Derivades i Aplicacions - 2n Batxillerat

Taxa de Variació Mitjana

Derivada d'una Funció en un Punt

Flashcards

Quina és la definició de la derivada d'una funció en un punt?

La derivada de la funció f(x) en el punt x = a es defineix com: f'(a) = lim h→0 [f(a + h) – f(a)] / h.

Amb què coincideix geomètricament la derivada d'una funció en un punt?

La derivada d'una funció f(x) en el punt x = a coincideix amb el pendent de la recta tangent a f(x) en el punt x = a.

Com es coneix la taxa de variació quan l'interval d'estudi es redueix a un punt?

La Taxa de variació instantània d'una funció en un punt, o derivada d'una funció en un punt.

Què succeeix amb el valor de 'h' en l'interval [a, a + h] quan s'estudia la Taxa de variació instantània?

El valor de 'h' es fa cada cop més petit, tendint a zero.

Preguntes tipus test

1. Quin concepte és també conegut com a 'Taxa de variació instantània'?
   • a) Taxa de variació mitjana
   • b) Pendent de la recta secant
   • c) Derivada d'una funció en un punt
   • d) Funció derivada

   Resposta: c) Derivada d'una funció en un punt. La 'Taxa de variació instantània d'una funció en un punt' és precisament el que es defineix com la derivada d'una funció en un punt. La Taxa de variació mitjana és el concepte previ que s'estudia en un interval.

2. A què tendeix 'h' en la definició del límit de la derivada d'una funció en un punt?
   • a) Infinit
   • b) 1
   • c) 0
   • d) El valor de 'a'

   Resposta: c) 0. La definició de la derivada d'una funció en un punt f'(a) = lim h→0 [f(a + h) – f(a)] / h, estableix clarament que 'h' tendeix a zero per obtenir la variació instantània.

3. Si l'interval [a, b] per a la TVM es representa com [a, a+h], què succeeix amb 'h' per trobar la taxa de variació instantània?
   • a) 'h' augmenta
   • b) 'h' s'aproxima a zero
   • c) 'h' es converteix en 'b'
   • d) 'h' es converteix en 'a'

   Resposta: b) 'h' s'aproxima a zero. Per passar de la Taxa de Variació Mitjana en un interval [a, a+h] a la Taxa de Variació Instantània (derivada), l'interval es redueix infinitament, la qual cosa significa que 'h' s'aproxima a zero.

Derivades de Funcions Elementals

Flashcards

Què és la funció derivada f'(x)?

Una funció que associa a cada punt x la derivada de f(x) en aquest punt.

Quina és la derivada d'una funció constant, f(x) = k?

f'(x) = 0

Quina és la derivada de f(x) = x?

f'(x) = 1

Quina és la derivada de f(x) = x^n?

f'(x) = nx^(n-1)

Preguntes tipus test

1. Quina de les següents afirmacions és correcta sobre la funció derivada f'(x)?
   • a) És un nombre real que representa el pendent de la recta tangent en un punt.
   • b) Associa a cada punt x la derivada de f(x) en aquest punt.
   • c) S'obté sempre substituint x per 0 en la funció original.
   • d) No té relació amb la taxa de variació instantània.

   Resposta: b) Associa a cada punt x la derivada de f(x) en aquest punt.. La funció derivada f'(x) és una funció que, per a cada valor de x, ens dona el valor de la derivada de f(x) en aquest punt. L'opció a) descriu la derivada en un punt, no la funció derivada.

2. Si f(x) = k (una constant), quina és la seva funció derivada f'(x)?
   • a) k
   • b) 1
   • c) x
   • d) 0

   Resposta: d) 0. La derivada de qualsevol funció constant és sempre zero, ja que el seu valor no canvia respecte a la variable x.

3. Quina és la derivada de f(x) = x^7?
   • a) 7x^6
   • b) x^6
   • c) 7x^7
   • d) 6x^7

   Resposta: a) 7x^6. Aplicant la regla de potències f(x) = x^n -> f'(x) = nx^(n-1), tenim que per n=7, la derivada és 7x^(7-1) = 7x^6.

Operacions amb Derivades

Flashcards

Com es calcula la derivada d'una suma o resta de funcions?

La derivada d'una suma o resta de funcions és la suma o resta de les derivades de cada funció: [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x).

Quina és la regla per derivar un nombre multiplicat per una funció?

La derivada de la multiplicació d'un nombre per una funció és el nombre multiplicat per la derivada de la funció: [k · f(x)]' = k · f'(x).

Explica la regla de la derivada d'una multiplicació de funcions.

La derivada d'una multiplicació de funcions és la derivada de la primera funció multiplicada per la segona sense derivar, més la primera funció sense derivar multiplicada per la derivada de la segona: [f(x) · g(x)]' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x).

Quina és la fórmula de la derivada d'un quocient de funcions?

La derivada d'un quocient de funcions és (f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)) / g(x)².

Preguntes tipus test

1. Donada la funció f(x) = x³ - x² + 2x + 1, quina és la seva derivada?
   • a) f'(x) = 3x² - 2x + 1
   • b) f'(x) = 3x² - 2x + 2
   • c) f'(x) = x² - x + 2
   • d) f'(x) = 3x² - 2x

   Resposta: b) f'(x) = 3x² - 2x + 2. La derivada d'una suma de funcions és la suma de les derivades. Per f(x) = x³ - x² + 2x + 1, la derivada de x³ és 3x², la de -x² és -2x, la de 2x és 2, i la d'una constant (1) és 0. Per tant, f'(x) = 3x² - 2x + 2.

2. Si f(x) = 5sin(x), quina és f'(x)?
   • a) f'(x) = cos(x)
   • b) f'(x) = 5sin(x)
   • c) f'(x) = 5cos(x)
   • d) f'(x) = 5xcos(x)

   Resposta: c) f'(x) = 5cos(x). Per la regla de la multiplicació d'un nombre per una funció, [k · f(x)]' = k · f'(x). Aquí k=5 i f(x)=sin(x). La derivada de sin(x) és cos(x). Per tant, la derivada és 5cos(x).

3. Calcula la derivada de la funció f(x) = x²eˣ.
   • a) f'(x) = 2xeˣ + x²eˣ
   • b) f'(x) = 2xeˣ
   • c) f'(x) = x²eˣ
   • d) f'(x) = (2x + x²)eˣ

   Resposta: a) f'(x) = 2xeˣ + x²eˣ. Aplicant la regla del producte [f(x) · g(x)]' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x), on f(x) = x² i g(x) = e^x. f'(x) = 2x i g'(x) = e^x. Per tant, f'(x) = 2x · e^x + x² · e^x.

Regla de la Cadena

Flashcards

Què és la regla de la cadena?

És el procediment que ens indica com fer la derivada d'una funció composta.

Quina és la fórmula general de la regla de la cadena?

Si y = f(g(x)), aleshores y' = f'(g(x)) g'(x).

Com es deriva una funció elevada a una potència usant la regla de la cadena?

La derivada de y = f(x)^n és y' = n f(x)^(n-1) f'(x).

Quina és la derivada d'un logaritme natural d'una funció segons la regla de la cadena?

La derivada de y = ln(f(x)) és y' = f'(x) / f(x).

Preguntes tipus test

1. Quina de les següents afirmacions descriu millor la regla de la cadena?
   • a) És el procediment per derivar funcions compostes.
   • b) És una regla per sumar derivades de funcions.
   • c) Serveix per trobar la derivada d'un producte de funcions.
   • d) Indica com calcular la derivada d'una funció en un punt específic.

   Resposta: a) És el procediment per derivar funcions compostes.. La regla de la cadena és el mètode específic per derivar funcions que són composicions d'altres funcions, com ara f(g(x)).

2. Si tenim una funció composta y = f(g(x)), quina és la seva derivada segons la regla de la cadena?
   • a) y' = f'(x) g'(x)
   • b) y' = f(g(x)) g'(x)
   • c) y' = f'(g(x)) g'(x)
   • d) y' = g'(f(x)) f'(x)

   Resposta: c) y' = f'(g(x)) g'(x). La fórmula general de la regla de la cadena per a y = f(g(x)) és y' = f'(g(x)) g'(x). L'opció 'c' representa correctament aquesta relació, on es deriva la funció exterior mantenint la funció interior, i després es multiplica pel resultat de derivar la funció interior.

3. Quina és la derivada de y = f(x)^n aplicant la regla de la cadena?
   • a) y' = n f(x)^(n-1)
   • b) y' = n f(x)^(n-1) f'(x)
   • c) y' = f'(x)^n
   • d) y' = n f'(x)^(n-1)

   Resposta: b) y' = n f(x)^(n-1) f'(x). Per derivar y = f(x)^n, s'aplica la regla de la potència amb la regla de la cadena: es baixa l'exponent (n), es resta 1 a l'exponent, i es multiplica per la derivada de la base (f'(x)), resultant en y' = n f(x)^(n-1) f'(x).

Recta Tangent

Flashcards

Què descriu la derivada d'una funció en un punt donat?

La derivada d'una funció en un punt donat descriu la millor aproximació lineal de la funció en aquest punt.

Què representa geomètricament la derivada d'una funció real d'una variable real en un punt?

Per a una funció real d'una variable real, la derivada en un punt és igual al pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció en aquest punt.

Quina és l'equació de la recta tangent a f(x) en el punt x = a?

L'equació és: y - f(a) = f'(a)(x - a).

En l'equació de la recta tangent, què representa f'(a)?

Representa el pendent de la recta tangent a la funció en el punt x = a.

Preguntes tipus test

1. Què representa la derivada de f(x) en x=a en termes d'aproximació lineal?
   • a) El pendent de la recta normal.
   • b) La millor aproximació lineal de la funció.
   • c) El punt de tall de la recta tangent amb l'eix y.
   • d) L'àrea sota la corba.

   Resposta: b) La millor aproximació lineal de la funció.. La derivada d'una funció en un punt descriu la millor aproximació lineal de la funció en aquest punt, cosa que és fonamental per entendre el seu comportament local.

2. Per a una funció real d'una variable real, quina és la interpretació geomètrica de la derivada en un punt?
   • a) El volum tancat per la funció.
   • b) La curvatura de la funció.
   • c) El pendent de la recta tangent en aquest punt.
   • d) El punt de tall de la funció amb l'eix y.

   Resposta: c) El pendent de la recta tangent en aquest punt.. Per a una funció real d'una variable real, la derivada en un punt és precisament el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció en aquell punt, que és la seva interpretació geomètrica principal.

3. Quina de les següents és l'equació correcta per a la recta tangent a f(x) en el punt x=a?
   • a) y = f'(a)x + f(a)
   • b) y - a = f(a)(x - f'(a))
   • c) y - f(a) = f'(a)(x - a)
   • d) y + f(a) = f'(a)(x + a)

   Resposta: c) y - f(a) = f'(a)(x - a). L'equació y - f(a) = f'(a)(x - a) és la fórmula estàndard per a la recta tangent, on f(a) és la coordenada y del punt de tangència i f'(a) és el pendent de la tangent.

Aplicacions de les Derivades: Extrems Relatius i Creixement

Flashcards

Quina condició ha de complir la primera derivada d'una funció per ser creixent en un punt?

Si la funció és creixent en un punt x = a, la seva derivada en aquest punt, f'(a), és major que zero (f'(a) > 0).

Quina condició ha de complir la primera derivada d'una funció per ser decreixent en un punt?

Si la funció és decreixent en un punt x = a, la seva derivada en aquest punt, f'(a), és menor que zero (f'(a) < 0).

Quina condició ha de complir la primera derivada d'una funció per presentar un extrem relatiu en un punt?

Una funció f(x) presenta un extrem relatiu a x = a si la seva primera derivada en aquest punt és igual a zero (f'(a) = 0).

Com es classifica un mínim relatiu utilitzant la primera i segona derivada?

Una funció f(x) té un mínim en un punt x = a si f'(a) = 0 i la seva segona derivada en aquest punt, f''(a), és major que zero (f''(a) > 0).

Preguntes tipus test

1. Quina condició necessària ha de complir una funció f(x) en un punt x = a per presentar un extrem relatiu?
   • a) La segona derivada és igual a zero.
   • b) La primera derivada és igual a zero.
   • c) La funció és creixent.
   • d) La funció és decreixent.

   Resposta: b) La primera derivada és igual a zero.. Un extrem relatiu es produeix en un punt on la primera derivada de la funció és igual a zero. Aquesta és la condició necessària per a l'existència d'un extrem relatiu.

2. Si per a una funció f(x), la seva primera derivada en un punt x = a és f'(a) > 0, què podem afirmar sobre el comportament de la funció en aquest punt?
   • a) La funció és creixent en x = a.
   • b) La funció és decreixent en x = a.
   • c) La funció té un màxim en x = a.
   • d) La funció té un mínim en x = a.

   Resposta: a) La funció és creixent en x = a.. Si la primera derivada f'(a) és major que zero, significa que la funció està augmentant el seu valor en aquest punt, és a dir, és creixent.

3. Quines condicions s'han de complir per tal que una funció f(x) tingui un mínim relatiu en un punt x = a?
   • a) f'(a) = 0 i f''(a) < 0.
   • b) f'(a) > 0 i f''(a) = 0.
   • c) f'(a) = 0 i f''(a) > 0.
   • d) f'(a) < 0 i f''(a) = 0.

   Resposta: c) f'(a) = 0 i f''(a) > 0.. Per classificar un mínim relatiu, la primera derivada ha de ser zero (f'(a) = 0) i la segona derivada ha de ser positiva (f''(a) > 0).

Punts d'Inflexió i Curvatura

Flashcards

Què significa que una funció sigui còncava en un punt?

Una funció f és còncava en un punt si la recta tangent a la gràfica de f en aquest punt està per sota de la gràfica.

Què significa que una funció sigui convexa en un punt?

Una funció f és convexa en un punt si la recta tangent a la gràfica de f en aquest punt està per sobre de la gràfica.

Quina condició ha de complir la segona derivada d'una funció per ser convexa en un interval?

Una funció és convexa en un interval [a, b] si la seva segona derivada, f''(x), és major que 0 (f''(x) > 0) per a qualsevol x en aquest interval.

Quina condició ha de complir la segona derivada d'una funció per ser còncava en un interval?

Una funció és còncava en un interval [a, b] si la seva segona derivada, f''(x), és menor que 0 (f''(x) < 0) per a qualsevol x en aquest interval.

Preguntes tipus test

1. Quina de les següents afirmacions defineix correctament una funció f com a còncava en un punt?
   • a) La recta tangent a la gràfica de f en aquest punt està per sota de la gràfica.
   • b) La recta tangent a la gràfica de f en aquest punt està per sobre de la gràfica.
   • c) La primera derivada de f en aquest punt és zero.
   • d) La segona derivada de f en aquest punt és positiva.

   Resposta: a) La recta tangent a la gràfica de f en aquest punt està per sota de la gràfica.. La definició de funció còncava en un punt estableix que la recta tangent a la gràfica de la funció en aquest punt es troba per sota de la gràfica.

2. Segons la definició, quina afirmació és certa sobre una funció f que és convexa en un punt?
   • a) La primera derivada de f en aquest punt és positiva.
   • b) La recta tangent a la gràfica de f en aquest punt està per sobre de la gràfica.
   • c) La segona derivada de f en aquest punt és negativa.
   • d) La funció canvia de creixent a decreixent en aquest punt.

   Resposta: b) La recta tangent a la gràfica de f en aquest punt està per sobre de la gràfica.. La definició de funció convexa en un punt estableix que la recta tangent a la gràfica de la funció en aquest punt es troba per sobre de la gràfica.

3. Quina condició ha de complir la segona derivada d'una funció per ser convexa en un interval [a, b]?
   • a) f'(x) > 0 per a qualsevol x.
   • b) f'(x) < 0 per a qualsevol x.
   • c) f''(x) > 0 per a qualsevol x.
   • d) f''(x) < 0 per a qualsevol x.

   Resposta: c) f''(x) > 0 per a qualsevol x.. Una funció és convexa en un interval si la seva segona derivada és major que 0 (f''(x) > 0) per a qualsevol x en aquest interval. Això indica que la funció s'està 'obrint' cap amunt.

Regla d'Hôpital

Flashcards

Quin és el propòsit principal de la Regla de l'Hôpital?

La Regla de l'Hôpital s'utilitza per resoldre indeterminacions en límits de quocients de funcions, com ara 0/0 o infinit/infinit, tot i que l'exemple del document només mostra 0/0.

Quina condició han de complir les funcions f i g per poder aplicar la Regla de l'Hôpital?

Les funcions f i g han de ser derivables en un interval al voltant de x0.

Quins han de ser els límits de f(x) i g(x) quan x s'apropa a x0 per aplicar la Regla de l'Hôpital?

Tant lim f(x) com lim g(x) han de ser 0 quan x s'apropa a x0 (o ambdós infinit, tot i que el document només especifica 0).

Enuncia la fórmula de la Regla de l'Hôpital.

lim (f(x)/g(x)) quan x s'apropa a x0 és igual a lim (f'(x)/g'(x)) quan x s'apropa a x0.

Preguntes tipus test

1. Quina és la condició principal per aplicar la Regla de l'Hôpital a lim f(x)/g(x) quan x s'apropa a x0?
   • a) Que lim f(x) = 1 i lim g(x) = 1.
   • b) Que lim f(x) = 0 i lim g(x) = 0.
   • c) Que f i g siguin contínues.
   • d) Que f(x) sigui més gran que g(x).

   Resposta: b) Que lim f(x) = 0 i lim g(x) = 0.. La Regla de l'Hôpital s'aplica específicament quan el límit del numerador i el denominador són ambdós 0 (o ambdós infinit), resultant en una indeterminació de tipus 0/0 o infinit/infinit. L'opció 'b' descriu la condició 0/0 que es mostra en el document.

2. Quin tipus de funcions han de ser f i g per poder aplicar la Regla de l'Hôpital?
   • a) Contínues.
   • b) Polinòmiques.
   • c) Derivables.
   • d) Exponencials.

   Resposta: c) Derivables.. Per poder aplicar la Regla de l'Hôpital, és una condició fonamental que ambdues funcions, f i g, siguin derivables en un interval al voltant del punt x0.

3. Si apliquem la Regla de l'Hôpital a un límit de la forma lim f(x)/g(x), quina expressió obtenim?
   • a) lim (f(x) * g(x))
   • b) lim (f'(x) * g'(x))
   • c) lim (f'(x) / g'(x))
   • d) lim (f(x) / g'(x))

   Resposta: c) lim (f'(x) / g'(x)). La Regla de l'Hôpital estableix que si es compleixen les condicions, el límit del quocient de les funcions és igual al límit del quocient de les seves respectives derivades: lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x)).

Asíntotes

Flashcards

Què és una asímptota?

És una recta a la qual la funció s'acosta a una distància que tendeix a zero.

Com es defineix una asímptota vertical?

Una funció f(x) té una asímptota vertical en x = c si el límit de f(x) quan x tendeix a c és infinit positiu o negatiu (lim f(x) = ±∞ quan x→c).

Quina és la condició per a l'existència d'una asímptota horitzontal?

Una funció f(x) té una asímptota horitzontal en y = c si el límit de f(x) quan x tendeix a infinit (positiu o negatiu) és un valor finit c (lim f(x) = c quan x→±∞).

Quina és la forma general de l'equació d'una asímptota obliqua?

Una asímptota obliqua té la forma y = mx + b.

Preguntes tipus test

1. Quina és la característica fonamental d'una asímptota?
   • a) És una recta a la qual la funció s'acosta a una distància que tendeix a zero.
   • b) És una recta que la funció sempre talla en un punt.
   • c) És una recta que delimita el domini de la funció.
   • d) És una recta on la funció té un extrem relatiu.

   Resposta: a) És una recta a la qual la funció s'acosta a una distància que tendeix a zero.. La característica fonamental d'una asímptota és que la funció s'hi acosta indefinidament, de manera que la distància entre la funció i la recta tendeix a zero.

2. Quina condició de límit defineix una asímptota vertical en x = c?
   • a) lim x→±∞ f(x) = c
   • b) lim x→c f(x) = 0
   • c) lim x→c f(x) = ±∞
   • d) lim x→0 f(x) = c

   Resposta: c) lim x→c f(x) = ±∞. Una asímptota vertical existeix en x = c si el límit de la funció quan x s'aproxima a c és infinit. Les altres opcions descriuen altres comportaments o tipus d'asímptotes.

3. Quina condició de límit defineix una asímptota horitzontal en y = c?
   • a) lim x→±∞ f(x) = c (on c és un nombre real finit)
   • b) lim x→c f(x) = ±∞
   • c) lim x→0 f(x) = ±∞
   • d) lim x→±∞ f(x) = ±∞

   Resposta: a) lim x→±∞ f(x) = c (on c és un nombre real finit). Una asímptota horitzontal existeix en y = c si el límit de la funció quan x tendeix a infinit (positiu o negatiu) és un valor finit c. Les altres opcions no corresponen a la definició d'asímptota horitzontal.

Anàlisi Qualitatiu d'una Funció

Flashcards

Quin és el propòsit fonamental de realitzar una anàlisi qualitativa d'una funció?

L'objectiu principal de l'anàlisi qualitatiu d'una funció és entendre el seu comportament i les seves característiques principals per poder dibuixar aproximadament la seva gràfica.

Quina informació crucial ens proporciona el domini de definició en l'anàlisi d'una funció?

El domini de definició ens indica per a quins valors de la variable independent (x) la funció existeix i està definida.

Per què és important localitzar els punts de discontinuïtat en l'estudi d'una funció?

Identificar els punts de discontinuïtat és essencial perquè ens mostren on la funció no és contínua i com es comporta (per exemple, si hi ha salts o asímptotes verticals) al voltant d'aquests punts.

Què s'investiga quan es parla del 'comportament a llarg termini' d'una funció?

El comportament a llarg termini d'una funció descriu el que succeeix amb els valors de la funció (y) quan la variable independent (x) tendeix a infinit positiu o negatiu. Sovint es relaciona amb l'existència d'asímptotes horitzontals o obliqües.

Preguntes tipus test

1. Quin dels següents elements NO forma part de la llista d'eines per a l'anàlisi qualitatiu d'una funció segons el temari?
   • a) Domini de definició
   • b) Punts de tall amb els eixos
   • c) Punts d'inflexió
   • d) Asímptotes

   Resposta: b) Punts de tall amb els eixos. La llista de l'anàlisi qualitatiu d'una funció inclou el domini, punts de discontinuïtat, comportament a llarg termini, comportament a prop de discontinuïtats, extrems de l'interval de definició, punts crítics (creixement/decreixement i classificació d'extrems), punts d'inflexió (curvatura) i asímptotes. Els punts de tall amb els eixos, tot i ser importants per a la gràfica, no s'enumeren explícitament com un dels 8 punts clau de l'anàlisi qualitatiu en el document.

2. Què indica que una funció té un màxim relatiu en un punt?
   • a) La primera derivada és negativa i la segona és positiva.
   • b) La primera derivada és zero i la funció canvia de creixent a decreixent.
   • c) La segona derivada és zero.
   • d) La funció és còncava en aquest punt.

   Resposta: b) La primera derivada és zero i la funció canvia de creixent a decreixent.. Un màxim relatiu es produeix en un punt on la primera derivada és zero i la funció canvia de ser creixent a ser decreixent. La segona derivada negativa en aquest punt també confirma que és un màxim.

3. Si la segona derivada d'una funció és positiva en un interval, què podem afirmar sobre la seva curvatura?
   • a) És còncava.
   • b) És convexa.
   • c) Té un punt d'inflexió.
   • d) És una recta.

   Resposta: b) És convexa.. Si la segona derivada d'una funció és positiva en un interval, això significa que la funció és convexa en aquest interval (és a dir, s'obre cap amunt, com una 'U').