models que es repeteixen 69 Fórmules geomètriques que cal tenir a mà 70 f f Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 2 Distàncies: el truc del quadrat 71 Quan l'òptim és a un extrem del domini 71 Integrals 15 Primitives immediates 76 Primitiva i integral indefinida 77 Taula d'integrals immediates i linealitat 78 Primitiva que passa per un punt 79 Primitiva d'una funció a trossos 81 16 Primitives quasi-immediates 82 D'on surten: la regla de la cadena a l'inrevés 82 Taula de formes compostes 82 Ajust de constants 83 17 Integral definida i àrea sota una corba 85 Què és la integral definida 85 La regla de Barrow 86 Àrea entre una corba i l'eix OX 86 Àrees amb un paràmetre 88 18 Àrea entre dues corbes 90 La idea: integrar la diferència 90 El procediment pas a pas 91 Quan hi ha un punt de tall intermedi 92 Problemes en context: cost per unitat de superfície 92 Matrius i determinants 19 Tipus de matrius i operacions 96 Tipus de matrius 97 Matriu transposada 98 Suma i producte per un nombre 99 Producte de matrius 99 Propietats del producte i compte amb el que no es compleix 100 Potències d'una matriu 100 Matrius idempotents, involutives i matrius que commuten 100 20 Determinants d'ordre 2 i 3 102 Determinant d'ordre 2 102 Determinant d'ordre 3: regla de Sarrus 103 Menor complementari, adjunt i desenvolupament 103 Propietats dels determinants 104 Determinants amb un paràmetre 106 Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 3 21 Matriu inversa 107 Què és la matriu inversa i quan existeix 107 Càlcul de la inversa per adjunts 108 Mètode de Gauss-Jordan 110 Invertibilitat segons un paràmetre 111 Inversa a partir d'una igualtat matricial 111 22 Equacions matricials 112 Què és una equació matricial 112 Aïllar X per l'esquerra o per la dreta 113 Equacions amb diversos termes 114 Comprovació de la solució 115 23 Rang d'una matriu 116 Què mesura el rang: dependència lineal 116 Càlcul del rang per Gauss 117 Càlcul del rang per menors 117 Rang segons un paràmetre 118 Sistemes d'equacions 24 Classificació i mètode de Gauss 123 Expressió matricial i matriu ampliada 123 Classificació dels sistemes 124 El mètode de Gauss 125 Llegir el sistema esglaonat i solució paramètrica 126 25 Discussió amb un paràmetre: teorema de Rouché-Frobenius 130 El teorema de Rouché-Frobenius 130 Mètode per discutir un sistema 3 × 3 130 Resoldre per a un valor concret: Cramer o Gauss 132 Sistemes homogenis 132 26 Problemes modelitzables amb sistemes 133 Com es planteja el sistema 134 Interpretar la solució en el context 135 Condicions addicionals sobre un sistema indeterminat 136 Geometria de l'espai 27 Vectors: producte escalar, vectorial i mixt 139 Vector entre dos punts i mòdul 140 Combinació lineal i dependència lineal 140 Els tres productes 141 28 Equacions de la recta i del pla 143 Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 4 Què determina una recta i un pla 144 Les equacions de la recta 145 De la implícita al punt i al director 146 Les equacions del pla 147 29 Posicions relatives de rectes i plans 150 Dues rectes 151 Recta i pla 152 Dos plans 152 Tres plans 153 Posició relativa amb un paràmetre 153 30 Angles i perpendicularitat 155 Angles entre rectes i plans 155 Condicions de paral·lelisme i perpendicularitat 156 Construccions amb perpendicularitat 157 31 Distàncies 158 Distància entre dos punts 159 Distància d'un punt a un pla 159 Distància d'un punt a una recta 159 Varietats paral·leles: tot es redueix a un punt 160 Distància entre dues rectes que s'encreuen 161 Plans a una distància donada 162 32 Projeccions, punts simètrics i perpendicular comuna 163 Projecció ortogonal d'un punt sobre un pla 163 Projecció ortogonal d'un punt sobre una recta 164 Punt simètric 164 Pla mediador d'un segment 165 Recta perpendicular comuna a dues rectes que s'encreuen 166 Probabilitat 33 Experiments aleatoris, esdeveniments i regla de Laplace 170 Experiment aleatori, espai mostral i esdeveniments 171 Operacions amb esdeveniments 171 Regla de Laplace 172 Propietats de la probabilitat 172 34 Probabilitat condicionada, independència, diagrames d'arbre i taules de contingència 173 Probabilitat condicionada i regla del producte 174 Independència 175 Diagrames d'arbre 175 Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 5 Extraccions amb i sense reemplaçament 176 Taules de contingència 176 35 Probabilitat total i teorema de Bayes 178 Sistema complet d'esdeveniments 178 Teorema de la probabilitat total 179 Teorema de Bayes: tornar enrere a l'arbre 180 36 Variables aleatòries discretes: la distribució binomial 183 Variable aleatòria discreta i la seva distribució 183 Nombres combinatoris 184 La distribució binomial 185 «Almenys» i «com a màxim» 186 37 Formulari 188 Funcions i límits 189 Derivades 189 Aplicacions de la derivada 190 Integrals 191 Matrius i determinants 191 Sistemes d'equacions 192 Geometria de l'espai 193 Probabilitat 194 Valors que cal saber 194 Errors típics 195 Solucions de les preguntes de repàs 196 Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 6 5 % dels punts de l'examen 1 Funcions elementals: tipus,domini i propietats EN ACABAR SABRÀS Calcular el domini d'una funció amb denominadors, arrels d'índex parell i logaritmes Trobar els talls amb els eixos i estudiar el signe d'una funció amb una taula de signes Determinar si una funció és parella, senar o cap de les dues Identificar una gràfica del tipus a·sin(bx)+c a partir de l'amplitud, el període i el desplaçament vertical PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Per què la calculadora dona error amb ln( 2), però no amb e elevat a 2?

Una funció real de variable real assigna a cada valor de (la variable independent) un únic valor (la variable dependent). El domini, , és el conjunt de valors on es pot calcular . El recorregut (o imatge) és el conjunt de valors que pren . Abans de calcular límits o derivades cal saber on existeix la funció i quina forma té la seva gràfica.

Funcions i límits 1 Funcions elementals: tipus, domini i propietats 2 Funcions a trossos i funció valor absolut 3 Límits de funcions i indeterminacions 4 Asímptotes verticals, horitzontals i obliqües 5 Continuïtat i teorema de Bolzano x y = f(x) Dom(f) f(x) y Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 7 ESQUEMA Funcions i límits Famílies de funcions elementals Cada família té una gràfica característica. Si la reconeixes, pots fer-ne un esbós amb molt pocs punts. Les polinòmiques, les racionals i les irracionals són algebraiques: només fan servir sumes, productes, quocients i arrels. Les exponencials, les logarítmiques i les trigonomètriques són transcendents.

Funcions elementals Famílies, domini, talls, signe i simetries Domini Denominadors, arrels parelles, logaritmes Talls i signe Punts sobre els eixos i taula de signes Simetries Funcions parelles i senars Funcions a trossos Inclou la funció valor absolut Límits Què fa la funció prop d'un valor Asímptotes Verticals, horitzontals i obliqües, calculades amb límits Continuïtat Definida amb límits; teorema de Bolzano Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 8 ESQUEMA Funcions elementals Família Exemple Domini Gràfica i punts clau Polinòmica Traç continu, sense salts. Grau 1: recta. Grau 2: paràbola amb vèrtex a .

Racional menys els zeros del denominador Branques que s'acosten a rectes (vegeu «Funcions i límits — Asímptotes verticals, horitzontals i obliqües»). Irracional , Índex parell: radicand . Índex senar: surt de , creix i mai és negativa. Exponencial , , Recorregut . Passa per . Creixent si la base és , decreixent si . Logarítmica Recorregut . Passa per i per . Creixent. Trigonomètrica , , i : . : Periòdiques (apartat següent). L'exponencial i el logaritme neperià són funcions inverses: l'una desfà l'altra, . Per això les seves gràfiques són simètriques respecte de la recta . Els punts clau també es corresponen: dona el punt i dona el punt . A més, .

Com que per a tot , la gràfica de l'exponencial queda sempre per sobre de l'eix OX. Per l'esquerra s'hi acosta molt, però no el toca. El logaritme fa el contrari: només està definit per a i baixa sense fi quan s'acosta a 0 per la dreta.

Algebraiques Sumes, productes, quocients i arrels Polinòmiques Domini Racionals Denominador diferent de 0 Irracionals Índex parell: radicand 0 Transcendents No es redueixen a operacions algebraiques Exponencials Sempre positives, passen per (0, 1) Logarítmiques Argument > 0, passen per (1, 0) Trigonomètriques Periòdiques: sinus, cosinus i tangent x 3 2x + 1 R x = 2a b x 2 x+1 R x 3 3 x 0 R x (0, 0) ex 2x (2 1 ) x R (0, + ) (0, 1) a > 1 0 < a < 1 ln x (0, + ) R (1, 0) (e, 1) sin x cos x tan x sin cos R tan x = + 2 π kπ ex ln x ln(e ) = x x y = x e = 0 1 (0, 1) ln 1 = 0 (1, 0) ln e = 1 e > x 0 x ln x x > 0 x Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 9 COMPROVA-HO 2 Per què la funció no talla mai l'eix OX?

Funcions trigonomètriques i les seves transformacions Els angles es mesuren en radians. Una funció és periòdica si es repeteix: hi ha un nombre tal que per a tot . El més petit d'aquests nombres és el període. L'amplitud és la meitat de la distància entre el valor màxim i el mínim. A la taula, és qualsevol nombre enter. Funció Període Recorregut Zeros Màxim Mínim 1, a 1, a 1, a 1, a No en té No en té La tangent és . Per això no existeix on el cosinus s'anul·la, és a dir, a . A l'examen sovint cal reconèixer una gràfica del tipus (o amb cosinus). Cada paràmetre fa una sola cosa: estira la gràfica en vertical: l'amplitud és . Si , la gràfica s'inverteix.

la comprimeix o l'eixampla en horitzontal: el període és . la trasllada amunt o avall: oscil·la entre i . EXEMPLE Per a : amplitud 3, període , mínim i màxim . A val i creix. Arriba al màxim quan , és a dir, a . El camí invers serveix per identificar una gràfica: amb el màxim i el mínim , i . El període és la distància entre dos màxims consecutius. COMPROVA-HO 3 Una gràfica del tipus , amb , té màxim 5, mínim 1 i dos màxims consecutius separats per . Quina funció és? Càlcul del domini Les polinòmiques, les exponencials, el sinus, el cosinus i les arrels d'índex senar existeixen per a qualsevol nombre real. Només tres operacions treuen punts del domini: Denominador: ha de ser diferent de 0.

Se'n treuen els zeros. Arrel d'índex parell: el radicand ha de ser . Logaritme: l'argument ha de ser estrictament positiu, > 0. f(x) = e + x 3 T > 0 f(x + T) = f(x) x k sin x 2π [ 1, 1] x = kπ x = + 2 π 2kπ x = + 2 3π 2kπ cos x 2π [ 1, 1] x = + 2 π kπ x = 2kπ x = π + 2kπ tan x π R x = kπ tan x = cos x sin x x = + 2 π kπ f(x) = a sin(bx) + c a a a < 0 b T = b 2π c c a c + a f(x) = 3 sin(2x) + 1 = 2 2π π 1 3 = 2 1 + 3 = 4 x = 0 f(0) = 1 2x = 2 π x = 4 π M m a = 2 M m c = 2 M+m a cos(bx) + c a, b > 0 π 0 Localitza tots els denominadors, arrels parelles i logaritmes de la fórmula.

1 Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 10 La mateixa idea val per a les operacions entre funcions. El domini de , de la resta o del producte és la part comuna dels dos dominis. EXEMPLE Domini de . Cal i, a més, . Els punts frontera són (anul·la el numerador: hi entra) i (anul·la el denominador: no hi entra). Interval + + + Quocient + + Resultat: . Un cas amb logaritme: demana , que es compleix a . ERROR FREQÜENT Escriure per a l'argument d'un logaritme. El domini de és , no , perquè no existeix. Igualment, té domini , no . Abans de tancar un interval amb un claudàtor, pregunta't si aquell punt anul·la un argument de logaritme o un denominador.

Talls amb els eixos i signe d'una funció Tall amb l'eix OY: es fa , només si 0 és del domini. Hi ha com a molt un punt, , perquè cada té una sola imatge. Talls amb l'eix OX: es resol i es descarten les solucions de fora del domini. Un quocient és zero quan ho és el numerador. Signe: els zeros i els punts exclosos del domini divideixen la recta en intervals. En aquest curs, dins de cada interval la funció manté el mateix signe; n'hi ha prou amb un valor de prova. Ho justifica la continuïtat (vegeu «Funcions i límits — Continuïtat i teorema de Bolzano»). EXEMPLE , amb domini . Tall amb OY: , punt . Talls amb OX: , punts i . Valors de prova: , , i . Per tant, a i a .

Escriu la condició de cadascun. 2 Resol cada condició. Si és una inequació amb un quocient o un polinomi, fes una taula de signes: zeros del numerador i del denominador, intervals i un valor de prova a cada interval. 3 Fes la intersecció de totes les condicions i escriu-la amb intervals. Els zeros d'un denominador sempre queden fora.

4 (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f g)(x) = f(x) g(x) g(x) = x 3 x+2 x 3 x+2 0 x = 3 x = 2 x = 3 ( , 2) ( 2, 3) (3, + ) x + 2 x 3 Dom(g) = ( , 2] (3, + ) ln(x 2 4x) x(x 4) > 0 ( , 0) (4, + ) 0 ln(x 1) (1, + ) [1, + ) ln 0 ln(x ) 2 R {0} R x = 0 (0, f(0)) x f(x) = 0 f(x) = x+1 x 4 2 R { 1} f(0) = 4 (0, 4) x 2 4 = 0 x = ±2 ( 2, 0) (2, 0) f( 3) = 2 5 f( 1,5) = 2 7 f(0) = 4 f(3) = 4 5 f < 0 ( , 2) ( 1, 2) f > 0 ( 2, 1) (2, + ) Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 11 COMPROVA-HO 4 Calcula els talls amb els eixos de . Simetries: funcions parelles i senars DEFINICIÓ Funció parella: . La gràfica és simètrica respecte de l'eix OY. Funció senar: .

La gràfica és simètrica respecte de l'origen. Per comprovar-ho, es calcula , se simplifica i es compara amb i amb . El domini ha de ser simètric: si hi és, també. La simetria estalvia feina, perquè n'hi ha prou d'estudiar la meitat . : . És parella. : . És senar. : , que no és ni ni . No té cap de les dues simetries. PER RECORDAR-HO El nom ve dels exponents. Un polinomi només amb potències parelles (i constant) és parell, com . Un polinomi només amb potències senars és senar, com . El cosinus és parell; el sinus i la tangent són senars. Una funció senar definida a 0 compleix : passa per l'origen.

f(x) = ln(x + 3) f( x) = f(x) f( x) = f(x) f( x) f(x) f(x) x x x 0 f(x) = x 4 3x2 f( x) = x 4 3x = 2 f(x) g(x) = x +1 2 x g( x) = = x +1 2 x g(x) h(x) = x + 2 x h( x) = x 2 x h(x) h(x) = x 2 x x2 x3 f(0) = 0 Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 12 PAU · 2025, JUNY, SÈRIE 4 Exercici 1 Considereu la funció . a) Indiqueu el domini d'aquesta funció i els talls de la corba amb els eixos de coordenades. [0,5 punts] Resolució Es demanen tres coses: el domini, el tall amb l'eix OY i els talls amb l'eix OX. Domini. És una arrel quadrada, d'índex parell: el radicand ha de ser . Queda .

La funció és creixent, i per això podem fer l'arrel cúbica als dos costats sense girar la desigualtat: . Per tant, . Tall amb l'eix OY. El 0 és del domini. , i el punt és . Talls amb l'eix OX. Es resol : . Aquest valor és del domini, i el tall és només el punt . El signe + davant l'arrel indica que es pren l'arrel positiva. La corba queda per sobre de l'eix OX i només el toca a . ARA TU Considera la funció . Troba el domini i els talls amb els eixos. Primers passos: és una arrel d'índex parell, i cal , és a dir, . Et toca acabar la inequació, escriure el domini amb intervals i calcular els dos talls.

Solució: 5 IDEES CLAU El domini només es restringeix per tres motius: denominador , radicand d'arrel parella i argument del logaritme . El tall amb OY s'obté amb (si 0 és del domini); els talls amb OX són les solucions de que són del domini. El signe s'estudia dividint la recta pels zeros i pels punts exclosos del domini i provant un valor a cada interval. Parella: , simètrica respecte de l'eix OY; senar: , simètrica respecte de l'origen. A , l'amplitud és , el període i la funció oscil·la entre i . Punts clau: , , ; per a tot .

f(x) = + 1 + x3 y = f(x) 0 1 + x 3 0 x 3 1 x3 x 1 Dom(f) = [ 1, + ) f(0) = = 1 + 03 1 (0, 1) f(x) = 0 = 1 + x3 0 1 + x = 3 0 x = 3 1 x = 1 ( 1, 0) ( 1, 0) f(x) = 8 x3 8 x 3 0 x 3 8 = 0 0 > 0 x = 0 f(x) = 0 f( x) = f(x) f( x) = f(x) a sin(bx) + c a b 2π c a c + a e = 0 1 ln 1 = 0 ln e = 1 e > x 0 x Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 13 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 6. Quin és el domini de ? 7. La funció és parella, senar o cap de les dues? 8. Quin és el període de ?

FUNCIONS I LÍMITS 2 Funcions a trossos i funció valor absolut EN ACABAR SABRÀS Calcular imatges d'una funció a trossos triant l'expressió del seu interval Representar una funció a trossos amb punts plens i buits als extrems de cada tros Escriure "f(x)" com a funció a trossos a partir del signe de f PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 9 Si "x" és la distància de x al 0, com pots escriure "x" sense les barres, amb dues fórmules diferents? Funcions definides a trossos Una funció a trossos fa servir una expressió diferent a cada interval de la recta real. Cada expressió només val dins del seu interval. Les tarifes per trams o un impost que canvia segons els ingressos es modelitzen així.

Per calcular una imatge, primer es mira a quin interval cau la i després s'aplica només aquella expressió. Així, , , i . Els punts on canvia l'expressió (aquí i ) s'anomenen punts de canvi o d'unió. Com es dibuixa f(x) = ln(5 x) f(x) = x + 3 x2 f(x) = cos (2 x ) f(x) = 1 x x2 4 si x < 0 si 0 x 2 si x > 2 x f( 3) = 1 ( 3) = 4 f(0) = 0 = 2 0 f(2) = 4 f(5) = 4 x = 0 x = 2 Marca els punts de canvi a l'eix de les : separen les zones. 1 x A cada zona, dibuixa la gràfica de la seva expressió (una recta, una paràbola...) i res més. Fes una petita taula de valors que inclogui els extrems de l'interval. 2 Als extrems, posa un punt ple si l'interval l'inclou ( , ) i un punt buit si no l'inclou ( , ).

3 < > Comprova que cada té una sola imatge: un punt de canvi pertany a un sol tros. 4 x Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 14 A l'exemple, la recta arriba a amb punt buit, i la paràbola comença a amb punt ple. La gràfica fa un salt a . A , en canvi, la paràbola acaba a i el tros constant continua a la mateixa altura: no hi ha salt. Saber si una funció a trossos és contínua als punts de canvi es treballa amb límits laterals (vegeu «Funcions i límits — Continuïtat i teorema de Bolzano»). ERROR FREQÜENT Dibuixar cada expressió sencera, com si valgués per a tota la recta.

La paràbola d'aquest exemple només existeix entre 0 i 2: fora d'aquest interval no hi ha res d'ella. També fa perdre punts confondre el punt ple i el buit als extrems. COMPROVA-HO 10 Amb la funció de l'exemple, quant val ? I per què no és 0? La funció valor absolut com a funció a trossos El valor absolut d'un nombre és la seva distància al 0, i per tant mai és negatiu. Deixa igual un nombre positiu i canvia el signe d'un de negatiu: La idea s'estén a qualsevol funció. On , ; on , . A la gràfica, la part que queda per sota de l'eix es reflecteix cap amunt. Per escriure-la a trossos cal estudiar el signe de (vegeu «Funcions i límits — Funcions elementals: tipus, domini i propietats»).

PROCÉS Escriure "f(x)" a trossos 1 Arrels de f Resol f(x) = 0 per tro bar els punts de canvi 2 Signe de f Mira si f és positiva o negativa a cada interval 3 Canvia el signe On f és negativa, es criu f(x); on és posi tiva, f(x) 4 Escriu els trossos Una expressió per in terval, amb cada punt en un sol tros EXEMPLE Escrivim a trossos. Les arrels de són i . Entre elles l'expressió és negativa (a val -4) i fora és positiva. Per tant: Als punts on s'anul·la, les dues expressions valen 0, així que es poden posar en qualsevol dels dos trossos.

y = 1 x (0, 1) (0, 0) x = 0 x = 2 (2, 4) x2 f(1) x = { x x si x < 0 si x 0 f(x) 0 f(x) = f(x) f(x) < 0 f(x) = f(x) f g(x) = x 2 4 x 2 4 x = 2 x = 2 x = 0 g(x) = x 4 2 x + 4 2 x 4 2 si x < 2 si 2 x 2 si x > 2 f Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 15 Als punts de canvi, el valor absolut sol crear una punxa. La funció és contínua a , però hi té pendent -1 per l'esquerra i 1 per la dreta. Aquest punt s'anomena punt angulós. Per això és contínua però no derivable a : derivable implica contínua, però el recíproc és fals (vegeu «Derivades — La derivada: definició, interpretació geomètrica i derivabilitat»).

IDEES CLAU En una funció a trossos cada expressió només val al seu interval: primer es tria el tros i després es calcula. Als extrems de cada tros, punt ple si l'interval l'inclou i punt buit si no; cada punt de canvi pertany a un sol tros. on i on : cal estudiar el signe de . A la gràfica, el valor absolut reflecteix cap amunt la part que queda per sota de l'eix. és contínua però no derivable a : hi té un punt angulós. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 11. Escriu com a funció a trossos. 12. Per què una funció a trossos no pot tenir en un tros i en el següent?

FUNCIONS I LÍMITS 3 Límits de funcions i indeterminacions EN ACABAR SABRÀS Calcular límits laterals i decidir si un límit en un punt existeix Resoldre límits de funcions racionals dels tipus 0/0, / i k/0 Resoldre indeterminacions amb arrels pel conjugat i amb exponencials o logaritmes per comparació d'infinits o L'Hôpital PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 13 Si divideixes 1 entre 0,1, entre 0,01 i entre 0,001, què passa? Pot ser que 1/0 «doni» alguna cosa? Límit en un punt i límits laterals El límit diu a quin valor s'acosta quan s'acosta a . No importa què passa exactament a : la funció pot no estar-hi definida o valer-hi una altra cosa. Ens podem acostar a per dos costats.

El límit lateral per l'esquerra, , fa servir valors més petits que . El límit lateral per la dreta, , en fa servir de més grans. x x = 0 x x = 0 f(x) = f(x) f(x) 0 f(x) = f(x) f(x) < 0 f x x = 0 2x 6 x 1 x 1 lim f(x) = x a L f(x) x a a a lim f(x) x a a lim f(x) x a+ Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 16 DEFINICIÓ El límit en existeix si els dos laterals existeixen i coincideixen. Aquest valor comú és el límit. El límit no existeix en dos casos típics: quan els laterals donen valors diferents i quan la funció oscil·la sense parar. Per exemple, va i ve entre -1 i 1 cada cop més de pressa a prop de 0. Si tendeix a , el límit pot ser un nombre o .

Quan la funció és contínua en , n'hi ha prou de substituir: . Els límits finits es poden combinar: si i , el límit de la suma és , el de la diferència , el del producte i el del quocient si . També si , (amb si és parell) i si . Operacions amb infinit Quan algun límit és infinit, el resultat surt de pensar en nombres molt grans. Aquesta taula recull els casos que sí tenen resultat fix ( és un nombre real): Operació Resultat Sumes , , Productes i si , amb la regla dels signes Quocients , (signe segons ), si Potències d'infinit si i 0 si ; , Potències de base Si : , . Si : , En canvi, hi ha set expressions que no tenen un resultat fix.

Són les indeterminacions: Una indeterminació no vol dir que el límit no existeixi. Vol dir que cal transformar l'expressió per saber-ne el valor, que depèn de cada funció. COMPROVA-HO 14 Quant valen i ? Són indeterminacions? Límits de funcions racionals Una funció racional és un quocient de polinomis. En substituir hi poden sortir tres situacions: amb . No és indeterminació: el resultat és , i el signe s'obté dels límits laterals. Per a en , per l'esquerra el denominador és negatiu i dona ; per la dreta dona . Els laterals no coincideixen, i el límit no existeix. . Si numerador i denominador s'anul·len en , tots dos tenen el factor . Es factoritza, se simplifica i es torna a substituir.

a sin x 1 x ± ± a lim (2x x 1 2 x + 3) = 2 + 1 + 3 = 6 lim f = A lim g = B A + B A B A B B A B = 0 lim f = g AB A > 0 lim = n f n A A 0 n lim log f = b log A b A > 0 k + + k = + + + (+ ) = + = = k = k = 0 = ± k 0 = k ± ± k = 0 k ± k = 0 (+ ) = k + k > 0 k < 0 (+ ) = + + (+ ) = 0 k > 0 k > 1 k = + + k = 0 0 < k < 1 k = + 0 k = + , , 0 0 , 0 , 1 , 0 , 0 0 lim 0,5 x + x lim x + x2 7 0 k k = 0 ± x 3 1 x = 3 + 0 0 a (x a) Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 17 quan . Manen els termes de grau més alt. Si el numerador té grau menor, el límit és 0; si els graus són iguals, és el quocient dels coeficients principals; si el numerador té grau més gran, és .

EXEMPLE dona . Factoritzant: . , perquè els dos polinomis són de grau 2. ERROR FREQÜENT Escriure . Un numerador fix dividit per un nombre cada cop més petit creix sense límit: el resultat és . L'altre error és donar un sol signe sense estudiar els dos laterals, que poden ser diferents. Arrels, exponencials i logaritmes Conjugat. La forma amb arrels quadrades es resol multiplicant i dividint pel conjugat (la mateixa expressió amb el signe del mig canviat). La diferència de quadrats fa desaparèixer l'arrel: A l'últim pas, es comporta com . Compte quan : , i s'ha de posar el signe. Comparació d'infinits. Una funció és d'ordre superior a si , és a dir, . Són del mateix ordre si .

Quan : Entre exponencials guanya la de base més gran; entre potències, la d'exponent més gran. Dues potències amb el mateix exponent, com i , són del mateix ordre: el quocient tendeix a 2. Logaritmes de bases diferents també ho són. Així, . Regla de L'Hôpital. Si dona o , les dues funcions són derivables a prop del punt i existeix , llavors: Si torna a sortir la indeterminació, es pot aplicar un altre cop. Les derivades es fan com a «Derivades — Regles de derivació». EXEMPLE dona . Derivant a dalt i a baix: . , aplicant-la dues vegades.

x ± ± lim x 1 x +x 2 2 x 1 2 0 0 = (x 1)(x+2) (x 1)(x+1) x+2 x+1 3 2 lim = x + 5x +2 2 3x x 2 5 3 = 0 k 0 ± x = x + lim ( x + 4x 2 ) = x + lim + x x + 4x 2 x + 4x x 2 2 = x + lim + x x + 4x 2 4x = 2 4 2 x + 4x 2 x x = x2 x = x f g lim = g f ± lim = f g 0 lim = g f k = 0 x + log x b x p c (b > x 1, p > 0, c > 1) 4x4 2x4 lim = x + ex x3 0 g f 0 0 lim g f = x a lim g(x) f(x) x a lim g (x) f (x) lim x + x ln x lim = 1 1/x 0 lim = x 0 x2 e 1 x x lim = x 0 2x e 1 x lim = x 0 2 ex 2 1 Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 18 Les formes i es reescriuen com a quocient abans d'aplicar-la, per exemple . Per a s'usa , que surt de . Per exemple, .

Les formes i es treballen prenent logaritmes neperians. ESQUEMA Indeterminacions i com resoldre- les COMPROVA-HO 15 Per què no es pot fer amb L'Hôpital? ERROR FREQÜENT Aplicar L'Hôpital derivant el quocient sencer amb la regla del quocient. La regla demana derivar el numerador i el denominador per separat.

0 f g = 1/g f 1 lim f = g elim g (f 1) lim 1 + = x ( x 1 ) x e lim 1 + = x ( x 3 ) x e = lim x x 3 e3 00 0 0/0 en racionals Factoritzar i simplificar el factor (x a) / en racionals Comparar els graus del numerador i del denominador amb arrels Multiplicar i dividir pel conjugat Exponencials i logaritmes Comparació d'infinits o regla de L'Hôpital 0· Reescriure com a quocient i aplicar L'Hôpital 1^ Fórmula amb e: e elevat a lim g·(f 1) lim x 0 x cos x Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 19 IDEES CLAU El límit en un punt existeix si i només si els dos límits laterals existeixen i són iguals.

Hi ha set indeterminacions: , , , , , i ; cal transformar l'expressió per resoldre-les. amb no és indeterminació: dona i el signe surt dels laterals. En una racional, es resol factoritzant i comparant els graus. Quan , els logaritmes creixen més a poc a poc que les potències, i aquestes més que les exponencials de base més gran que 1. L'Hôpital només s'aplica a o , derivant numerador i denominador per separat. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 16. Calcula . 17. Quin mètode faries servir per a ? 18. Quant val ?

FUNCIONS I LÍMITS 4 Asímptotes verticals,horitzontals i obliqües EN ACABAR SABRÀS Calcular les asímptotes verticals, horitzontals i obliqües d'una funció racional Determinar la posició de la corba respecte de cada asímptota Trobar les asímptotes de funcions logarítmiques, exponencials i irracionals amb límits PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 19 Si el denominador d'una fracció s'anul·la a x = 2, la gràfica sempre s'enfila cap a l'infinit en aquell punt? Què és una asímptota Una asímptota és una recta a la qual la gràfica s'acosta tant com vulguem, sense arribar a confondre- s'hi.

Hi ha tres tipus, i cadascun es reconeix amb un límit concret (els límits es calculen com a «Funcions i límits — Límits de funcions i indeterminacions»). Tipus Equació Condició Vertical , almenys per un costat 0 0 0 1 00 0 0 k k = 0 ± 0 0 x + 0 0 lim x x 5 2 2x +1 3 lim x + ( x + 1 2 x x 2 ) lim x + x5 ex x = a lim f(x) = x a ± Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 20 Tipus Equació Condició Horitzontal , amb finit Obliqua finit i no nul, La vertical descriu què passa prop d'un punt concret: la funció s'enfila o s'enfonsa. L'horitzontal i l'obliqua descriuen què passa quan es fa molt gran o molt petit. Per això s'estudien per separat a i a .

Si la funció té asímptota horitzontal a , allà no en pot tenir d'obliqua: la gràfica no es pot acostar a dues rectes diferents alhora. El mateix passa a . ESQUEMA Tipus d'asímptotes Funcions racionals: el procediment En una funció racional les asímptotes es troben sense gaires càlculs.

Graus Límit a Asímptota Exemple Numerador menor 0 Horitzontal Iguals Quocient dels coeficients principals Horitzontal y = L lim f(x) = x ± L L y = mx + n m = lim x ± x f(x) n = lim (f(x) x ± mx) x + + Vertical x = a; límit infinit en a Zeros del denominador Després de simplificar la fracció Horitzontal y = L; límit finit a ± Graus iguals o menor Quocient de coeficients principals, o 0 Obliqua y = mx + n; m i n amb límits Grau de dalt + 1 El quocient de la divisió f(x) = Q(x) P(x) Simplifica la fracció si numerador i denominador tenen algun factor comú. 1 Asímptotes verticals: als zeros del denominador de la fracció simplificada. Allà el límit és del tipus amb , que dona .

El signe surt dels límits laterals. 2 0 k k = 0 ± Compara els graus de i per saber què passa a (taula de sota). 3 P Q ± Obliqua: si el grau de dalt supera en 1 el de baix, divideix els polinomis. El quocient és l'asímptota. També es pot calcular amb els límits de i . 4 m n ± y = 0 x+3 5 x+2 3x 1 y = 3 Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 21 Graus Límit a Asímptota Exemple Numerador un grau més gran Obliqua Numerador dos graus o més Ni horitzontal ni obliqua COMPROVA-HO 20 Quines asímptotes no verticals té ? Raona-ho amb els graus. Posició de la corba respecte de l'asímptota Saber si la gràfica s'acosta per dalt o per baix ajuda molt a dibuixar-la.

Es mira el signe de la diferència entre la funció i l'asímptota, per a valors grans de : Si , la corba queda per sobre de l'asímptota. Si , la corba queda per sota. Per a una horitzontal es fa igual, amb . Per a una vertical, la posició la donen els límits laterals: vol dir que la corba puja, i que baixa. Exemple resolt complet EXEMPLE Estudiem les asímptotes de . ± ± x x +1 2 y = x ± x 1 x 3 f(x) = 2x x 2 4x + 1 2 x f(x) (mx + n) > 0 f(x) (mx + n) < 0 f(x) L + f(x) = x 1 x 2x 2 Vertical. El denominador s'anul·la a , però el numerador no: val . Per tant, és asímptota vertical. 1 x = 1 1 2 = 1 x = 1 Laterals. Per l'esquerra, ; per la dreta, . La corba puja a l'esquerra de i baixa a la dreta.

2 0 1 + 0+ 1 x = 1 Horitzontal. El numerador té grau 2 i el denominador 1: el límit a és infinit i no n'hi ha. 3 ± Obliqua. Dividint, , i per tant . L'asímptota és . 4 x 2 2x = (x 1)(x 1) 1 f(x) = x 1 x 1 1 y = x 1 Comprovació amb límits. i . 5 m = lim = x x 2 x 2x 2 1 n = lim x = ( x 1 x 2x 2 ) lim = x 1 x 1 Posició. . A és negatiu: la corba va per sota. A és positiu: va per sobre. 6 f(x) (x 1) = x 1 1 + Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 22 ERROR FREQÜENT Prendre com a asímptota vertical qualsevol zero del denominador. A , el valor anul·la també el numerador. Simplificant, per a , i el límit a 2 val 4.

Allà hi ha un forat, no una asímptota (vegeu «Funcions i límits — Continuïtat i teorema de Bolzano»). Abans de buscar asímptotes verticals, simplifica. Funcions no racionals A l'examen també surten logaritmes, exponencials i arrels. Aquí no hi ha taula de graus. Cal calcular els límits als extrems del domini, sovint amb la comparació d'infinits: una exponencial creix més de pressa que qualsevol potència, i una potència més de pressa que un logaritme. EXEMPLE , amb domini . Quan , i el denominador tendeix a : . Asímptota vertical . Quan , la potència guanya el logaritme i : asímptota horitzontal . té asímptota horitzontal només a . A creix sense límit. a : i . Asímptota obliqua .

COMPROVA-HO 21 Per què a no té sentit estudiar el límit quan ? IDEES CLAU Asímptota vertical si el límit en és ; horitzontal si el límit a és . L'obliqua té i ; en racionals apareix si el grau de dalt supera en 1 el de baix. En una racional, primer se simplifica: només els zeros del denominador simplificat donen asímptotes verticals. Pel mateix costat, una funció no pot tenir alhora asímptota horitzontal i obliqua. La posició respecte de l'asímptota la dona el signe de . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 22. Quina asímptota horitzontal té ? 23. Té asímptota vertical a ?

g(x) = x 2 x 4 2 x = 2 g(x) = x + 2 x = 2 f(x) = x ln x x > 0 x 0+ ln x 0+ f(x) x = 0 x + f(x) 0 y = 0 f(x) = ex y = 0 + f(x) = x + 1 2 + m = 1 n = lim ( x + 1 2 x) = lim = +x x +1 2 1 0 y = x x ln x x x = a a ± y = L ± L y = mx + n m = lim x f(x) n = lim(f(x) mx) f(x) (mx + n) f(x) = 3x + x 3 6x 2 3 f(x) = x + 3 x 9 2 x = 3 Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 23 33 % dels punts de l'examen FUNCIONS I LÍMITS 5 Continuïtat i teorema de Bolzano EN ACABAR SABRÀS Estudiar la continuïtat d'una funció en un punt i classificar-ne les discontinuïtats Calcular el valor d'un paràmetre perquè una funció a trossos sigui contínua Demostrar amb el teorema de Bolzano que una equació f(x) = k té solució en un interval, justificant-ne les hipòtesis Localitzar una arrel en un interval de longitud una dècima i demostrar que és única amb la monotonia PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 24 A les 7 h la temperatura era de 3 °C i a les 11 h, de 6 °C.

Segur que en algun moment ha fet exactament 0 °C? Una funció és contínua en un punt quan la seva gràfica hi passa sense trencar-se: es pot dibuixar sense aixecar el llapis del paper. Aquesta idea intuïtiva té una definició precisa amb límits, i d'ella surt el teorema de Bolzano, que permet assegurar que una equació té solució sense resoldre-la. Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 24 ESQUEMA Continuïtat i derivades Continuïtat en un punt i en un interval DEFINICIÓ Una funció és contínua en si es compleixen tres condicions: 1. Existeix , és a dir, és del domini. 2. Existeix i és un nombre real. Això vol dir que els dos límits laterals coincideixen. 3.

El límit i el valor coincideixen: . Els límits laterals i el seu càlcul es treballen a «Funcions i límits — Límits de funcions i indeterminacions». Si falla qualsevol de les tres condicions, diem que és discontínua en . Una funció és contínua en un interval obert si ho és en tots els seus punts. En un interval tancat cal, a més, que als extrems coincideixin el límit lateral de dins i el valor: i . No cal comprovar les tres condicions punt per punt. Les funcions elementals són contínues a tot el seu domini (vegeu «Funcions i límits — Funcions elementals: tipus, domini i propietats»). Els polinomis i les exponencials ho són a tots els reals.

Una funció racional ho és a tots els punts excepte on s'anul·la Continuïtat Condicions, tipus de discontinuïtat i trossos Teorema de Bolzano Existència i localització d'arrels La derivada Pendent de la recta tangent Regles de derivació Derivar qualsevol funció elemental Recta tangent i normal Equació a partir de f i f' Aplicacions de la derivada Estudiar i optimitzar funcions Creixement i extrems Signe de f' 〰 Curvatura i inflexió Signe de f'' Càlcul de paràmetres Condicions traduïdes a equacions Estudi i gràfica Totes les eines juntes Optimització Màxims i mínims en problemes f x = a f(a) a lim f(x) x a lim f(x) = x a f(a) f a (a, b) [a, b] lim f(x) = x a+ f(a) lim f(x) = x b f(b) Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 25 el denominador.

Un logaritme ho és on el seu argument és positiu. Tipus de discontinuïtat Quan una funció no és contínua en un punt, la classifiquem segons el comportament dels límits laterals. Aquesta classificació diu com és el «trencament» de la gràfica. Tipus Què passa amb els límits Com es veu Evitable Existeix finit, però no existeix o és diferent del límit Un forat a la corba, o un punt desplaçat De salt finit Els dos límits laterals són finits però diferents La corba «salta» d'una altura a una altra Asimptòtica (salt infinit) Algun límit lateral és o Una asímptota vertical La discontinuïtat evitable rep aquest nom perquè es pot «arreglar»: n'hi ha prou de definir igual al límit.

En canvi, les altres dues no es poden arreglar canviant un sol valor. L'asímptota vertical s'estudia a «Funcions i límits — Asímptotes verticals, horitzontals i obliqües». Gràfiques de discontinuïtats de salt, evitable i asimptòtica A la primera gràfica, la funció s'acosta a 3 per l'esquerra de però val 1 a la dreta: és un salt finit. A la segona, la paràbola té un forat a : és evitable. A la tercera, la funció creix o decreix sense límit a prop d'una recta vertical: és asimptòtica. COMPROVA-HO 25 Quin tipus de discontinuïtat té a ? Com es podria fer contínua?

lim f(x) x a f(a) + f(a) x = 2 x = 2 f(x) = x 1 x 1 2 x = 1 Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 26 Continuïtat de funcions a trossos amb paràmetres Una funció a trossos (vegeu «Funcions i límits — Funcions a trossos i funció valor absolut») té una expressió diferent a cada interval. Si cada tros és una funció elemental contínua al seu interval, els únics punts dubtosos són els punts d'unió, on canvia l'expressió. Si la funció porta un paràmetre, triem el seu valor perquè els trossos «enganxin». EXEMPLE Busquem perquè sigui contínua a tots els reals. Els dos trossos són polinomis, continus a tot arreu. Només cal estudiar : Per l'esquerra: .

Per la dreta: , i també . Igualem: , d'on i . Amb aquest valor, els dos límits i valen 3. Amb qualsevol altre valor de , a hi ha un salt finit. ERROR FREQÜENT Calcular el límit per l'esquerra amb el tros que val per a . Cada límit lateral es calcula amb el tros del seu costat. A més, no n'hi ha prou que els límits laterals coincideixin: cal comprovar que també són iguals a . El teorema de Bolzano Imagina una corba que comença per sota de l'eix i acaba per sobre. Si no es trenca enlloc, en algun moment ha de travessar l'eix. Aquesta és la idea del teorema. DEFINICIÓ Teorema de Bolzano. Si és contínua a i , aleshores existeix almenys un amb .

Justifica que cada tros és continu al seu interval (polinomi, exponencial, racional sense zeros al denominador...). 1 Al punt d'unió , calcula el límit per l'esquerra amb el tros de l'esquerra i el límit per la dreta amb el tros de la dreta. 2 x = a Calcula amb el tros que inclou el signe o . 3 f(a) Iguala els tres valors i resol l'equació. Amb dos paràmetres i dos punts d'unió surt un sistema de dues equacions.

4 a f(x) = { ax + 1 x a 2 si x < 2 si x 2 x = 2 lim (ax + x 2 1) = 2a + 1 lim (x x 2+ 2 a) = 4 a f(2) = 4 a 2a + 1 = 4 a 3a = 3 a = 1 f(2) a x = 2 x a f(a) X f [a, b] f(a) f(b) < 0 c (a, b) f(c) = 0 Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 27 Esquema del teorema de Bolzano: canvi de signe i arrel c La condició és una manera curta de dir que i tenen signes diferents. El teorema té tres limitacions que convé saber: Diu que hi ha arrel, però no on és exactament: assegura que existeix, no quantes n'hi ha. Les hipòtesis són necessàries. Per exemple, canvia de signe a però no s'anul·la mai, perquè no és contínua a .

El recíproc és fals: s'anul·la a sense canviar de signe. EXEMPLE Provem que té alguna solució a . Sigui . És un polinomi, per tant és contínua a i, en particular, a . A més, i . Pel teorema de Bolzano, existeix amb . Si el que es demana és que prengui un valor , s'aplica Bolzano a la funció auxiliar . Per exemple, per veure que val 5 en algun punt de , prenem . Tenim i , i és contínua. Per tant, existeix amb , és a dir, . Per al f(a) f(b) < 0 f(a) f(b) f(x) = x 1 [ 1, 1] x = 0 f(x) = x2 x = 0 Escriu l'equació en la forma i defineix . 1 f(x) = 0 f Justifica que és contínua a , dient per què. 2 f [a, b] Calcula i i comprova que tenen signes contraris.

3 f(a) f(b) Conclou citant el teorema: existeix amb . 4 c (a, b) f(c) = 0 x + 3 x 1 = 0 (0, 1) f(x) = x + 3 x 1 R [0, 1] f(0) = 1 < 0 f(1) = 1 > 0 c (0, 1) f(c) = 0 f k g(x) = f(x) k f(x) = x + 3 2x (1, 2) g(x) = x + 3 2x 5 g(1) = 2 g(2) = 7 g c g(c) = 0 f(c) = 5 Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 28 tall de dues corbes s'aplica a . ERROR FREQÜENT Calcular i i concloure directament que hi ha arrel. Sense justificar que f és contínua a tot l'interval, el teorema no es pot aplicar i la resposta perd punts. Si és racional, comprova que el denominador no s'anul·la dins de . COMPROVA-HO 26 Si és contínua i , podem afirmar que no té cap arrel a ?

Localitzar l'arrel i comprovar que és única El mètode de bisecció fa servir Bolzano repetidament per acostar-se a l'arrel. Es pren el punt mitjà de l'interval i es mira el signe de . Ens quedem amb la meitat on hi ha canvi de signe. A cada pas, la longitud de l'interval es divideix per 2. EXEMPLE Continuem amb a : : l'arrel és a . : és a . : és a . : és a , de longitud menor que una dècima. Si es demana un interval de longitud una dècima, també es pot avaluar a les dècimes: i . Per tant, l'arrel és a . Bolzano no diu quantes arrels hi ha. Per demostrar que n'hi ha una de sola, s'afegeix la monotonia (vegeu «Aplicacions de la derivada — Creixement, decreixement i extrems relatius»).

Si a més és estrictament monòtona a , l'arrel és única: una funció que sempre puja no pot tallar l'eix dues vegades. N'hi ha prou que tingui signe constant. A l'exemple, per a tot , així que és creixent i l'arrel de és única. COMPROVA-HO 27 Partint d'un interval de longitud 1, quants passos de bisecció calen com a mínim per tenir un interval de longitud menor que 0,1?

f(x) = h(x) f h f(a) f(b) f [a, b] f f(a) f(b) > 0 f (a, b) f f(x) = x + 3 x 1 [0, 1] f(0,5) = 0,375 < 0 [0,5; 1] f(0,75) 0,17 > 0 [0,5; 0,75] f(0,625) 0,13 < 0 [0,625; 0,75] f(0,6875) 0,01 > 0 [0,625; 0,6875] f(0,6) = 0,184 f(0,7) = 0,043 (0,6; 0,7) f [a, b] f f (x) = 3x + 2 1 > 0 x f (0, 1) Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 29 IDEES CLAU és contínua en si existeix , existeix el límit i . Les discontinuïtats poden ser evitables (forat), de salt finit (límits laterals diferents) o asimptòtiques (algun límit lateral infinit). En una funció a trossos amb paràmetres, s'igualen als punts d'unió els dos límits laterals i el valor de la funció.

Bolzano: si és contínua a i , hi ha almenys un amb . Per veure que té solució s'aplica Bolzano a . La bisecció localitza l'arrel; la monotonia ( de signe constant) en garanteix la unicitat. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 28. Quina diferència hi ha entre una discontinuïtat de salt finit i una d'asimptòtica? 29. Com demostraries que l'equació té solució a ? 30. Per què Bolzano no garanteix que l'arrel sigui única? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 31. Quin és el domini de f(x) = ln(x 1)? 32. Respecte de què és simètrica la gràfica d'una funció senar? 33. Quin és el període de f(x) = 2·sin(3x) 1? 34. On talla l'eix OX la funció f(x) = eˣ 1? 35.

f(x) = x + 1 si x < 2 i 3x si x 2. Quant val f(2)? f x = a f(a) lim f(x) = x a f(a) f [a, b] f(a) f(b) < 0 c (a, b) f(c) = 0 f(x) = k g(x) = f(x) k f e = x 3 (0, 2) {1} a) [1, + ) b) (1, + ) c) (0, + ) d) Respecte de l'eix OY a) Respecte de l'origen b) Respecte de l'eix OX c) Respecte de la recta y = x d) 6π a) π/3 b) 2π/3 c) 2π d) No el talla a) En x = e b) En x = 0 c) En x = 1 d) 5 a) No existeix b) 6 c) 3 d) Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 30 36. Què indica un punt buit a l'extrem d'un tros? 37. On és negativa x² 4, per escriure "x² 4" a trossos? 38. Què passa amb f(x) = "x" a x = 0? 39. Quin d'aquests resultats NO és una indeterminació? 40.

Si els límits laterals en x = 2 valen 3 i 5, el límit en x = 2... 41. Quant val el límit a + de (2x² + 1)/(4x² x)? 42. Quina funció creix més de pressa quan x tendeix a + ? 43. Una racional té numerador de grau 3 i denominador de grau 2. Quina asímptota té a ± ? 44. Quina asímptota horitzontal té f(x) = (eˣ + 1)/(2eˣ 5) quan x + ? 45. Si f(x) (mx + n) < 0 per a x molt gran, la corba... 46. Quina asímptota vertical té ln x / x?

Que l'extrem no pertany al tros a) Que la funció hi és derivable b) Que hi ha una asímptota c) Que la funció hi val zero d) Per a x < 2 a) Per a tot x real b) Per a x > 2 c) Entre 2 i 2 d) No és contínua ni derivable a) És contínua però no derivable b) És derivable però no contínua c) És contínua i derivable d) 0/0 a) k/0 amb k 0 b) 1^ c) d) Val 5 a) No existeix b) Val 4 c) Val 3 d) 2 a) 1/2 b) + c) 0 d) x³ + x² a) x¹ b) ln x c) 2ˣ d) Horitzontal no nul·la a) Obliqua b) Cap ni una c) Horitzontal y = 0 d) y = 2 a) y = 0 b) y = 1/2 c) y = 5 d) Va per sota a) Talla l'asímptota b) Va per sobre c) No té asímptota d) x = 1 a) y = 0 b) x = 0 c) No en té d) Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 31 47.

Si el límit en a existeix però f(a) no, quina discontinuïtat hi ha? 48. Què falta per aplicar Bolzano si f(a) < 0 i f(b) > 0? 49. f és contínua a [a, b] i f(a)·f(b) < 0. Què podem assegurar? 50. Per veure que f(x) = 4 té solució, a quina funció s'aplica Bolzano?

De salt infinit a) Evitable b) Asimptòtica c) De salt finit d) Justificar que f és contínua a [a, b] a) Que f sigui derivable a (a, b) b) Que f sigui creixent a [a, b] c) Que f(a) i f(b) siguin enters d) Almenys una arrel a (a, b) a) Exactament una arrel a (a, b) b) Una arrel al punt mitjà c) Cap arrel a (a, b) d) g(x) = f(x) / 4 a) g(x) = 4·f(x) b) g(x) = f(x) + 4 c) g(x) = f(x) 4 d) Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 32 6 La derivada: definició,interpretació geomètrica i derivabilitat EN ACABAR SABRÀS Calcular la taxa de variació mitjana d'una funció en un interval Calcular la derivada d'una funció en un punt aplicant la definició com a límit Interpretar la derivada com a pendent de la recta tangent Estudiar la derivabilitat d'una funció a trossos o amb valor absolut PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 51 El velocímetre d'un cotxe marca 90 km/h.

Si en una hora has fet 60 km, com pot marcar una velocitat diferent? Taxa de variació mitjana Abans de mesurar com canvia una funció en un punt, mesurem com canvia en un interval. La taxa de variació mitjana compara l'augment de la funció amb l'augment de la variable: És el canvi mitjà de per cada unitat que avança . Si és positiva, la funció ha pujat en conjunt; si és negativa, ha baixat. Com més gran en valor absolut, més ràpid ha canviat. Geomètricament, la TVM és el pendent de la recta secant: la recta que passa pels punts i de la gràfica. EXEMPLE Per a a l'interval : . De mitjana, la funció puja 4 unitats per cada unitat de .

Derivades 6 La derivada: definició, interpretació geomètrica i derivabilitat 7 Regles de derivació 8 Recta tangent i recta normal TV M[a, b] = b a f(b) f(a) f x (a, f(a)) (b, f(b)) f(x) = x2 [1, 3] TV M = = 3 1 9 1 4 x Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 33 La derivada en un punt Ara encongim l'interval: el prenem de a i fem que s'acosti a 0. El que surt és la rapidesa de canvi just al punt , la taxa de variació instantània. DEFINICIÓ La derivada de en és el límit, si existeix i és finit: Si escrivim , la mateixa definició queda . En substituir sempre surt .

És normal: s'ha de simplificar abans de fer el límit (vegeu «Funcions i límits — Límits de funcions i indeterminacions»). EXEMPLE Derivada de en , per definició. Comprovació numèrica: amb , la TVM a val , molt a prop d'1. El valor diu quant canvia prop de : un petit augment de fa variar unes vegades més. El signe també informa: Signe Què fa la funció a prop de Creix Decreix Ni creix ni decreix: tangent horitzontal Interpretació geomètrica Quan , el segon punt de la secant s'acosta al primer. Les secants giren i acaben confonent-se amb la recta tangent a la gràfica en .

Per tant, la derivada és el pendent de la tangent: Aquí és l'angle que forma la tangent amb la part positiva de l'eix d'abscisses. A l'exemple, , així que la tangent forma 45° amb l'eix. L'equació d'aquesta recta, , es treballa a «Derivades — Recta tangent i recta normal». a a + h h a f x = a f (a) = h 0 lim h f(a + h) f(a) x = a + h f (a) = lim x a x a f(x) f(a) h = 0 0 0 h f(x) = x 2 3x x = 2 Valor al punt: . 1 f(2) = 4 6 = 2 Valor desplaçat: . 2 f(2 + h) = (2 + h) 2 3(2 + h) = h + 2 h 2 Diferència: . 3 f(2 + h) f(2) = h + 2 h Dividim i simplifiquem: . 4 = h h +h 2 = h h(h+1) h + 1 Límit: .

5 f (2) = lim (h + h 0 1) = 1 h = 0,1 [2; 2,1] = 0,1 0,11 1,1 f (a) f a x f f (a) a f (a) > 0 f (a) < 0 f (a) = 0 h 0 (a, f(a)) m = f (a) = tan α α f (2) = 1 y f(a) = f (a)(x a) Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 34 COMPROVA-HO 52 La TVM de a val 5. Què pots dir, aproximadament, de ? La funció derivada Si fem el límit en un punt qualsevol , en lloc d'un punt fix, obtenim la funció derivada . Dona el pendent de la tangent a cada punt. EXEMPLE Per a : . En el límit, . Ara qualsevol pendent surt substituint: , com abans. La tangent és horitzontal on , és a dir, a . Distingeix bé les dues coses. és un nombre: el pendent en un sol punt.

és una funció: la regla que dona tots els pendents. A la pràctica, no es calcula per definició, sinó amb la taula de derivades (vegeu «Derivades — Regles de derivació»). Continuïtat i derivabilitat Una funció és derivable en si existeix . La relació amb la continuïtat (vegeu «Funcions i límits — Continuïtat i teorema de Bolzano») és d'una sola direcció: Si és derivable, és contínua; el recíproc és fals. Si la funció té un salt o un forat, no hi ha tangent possible. Per exemple, no està definida a i no hi pot ser derivable. En canvi, una funció contínua pot no ser derivable. Hi ha dos casos típics: Punt angulós: la gràfica fa una punta i el pendent a l'esquerra és diferent del de la dreta.

És el cas de a . Tangent vertical: el pendent es fa infinit. A en , el quocient val . Derivades laterals i funcions a trossos Les derivades laterals i són el límit de la definició quan s'acosta a 0 només per l'esquerra o només per la dreta. Com tot límit, la derivada existeix si les dues coincideixen. A una funció a trossos (vegeu «Funcions i límits — Funcions a trossos i funció valor absolut»), el punt dubtós és el canvi de tros . És derivable al punt de canvi si és contínua i les derivades laterals són iguals. Si els trossos són polinomis i la funció és contínua, cada derivada lateral és el valor de la derivada del seu tros a .

f [1; 1,01] f (1) x f (x) f(x) = x 2 3x = h (x+h) 3(x+h) (x 3x) 2 2 = h 2xh+h 3h 2 2x + h 3 f (x) = 2x 3 f (2) = 1 2x 3 = 0 x = 2 3 f (a) f (x) f (x) a f (a) f(x) = x 4 x = 0 x x = 0 f(x) = 3 x x = 0 = h 3 h 3 h2 1 + f (a ) f (a ) + h a a Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 35 PROCÉS Derivabilitat d'una funció a trossos EXEMPLE Derivable. . Continuïtat: els dos límits laterals valen 1 i . Derivades: i . Són iguals: és derivable i . No derivable, tot i ser contínua. . És contínua a 0, perquè els dos límits i valen 0. Però : hi ha un punt angulós. No contínua. . Els límits laterals a 1 són 3 i 1.

Té un salt, així que no és derivable i ja no cal calcular res més. ERROR FREQÜENT Comparar les derivades laterals sense haver comprovat abans la continuïtat. Mira : les dues derivades valen 2, però a hi ha un salt de 2 a 5. No és derivable. Escriu sempre la continuïtat com a primer pas. COMPROVA-HO 53 Una funció a trossos és contínua a , amb . És derivable a ? I si fos ?

Punt de canvi Localitza el valor x = a on canvia la fórmula 1 Continuïtat Límits laterals iguals a f(a); si no, no és derivable 2 Derivar cada tros Calcula la derivada de cada fórmula per separat 3 Derivades laterals Avalua cada derivada a x = a: f'(a ) i f'(a ) 4 Conclusió Iguals: derivable; diferents: punt angulós 5 f(x) = { x2 2x 1 x < 1 x 1 f(1) = 1 f (1 ) = 2 1 = 2 f (1 ) = + 2 f (1) = 2 x = { x x x < 0 x 0 f(0) f (0 ) = 1 = f (0 ) = + 1 f(x) = { x + 2 x2 x < 1 x 1 f(x) = { 2x 2x + 3 x < 1 x 1 x = 1 x = 2 f (2 ) = f (2 ) = + 3 x = 2 f (2 ) = + 4 Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 36 Paràmetres perquè una funció a trossos sigui contínua i derivable Si la funció porta dos paràmetres, al punt de canvi hi ha dues condicions i cadascuna dona una equació.

La continuïtat iguala els valors dels dos trossos. La derivabilitat iguala les derivades dels dos trossos en aquell punt. Amb les dues equacions es troben els dos paràmetres. EXEMPLE Busquem i perquè sigui contínua i derivable a tots els reals. La recta és justament la tangent a la paràbola a : el segon tros continua la corba sense fer cap punta. ERROR FREQÜENT Imposar només que les derivades laterals coincideixin. Sense l'equació de la continuïtat queda una sola condició per a dues incògnites, i la funció trobada pot tenir un salt. Escriu les dues condicions, en aquest ordre: primer continuïtat, després derivabilitat.

COMPROVA-HO 54 Amb la mateixa funció, si només es demanés que fos contínua, quants valors de i hi hauria? IDEES CLAU La TVM és el canvi mitjà de la funció i el pendent de la recta secant. La derivada és la taxa de variació instantània. és el pendent de la recta tangent: . és un nombre; és una funció que dona el pendent a cada punt. Derivable implica contínua, però no al revés: és contínua i no derivable a 0. Una funció a trossos és derivable al punt de canvi si és contínua i les derivades laterals coincideixen. a b f(x) = { x2 ax + b x < 2 x 2 Els dos trossos són polinomis, continus i derivables al seu interval. Només cal estudiar . 1 x = 2 Continuïtat: i . Cal .

2 lim x = x 2 2 4 f(2) = 2a + b 2a + b = 4 Derivabilitat: les derivades dels trossos són i . A , i . Cal . 3 2x a x = 2 f (2 ) = 4 f (2 ) = + a a = 4 Substituint a la primera equació: , d'on . La funció és si i si . 4 8 + b = 4 b = 4 x2 x < 2 4x 4 x 2 y = 4x 4 y = x2 x = 2 a b b a f(b) f(a) f (a) = lim h 0 h f(a+h) f(a) f (a) m = f (a) = tan α f (a) f (x) x Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 37 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 55. Calcula la TVM de a l'interval . 56. Si , la funció creix o decreix a prop de ? 57. Per què no és derivable a si és contínua?

DERIVADES 7 Regles de derivació EN ACABAR SABRÀS Derivar productes i quocients aplicant bé l'ordre i els signes de la fórmula Aplicar la regla de la cadena a funcions compostes de dues o tres capes Derivar funcions amb la variable a la base i a l'exponent per derivació logarítmica Calcular derivades segona, tercera i enèsima simplificant cada resultat PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 58 Si coneixes la derivada de sin x i la de x², pots deduir la de sin(x²) sense fer cap límit? Calcular una derivada amb la definició, és a dir, amb el límit del quocient incremental, és llarg (vegeu «Derivades — La derivada: definició, interpretació geomètrica i derivabilitat»).

Per exemple, per a el límit dona , i per a dona . Repetint el càlcul amb cada funció s'obté una taula de resultats i unes regles per combinar-los. Amb això es pot derivar qualsevol funció sense tornar a fer límits. Regles d'operació: suma, producte i quocient Les funcions complicades es construeixen sumant, multiplicant i dividint funcions simples. Cada operació té la seva regla: Operació Regla Com es llegeix Suma o resta Es deriva cada terme per separat. Nombre per funció La constant es queda multiplicant. Producte Derivada de la primera per la segona, més la primera per la derivada de la segona. Quocient Com el producte, però amb una resta i dividint pel denominador al quadrat.

f(x) = x3 [0, 2] f (3) = 2 x = 3 f(x) = 3 x x = 0 f(x) = x2 2x x3 3x2 (f ± g) = f ± g (k f) = k f (f g) = f g + f g = (g f ) g2 f g f g Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat 38 La derivada d'un producte no és el producte de les derivades. Cada factor es deriva per torns mentre l'altre es manté igual. EXEMPLE Producte. . Els factors són i : . Amb passa igual, i el segon terme se simplifica: . Quocient. . El numerador té derivada i el denominador, 1: El numerador es desenvolupa i se simplifica. El denominador es deixa com a quadrat, perquè així es veu on s'anul·la. ERROR FREQÜENT Al quocient, elevar al quadrat també el numerador o canviar l'ordre de la resta.

Només el denominador va al quadrat, i primer va : si es gira, el resultat surt amb el signe canviat. Un altre error és oblidar el parèntesi a , que ha de canviar el signe de tots els termes. COMPROVA-HO 59 Deriva i simplifica. Taula de derivades i regla de la cadena Una funció composta és una funció aplicada al resultat d'una altra. A , primer es calcula , que és la funció interior. Després s'hi aplica l'exponencial, que és la funció exterior. La regla de la cadena diu com es deriva: Es deriva l'exterior deixant l'interior intacte i es multiplica per la derivada de l'interior.

La idea intuïtiva: si l'interior canvia dues vegades més de pressa que , el resultat final també canvia el doble de pressa. Amb tres…