Exámenes de Matemáticas II PAU Cataluña (2017-2024)

Este documento contiene los exámenes de Matemáticas II de las pruebas PAU de Cataluña desde 2017 hasta 2024, incluyendo las soluciones a las preguntas planteadas.

Matemáticas II · Selectividad (PAU Cataluña)

201 páginas · 17 temas · 70 flashcards · 49 preguntas tipo test

Índice

  1. Introducción · p. 2
  2. PAU Septiembre 2024 · p. 3-15
  3. PAU Junio 2024 · p. 16-28
  4. PAU Septiembre 2023 · p. 31-45
  5. PAU Junio 2023 · p. 46-57
  6. PAU Septiembre 2022 · p. 58-71
  7. PAU Junio 2022 · p. 72-84
  8. PAU Septiembre 2021 · p. 85-96
  9. PAU Junio 2021 · p. 97-112
  10. PAU Septiembre 2020 · p. 113-123
  11. PAU Julio 2020 · p. 124-135
  12. PAU Septiembre 2019 · p. 136-147
  13. PAU Junio 2019 · p. 148-157
  14. PAU Septiembre 2018 · p. 158-168
  15. PAU Junio 2018 · p. 169-179
  16. PAU Septiembre 2017 · p. 180-191
  17. PAU Junio 2017 · p. 190-201

Introducción

Flashcards

¿De qué años son los exámenes de Matemáticas II PAU de Cataluña incluidos en este documento?
Desde 2017 hasta 2024.
¿Quién es el redactor de las soluciones de los exámenes?
Juan Antonio Martínez García.
¿Además de los enunciados, qué más se incluye para cada examen?
Incluye la solución a las preguntas planteadas.
¿Cuál es el objetivo principal de recopilar estos exámenes y soluciones?
Para preparar el examen de Matemáticas II en las pruebas PAU de 2025.

Preguntas tipo test

  1. ¿Qué tipo de contenido principal se encuentra en este documento?
    • a) Solo exámenes de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales.
    • b) Exámenes de acceso a la universidad de toda España.
    • c) Exámenes de Matemáticas II de las PAU de Cataluña.
    • d) Ejercicios de repaso sin relación con las PAU.

    Respuesta: c) Exámenes de Matemáticas II de las PAU de Cataluña.. El documento indica claramente que contiene los exámenes de Matemáticas II propuestos en las pruebas PAU de Cataluña desde 2017 a 2024.

  2. ¿Cuál es la experiencia del redactor de las soluciones, Juan Antonio Martínez García?
    • a) Es un estudiante que recopiló los exámenes.
    • b) Ha sido profesor de matemáticas de secundaria.
    • c) Es un examinador de las pruebas PAU.
    • d) Es un matemático universitario.

    Respuesta: b) Ha sido profesor de matemáticas de secundaria.. El texto menciona que Juan Antonio Martínez García es el redactor de las soluciones y que ha sido profesor de matemáticas en distintos institutos de secundaria.

  3. ¿Cuál es la finalidad declarada de este material?
    • a) Proporcionar ejemplos de exámenes antiguos sin soluciones.
    • b) Ofrecer diferentes teorías matemáticas avanzadas.
    • c) Criticar el formato de los exámenes PAU.
    • d) Ayudar a preparar el examen de Matemáticas II de las PAU de 2025.

    Respuesta: d) Ayudar a preparar el examen de Matemáticas II de las PAU de 2025.. El documento establece que el contenido tiene como propósito ser útil para preparar el examen de Matemáticas II en las pruebas PAU de 2025 y ayudar a conseguir buenos resultados.

PAU Septiembre 2024

Flashcards

¿Qué función se analiza en el problema 1 de PAU Septiembre 2024?
La función f(x) = 3x¹³ + 5x³ + 2.
¿Cómo se justifica que la gráfica de f(x) corta el eje de abscisas en un punto del intervalo [-2, 0]?
Se aplica el Teorema de Bolzano, ya que la función es continua en el intervalo [-2, 0] y toma valores de distinto signo en sus extremos (f(-2) 0).
¿Cómo se clasifica el sistema de ecuaciones del problema 2 cuando el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo?
Para m ≠ 1 y m ≠ 2, el sistema es compatible determinado (una única solución).
¿Qué tipo de sistema resulta en el problema 2 cuando el parámetro m es igual a 1?
Para m = 1, el sistema es incompatible (sin solución), ya que el rango de la matriz de coeficientes es 2 y el de la matriz ampliada es 3.

Preguntas tipo test

  1. ¿Qué teorema se utiliza en el problema 1a para justificar la existencia de un punto de corte de la función con el eje de abscisas en un intervalo dado?
    • a) El Teorema de Bolzano.
    • b) El Teorema del Valor Medio.
    • c) El Teorema de Rolle.
    • d) La Regla de L'Hôpital.

    Respuesta: a) El Teorema de Bolzano.. Para justificar que la gráfica de la función corta el eje de abscisas en un intervalo, se aplica el Teorema de Bolzano. Este teorema requiere que la función sea continua en el intervalo cerrado y que tome valores de distinto signo en los extremos.

  2. Basándose en el estudio de crecimiento y decrecimiento, ¿cuántos puntos de corte tiene exactamente la gráfica de la función f(x) = 3x¹³ + 5x³ + 2 con el eje de abscisas?
    • a) Tiene dos puntos de corte.
    • b) No tiene puntos de corte.
    • c) Tiene un único punto de corte.
    • d) Tiene infinitos puntos de corte.

    Respuesta: c) Tiene un único punto de corte.. La primera derivada de la función f(x) = 3x¹³ + 5x³ + 2 es f'(x) = 39x¹² + 15x². Dado que x¹² y x² siempre son no negativos, y los coeficientes 39 y 15 son positivos, la suma 39x¹² + 15x² siempre será mayor o igual que cero para cualquier valor real de x. Por lo tanto, la función siempre es creciente o se mantiene constante en puntos aislados (si la derivada fuera cero, lo cual solo ocurre en x=0, pero la suma de potencias pares no permite que sea cero si x es distinto de cero). En general, se considera estrictamente creciente si la derivada es positiva excepto en puntos aislados. Esto implica que solo puede cortar el eje de abscisas una única vez.

  3. ¿Cuál es la solución del sistema de ecuaciones en el problema 2b para m = 0?
    • a) x = 11, y = 3, z = -7
    • b) x = -11, y = -3, z = 7
    • c) x = 0, y = 0, z = 0
    • d) El sistema es incompatible para m=0.

    Respuesta: b) x = -11, y = -3, z = 7. Para m=0, el sistema de ecuaciones se convierte en un sistema compatible determinado (como se discute en el problema 2a). Resolviendo el sistema para m=0, se obtiene la solución única x = -11, y = -3, z = 7.

PAU Junio 2024

Flashcards

¿Dónde tiene un punto crítico la función f(x) = 2 * ln(x) / x según el análisis de la derivada?
La función tiene un punto crítico en x = e.
¿Cuáles son las zonas de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = 2 * ln(x) / x?
La función crece en el intervalo (0, e) y decrece en (e, +∞).
¿Tiene asíntotas la función f(x) = 2 * ln(x) / x? En caso afirmativo, ¿cuáles son?
Sí, tiene una asíntota vertical en x = 0 y una asíntota horizontal en y = 0.
¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = 2 * ln(x) / x en el punto de abscisa x = 1?
La ecuación es y = 2x - 2.

Preguntas tipo test

  1. ¿Cuál es el valor de x donde la función f(x) = 2 * ln(x) / x tiene un punto crítico?
    • a) x = 1
    • b) x = 0
    • c) x = e
    • d) x = 2

    Respuesta: c) x = e. La derivada de la función es f'(x) = 2 * (1 - ln(x)) / x². Para encontrar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero: 1 - ln(x) = 0, lo que implica ln(x) = 1. La solución es x = e.

  2. ¿Qué tipo de extremo relativo presenta la función f(x) = 2 * ln(x) / x en su punto crítico?
    • a) Un mínimo relativo en x = e
    • b) No tiene máximos ni mínimos relativos
    • c) Un punto de inflexión en x = e
    • d) Un máximo relativo en x = e

    Respuesta: d) Un máximo relativo en x = e. La función tiene un punto crítico en x = e. Estudiando el signo de la derivada f'(x) = 2 * (1 - ln(x)) / x², vemos que para x 0), ln(x) 0 y f'(x) > 0 (creciente). Para x > e, ln(x) > 1, por lo que 1 - ln(x) < 0 y f'(x) < 0 (decreciente). Por lo tanto, en x = e hay un máximo relativo.

  3. ¿Cuáles son las asíntotas de la función f(x) = 2 * ln(x) / x?
    • a) x = 0 (vertical) e y = 0 (horizontal)
    • b) x = e (vertical) e y = 0 (horizontal)
    • c) x = 0 (vertical) e y = e (horizontal)
    • d) Solo asíntota vertical en x = 0

    Respuesta: a) x = 0 (vertical) e y = 0 (horizontal). Las asíntotas de la función f(x) = 2 * ln(x) / x se calculan estudiando los límites en los extremos del dominio (0, +∞). El límite cuando x tiende a 0+ es -∞, indicando una asíntota vertical en x = 0. El límite cuando x tiende a +∞ es 0, indicando una asíntota horizontal en y = 0.

PAU Septiembre 2023

Flashcards

¿Qué representa la matriz I en el contexto de matrices de orden dos?
La matriz identidad de orden dos, I = [[1, 0], [0, 1]].
¿Cómo se obtiene la matriz inversa de A a partir de la igualdad (A-2I)² = 3I?
Mediante la propiedad (A-2I)² = 3I, se puede despejar A⁻¹ = 4I - A.
¿Cómo se calcula la matriz X que satisface AX = B si se sabe que A⁻¹ = B?
Se calcula multiplicando la inversa de A (que es B) por la matriz B: X = A⁻¹B = BB.
¿Cuál es la derivada de la función f(x) = 1/x?
La derivada de f(x) = 1/x es f'(x) = -1/x².

Preguntas tipo test

  1. Dadas las matrices A = [[2, 1], [3, 2]] e I = [[1, 0], [0, 1]], ¿cuál de las siguientes igualdades es correcta?
    • a) (A-2I)² = A² - 4I
    • b) (A-2I)² = 4A - I
    • c) (A-2I)² = 3I
    • d) (A-2I)² = A² - 4A + 4I

    Respuesta: c) (A-2I)² = 3I. Para comprobar la igualdad (A-2I)² = 3I, se calcula A-2I, luego se multiplica esta matriz por sí misma y se compara el resultado con 3 veces la matriz identidad I. A-2I = [[2, 1], [3, 2]] - [[2, 0], [0, 2]] = [[0, 1], [3, 0]]. (A-2I)² = [[0, 1], [3, 0]] * [[0, 1], [3, 0]] = [[0*0+1*3, 0*1+1*0], [3*0+0*3, 3*1+0*0]] = [[3, 0], [0, 3]] = 3 * [[1, 0], [0, 1]] = 3I. Por lo tanto, la igualdad es correcta.

  2. Para el sistema de ecuaciones lineales dado, ¿para qué valor del parámetro m el sistema resulta incompatible?
    • a) m = 2
    • b) m = 0
    • c) m ≠ 0 y m ≠ 2
    • d) El sistema es siempre compatible

    Respuesta: a) m = 2. El sistema es incompatible cuando el rango de la matriz de coeficientes A es diferente del rango de la matriz ampliada A/B. El determinante de A es 2m² - 4m. det(A) = 0 para m=0 y m=2. Para m=0, el rango de A es 2 y el de A/B es 2 (compatible indeterminado). Para m=2, el rango de A es 2 y el de A/B es 3 (incompatible). Por lo tanto, el sistema es incompatible para m=2.

  3. Según el teorema de Bolzano, ¿qué condiciones son necesarias para justificar que una función f(x) = k tiene al menos una solución en un intervalo [a, b]?
    • a) La función es derivable en el intervalo.
    • b) La función es continua en el intervalo cerrado y cambia de signo en los extremos.
    • c) La función tiene un máximo o un mínimo en el intervalo.
    • d) El valor de la función en los extremos es cero.

    Respuesta: b) La función es continua en el intervalo cerrado y cambia de signo en los extremos.. El teorema de Bolzano establece que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] y los valores de la función en los extremos, f(a) y f(b), tienen signos opuestos (es decir, f(a) * f(b) < 0), entonces existe al menos un valor c en el intervalo abierto (a, b) tal que f(c) = 0. Para justificar que f(x)=2 tiene una solución, se considera la función g(x) = f(x) - 2 y se aplica Bolzano para encontrar una raíz de g(x) (donde g(x)=0, que implica f(x)=2). Las condiciones son continuidad de g(x) en el intervalo y g(-1) * g(0) < 0.

PAU Junio 2023

Flashcards

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la función f en el punto de inflexión (1,0) según el problema 1 de PAU Junio 2023?
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de inflexión (1, 0) es y = -3x + 3.
¿Dónde tiene un extremo relativo la función f según el problema 1 de PAU Junio 2023?
La función tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 0.
¿Qué significa que una matriz cuadrada sea idempotente según el problema 2 de PAU Junio 2023?
Una matriz cuadrada se denomina idempotente si coincide con su cuadrado (M² = M).
¿Qué condiciones deben satisfacer dos matrices C y D para que ambas sean idempotentes, según se deduce del problema 2 de PAU Junio 2023?
Se debe cumplir C·D = C y D·C = D.

Preguntas tipo test

  1. ¿Cuál combinación de condiciones permite calcular los coeficientes a, b, c, y d de la función polinómica f(x) = ax³ +bx² +cx+d en el problema 1 de PAU Junio 2023?
    • a) Tiene un extremo relativo en x=0, pasa por (1,0), la recta tangente en (1,0) tiene pendiente -3, y (1,0) es punto de inflexión.
    • b) Pasa por (0,3), tiene un extremo relativo en x=1, la recta tangente en (0,3) tiene pendiente -3, y (0,3) es punto de inflexión.
    • c) Tiene un extremo relativo en x=1, pasa por (1,0), la recta tangente en (1,0) tiene pendiente -3, y (0,0) es punto de inflexión.
    • d) Pasa por (1,0), tiene un extremo relativo en x=0, la recta tangente en (0,0) tiene pendiente -3, y (1,0) es punto de inflexión.

    Respuesta: a) Tiene un extremo relativo en x=0, pasa por (1,0), la recta tangente en (1,0) tiene pendiente -3, y (1,0) es punto de inflexión.. Según el problema 1, la función tiene un extremo relativo en x=0, lo que implica que la primera derivada evaluada en 0 es cero. Además, el punto (1,0) está en la gráfica de la función, por lo que f(1)=0. La recta tangente en el punto de inflexión (1,0) es y=-3x+3, lo que significa que f'(1) es la pendiente de esta recta en x=1, es decir, f'(1)=-3. Finalmente, (1,0) es un punto de inflexión, por lo que la segunda derivada en 1 es cero, f''(1)=0. Estas cuatro condiciones permiten calcular los coeficientes.

  2. Si dos matrices cuadradas C y D del mismo orden satisfacen C·D=C y D·C=D (problema 2 de PAU Junio 2023), ¿qué propiedad cumplen C y D?
    • a) Se debe cumplir C+D = C y D+C = D.
    • b) Se debe cumplir C·D = D y D·C = C.
    • c) Se debe cumplir C·D = C y D·C = D.
    • d) Se debe cumplir C+D = 0 y D+C = 0.

    Respuesta: c) Se debe cumplir C·D = C y D·C = D.. Para que dos matrices C y D sean idempotentes, deben cumplir C²=C y D²=D. El problema 2 establece que C·D=C y D·C=D. Si calculamos C² usando estas condiciones, obtenemos C² = C·C = (C·D)·C = C·(D·C) = C·D = C. De manera similar, D² = D·D = (D·C)·D = D·(C·D) = D·C = D. Por lo tanto, ambas matrices son idempotentes bajo las condiciones dadas.

  3. Dada la derivada f'(x) de una función f(x) en el problema 3 de PAU Junio 2023, ¿cómo se encuentra la expresión de f(x)?
    • a) f(x) se obtiene derivando f'(x).
    • b) f(x) se obtiene integrando f'(x).
    • c) f(x) es igual a f'(x).
    • d) f(x) se obtiene calculando el límite de f'(x).

    Respuesta: b) f(x) se obtiene integrando f'(x).. El problema 3 define la derivada f'(x) de la función f(x) por partes. Para x ≤ 2, f'(x) = x-1. Para x > 2, f'(x) = 1/(x-1). La función f(x) se obtiene integrando f'(x) en cada tramo y asegurando que f(x) sea continua y pase por el punto A=(0,3). La integral de x-1 es x²/2 - x + C₁, y la integral de 1/(x-1) es ln|x-1| + C₂.

PAU Septiembre 2022

Flashcards

¿Cómo se define la ecuación paramétrica de una recta en 3D?
La ecuación paramétrica de una recta en el espacio se define por un punto de paso (P) y un vector director (v), de la forma (x, y, z) = P + λv, donde λ es un parámetro real.
¿Qué relación existe entre el vector director de una recta y el vector normal de un plano si la recta es perpendicular al plano?
Si una recta es perpendicular a un plano, su vector director es paralelo al vector normal del plano. Por lo tanto, el vector normal del plano puede usarse como vector director de la recta.
¿Cómo se calcula el punto de intersección entre una recta y un plano?
El punto de intersección de una recta y un plano se encuentra sustituyendo las coordenadas genéricas de la recta (en función del parámetro λ) en la ecuación del plano y resolviendo para λ. Luego se sustituye el valor de λ en las ecuaciones de la recta.
¿Cuál es el dominio de una función racional?
El dominio de una función racional como f(x) = 9 / (x²+x-2) son todos los números reales excepto aquellos valores de x que anulan el denominador.

Preguntas tipo test

  1. ¿Cuál es el dominio de la función f(x) = 9 / (x²+x-2)?
    • a) R \ {-2}
    • b) R \ {1}
    • c) R \ {-2, 1}
    • d) R \ {2, -1}

    Respuesta: c) R \ {-2, 1}. El dominio de f(x) = 9 / (x²+x-2) son todos los reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Resolviendo x²+x-2=0 se obtiene (x+2)(x-1)=0, cuyas soluciones son x=-2 y x=1. Por lo tanto, el dominio es R \ {-2, 1}.

  2. ¿Qué asíntotas verticales tiene la función f(x) = 9 / (x²+x-2)?
    • a) x = -2
    • b) x = -2 y x = 1
    • c) y = 0
    • d) x = 1

    Respuesta: b) x = -2 y x = 1. Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es cero y el límite es infinito. El denominador x²+x-2 se anula para x=-2 y x=1. El numerador es 9 (no cero). Los límites en x=-2 y x=1 son infinitos, por lo tanto, x=-2 y x=1 son asíntotas verticales.

  3. ¿Qué asíntota horizontal tiene la función f(x) = 9 / (x²+x-2)?
    • a) y = 0
    • b) x = 0
    • c) y = 9
    • d) No tiene asíntota horizontal.

    Respuesta: a) y = 0. Para encontrar la asíntota horizontal, se calcula el límite de la función cuando x tiende a infinito. Límite(x->inf) de 9/(x²+x-2). Como el grado del denominador (2) es mayor que el grado del numerador (0), el límite es 0. Por lo tanto, y=0 es una asíntota horizontal.

PAU Junio 2022

Flashcards

¿Cómo se encuentra la expresión de una función f(x) si se conoce su derivada f'(x) y un punto por el que pasa la gráfica de f(x)?
Integrando la derivada f'(x) y usando el punto dado para encontrar la constante de integración.
¿Cuál es el procedimiento para calcular la abscisa de un punto de inflexión de una función f(x)?
Se calcula la segunda derivada f''(x), se iguala a cero para encontrar posibles puntos de inflexión, y se verifica que haya un cambio de signo en f''(x) alrededor de esos puntos.
¿Cómo se relaciona el signo de la segunda derivada f''(x) con la concavidad de la función f(x)?
Si f''(x) > 0, la función es convexa (cóncava hacia arriba). Si f''(x) < 0, la función es cóncava (cóncava hacia abajo).
¿Cómo se discute un sistema de ecuaciones lineales que depende de un parámetro real 'a'?
Para discutir un sistema lineal con un parámetro 'a', se analiza el determinante de la matriz de coeficientes (A). Si det(A) ≠ 0, el sistema es compatible determinado. Si det(A) = 0, se estudian los rangos de la matriz A y la matriz ampliada (A|B) usando métodos como Gauss o menores.

Preguntas tipo test

  1. Si f'(x) = 3x² – 12x es la derivada de una función f(x), ¿cuál es la forma general de f(x)?
    • a) f(x) = 6x - 12
    • b) f(x) = x³ - 6x² + C
    • c) f(x) = 3x³ - 12x² + C
    • d) f(x) = x² - 4x + C

    Respuesta: b) f(x) = x³ - 6x² + C. Para encontrar la función original f(x) a partir de su derivada f'(x), se debe calcular la integral indefinida de f'(x). La integración de 3x² - 12x es x³ - 6x² + C, donde C es la constante de integración.

  2. ¿Qué condición debe cumplir una función en un punto para que este sea un punto de inflexión?
    • a) La primera derivada f'(x) es cero.
    • b) La función f(x) alcanza un máximo o un mínimo.
    • c) La segunda derivada f''(x) es mayor que cero.
    • d) La segunda derivada f''(x) es cero y cambia de signo.

    Respuesta: d) La segunda derivada f''(x) es cero y cambia de signo.. Un punto de inflexión ocurre donde la concavidad de la función cambia. Esto sucede típicamente donde la segunda derivada es cero o indefinida, *y* donde la segunda derivada cambia de signo.

  3. ¿Qué condición en el determinante de la matriz de coeficientes asegura que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado?
    • a) El determinante de la matriz de coeficientes es cero.
    • b) El rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas.
    • c) El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.
    • d) El rango de la matriz ampliada es mayor que el rango de la matriz de coeficientes.

    Respuesta: c) El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.. Un sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado si tiene una única solución. Esto ocurre cuando el determinante de la matriz de coeficientes (A) es distinto de cero, ya que en ese caso el rango de A es igual al número de incógnitas.

PAU Septiembre 2021

PAU Junio 2021

PAU Septiembre 2020

PAU Julio 2020

PAU Septiembre 2019

PAU Junio 2019

PAU Septiembre 2018

PAU Junio 2018

PAU Septiembre 2017

PAU Junio 2017

Y 42 flashcards y 28 preguntas más en el documento.

Texto del documento

Matemáticas II PAU en Cataluña Años 2017 a 2024 WWW.EBAUMATEMATICAS.COM 2 de 201 www.ebaumatematicas.com Introducción Aquí tienes los exámenes de matemáticas II propuestos en las pruebas PAU de Cataluña desde el año 2017 al 2024. También se incluye la solución a las preguntas planteadas. La forma o formas de resolver los ejercicios es la que el autor ha elegido, pero pueden existir otras soluciones que sean igualmente válidas. Juan Antonio Martínez García es el redactor de estas soluciones. Ha sido profesor de matemáticas en distintos institutos de secundaria.

Espero que todo lo que aquí aparece os sea útil para preparar el examen de matemáticas II en las pruebas PAU de 2025 y os ayude a conseguir buenos resultados. En la web www.ebaumatematicas.com hay un banco de ejercicios de matemáticas II resueltos de otras comunidades autónomas de España, así como distintas formas de recopilar los ejercicios que aparecen en todas las pruebas, también existen unos apuntes de la materia.

PAU septiembre 2024...................................................................................................................................3 PAU junio 2024 ..........................................................................................................................................16 PAU septiembre 2023.................................................................................................................................31 PAU junio 2023 ..........................................................................................................................................46 PAU septiembre 2022.................................................................................................................................58 PAU junio 2022 ..........................................................................................................................................72 PAU septiembre 2021.................................................................................................................................85 PAU junio 2021 ..........................................................................................................................................97 PAU septiembre 2020...............................................................................................................................113 PAU julio 2020..........................................................................................................................................124 PAU septiembre 2019...............................................................................................................................136 PAU junio 2019 ........................................................................................................................................148 PAU septiembre 2018...............................................................................................................................158 PAU junio 2018 ........................................................................................................................................169 PAU septiembre 2017...............................................................................................................................180 PAU junio 2017 ........................................................................................................................................190 PAU septiembre 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 3 de 201 www.ebaumatematicas.com PAU septiembre 2024 Proves d'accés a la universitat Matemáticas Serie 3 Responda a CUATRO de las seis cuestiones siguientes.

En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2,5 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se permite el uso de calculadoras u otros aparatos que pueden almacenar datos o que pueden transmitir o recibir información. Puede utilizar las páginas en blanco (páginas 14 y 15) para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a alguna cuestión si necesita más espacio. En este último caso, debe indicarlo claramente al final de la página de la cuestión correspondiente. 1. Considere la función polinómica ( ) 13 3 3 5 2 f x x x = + + . a) Justifique que su gráfica corta el eje de abscisas en un punto del intervalo [–2, 0].

Dé un intervalo de longitud 0,5 donde se encuentre este punto de corte. [1.25 puntos] b) Estudie las zonas de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y los mínimos de ( ) y f x = . ¿Cuántos puntos de corte tiene exactamente la gráfica de esta función con el eje de abscisas? Justifique su respuesta. [1.25 puntos] 2. Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde m es un parámetro real. 3 2 2 3 2 x y mz x my z x y z m + = + + = + + = a) Discuta el sistema según el valor del parámetro m. [1.25 puntos] b) Encuentre la solución del sistema para m = 0. [0.5 puntos] c) Para m = 2, dé una solución (x, y, z) del sistema que, además, cumpla 5 x y = . [0,75 puntos] 3.

La clase de Èlia ha diseñado el siguiente logotipo para pintarlo en la pared del instituto: PAU septiembre 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 4 de 201 www.ebaumatematicas.com La curva que pasa por el punto A es y = f(x), con ( ) 3 2 4 4 f x x x x = + , y la que pasa por los puntos B, C =(3, 3) y D es y = g(x), con ( ) 2 1 4 2 x g x = + . a) Calcule las coordenadas de los puntos A, B y D. [0,75 puntos] b) Calcule el área de la zona punteada. [1,25 puntos] c) Los alumnos quieren pintar la parte punteada de color azul y la parte rayada de color rojo. Sabiendo que el área total del logotipo es 175 12 m2 , ¿de qué color necesitarán más pintura? [0,5 puntos] 4.

Se estima que el 20 % de los habitantes de una región padecen algún tipo de arritmia. Para diagnosticarla, existe la posibilidad de colocar al paciente un monitor Holter, que detecta la arritmia en un 95 % de los casos de personas que la padecen, pero que también da falsos positivos, por motivos eléctricos, en personas que no padecen arritmias en un 0,5 % de los casos. a) Si se escogen 4 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas padezca arritmias? [0,75 puntos] b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar obtenga un diagnóstico positivo de arritmia?

[0,75 puntos] c) Si una persona obtiene un diagnóstico negativo en la prueba del Holter, ¿cuál es la probabilidad de que realmente padezca arritmias? [1 punto] 5. Para cada punto (x, y) de la curva –2x y e = , con x > 0 e y > 0, considere el rectángulo con vértices en los puntos (0, 0), (x, 0), (0, y) y (x, y). a) Compruebe que, de entre todos estos rectángulos, el que tiene 1 2 x = es el de área máxima. ¿Cuál es el valor de esta área? [1,5 puntos] b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función –2x y e = en el punto de abscisa x = 0, y su punto de corte con el eje de abscisas. [1 punto] 6. Considere el punto P = (1, 3, 0) y el plano π de ecuación 2 – 2 –7 x y z + = .

a) Sea r la recta que es perpendicular a π y pasa por P. Calcule el punto de intersección de π con r. [1 punto] b) Calcule la distancia d del punto P al plano π. [0,5 puntos] c) Calcule la ecuación de otro plano π que sea paralelo a π y que también esté a distancia d de P. [1 punto] PAU septiembre 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 5 de 201 www.ebaumatematicas.com SOLUCIONES 1. Considere la función polinómica ( ) 13 3 3 5 2 f x x x = + + . a) Justifique que su gráfica corta el eje de abscisas en un punto del intervalo [–2, 0]. Dé un intervalo de longitud 0,5 donde se encuentre este punto de corte.

[1.25 puntos] b) Estudie las zonas de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y los mínimos de ( ) y f x = . ¿Cuántos puntos de corte tiene exactamente la gráfica de esta función con el eje de abscisas? Justifique su respuesta. [1.25 puntos] a) La función es continua en el intervalo [–2, 0] y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo. ( ) ( ) ( ) ( ) 13 3 13 3 2 3 2 5 2 2 24614 0 0 3·0 5·0 2 2 0 f f = + + = = + + = Podemos aplicar el teorema de Bolzano y afirmar que existe ( ) 2,0 c tal que ( ) 0 f c = . Buscamos un intervalo de menor amplitud que cumpla las condiciones del teorema de Bolzano.

Como el valor de la función para x = –2 es -24614 probamos con valores más cercanos a 0. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13 3 13 3 0.5 3 0.5 5 0.5 2 1.37 0 1 3· 1 5· 1 2 6 0 f f = + + = + + = Si consideramos el intervalo 1, 0.5 en dicho intervalo la función es continua y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo. Aplicando el teorema de Bolzano podemos afirmar que existe ( ) 1, 0.5 c tal que ( ) 0 f c = . b) Utilizamos la derivada para encontrar los puntos críticos de la función. ( ) ( ) 13 3 12 2 3 5 2 ´ 39 15 f x x x f x x x = + + = + Esta expresión de la derivada siempre es positiva pues las potencias son pares y se suman los resultados de dichas potencias.

Al ser la derivada siempre positiva la función siempre crece. La función no tiene máximos ni mínimos relativos. Puntos de corte de la función con el eje de abscisas hemos encontrado uno en el intervalo 1, 0.5 . Como la función es continua y siempre crece no hay ningún punto de corte más con el eje de abscisas. Existe un único punto de corte de la gráfica de la función y el eje de abscisas. PAU septiembre 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 6 de 201 www.ebaumatematicas.com 2. Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde m es un parámetro real. 3 2 2 3 2 x y mz x my z x y z m + = + + = + + = a) Discuta el sistema según el valor del parámetro m.

[1.25 puntos] b) Encuentre la solución del sistema para m = 0. [0.5 puntos] c) Para m = 2, dé una solución (x, y, z) del sistema que, además, cumpla 5 x y = . [0,75 puntos] a) Este sistema tiene la matriz de coeficientes 1 3 1 2 1 1 2 m A m = y la matriz ampliada 1 3 2 / 1 2 3 1 1 2 m A B m m = . Vemos cuando se anula el determinante de la matriz de coeficientes. ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 1 3 1 2 2 6 6 2 3 2 1 1 2 0 3 2 0 3 2 0 3 1 2 3 3 4 1 2 3 1 2 3 1 2 2 1 2 m A m m m m m m A m m m m m m m = = + + = + = + = + = + = = = = = = = Estudiamos tres casos diferentes. CASO 1. 1 m y 2 m .

En este caso el determinante de A es no nulo y su rango es 3, al igual que el rango de la matriz ampliada y el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado (una única solución). CASO 2. 1 m = En este caso el determinante de A es nulo y su rango no es 3. La matriz ampliada queda 1 3 1 2 / 1 1 2 3 1 1 2 1 A B = . Estudiamos el rango de A y A/B usando el método de Gauss.

PAU septiembre 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 7 de 201 www.ebaumatematicas.com Fila 3ª Fila 2ª 1 3 1 2 1 1 2 1 / 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 1 0 0 0 2 Nueva Fila 3ª A B = / Fila 2ª Fila 1ª 1 3 1 2 1 1 2 3 0 4 1 5 1 3 1 2 0 0 0 2 0 4 1 5 Nueva Fila 2ª A B A El rango de la matriz A es 2 y el de la matriz A/B es 3. Los rangos son distintos y el sistema es incompatible (sin solución). CASO 3. 2 m = En este caso el determinante de A es nulo y su rango no es 3. La matriz ampliada queda 1 3 2 2 / 1 2 2 3 1 1 2 2 A B = . Estudiamos el rango de A y A/B usando el método de Gauss.

Fila 3ª Fila 2ª 1 3 2 2 1 1 2 2 / 1 2 2 3 1 2 2 3 1 1 2 2 0 1 0 1 Nueva Fila 3ª A B = / Fila 2ª Fila 1ª 1 3 2 2 1 2 2 3 0 5 0 5 1 3 2 2 0 1 0 1 0 5 0 5 Nueva Fila 2ª Fila 2ª +5· Fila 3ª 1 3 2 2 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 Nueva Fila 3ª A B A El rango de la matriz A es 2, al igual que el de la matriz A/B, pero menor que el número de incógnitas (3). El sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). Resumiendo: Para 1 m y 2 m el sistema es compatible determinado, para 1 m = el sistema es incompatible y para 2 m = el sistema es compatible indeterminado. b) Para m = 0 el sistema tiene una única solución (caso 1). Lo resolvemos.

PAU septiembre 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 8 de 201 www.ebaumatematicas.com ( ) ( ) 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 0 2 0 2 0 3 2 5 3 2 5 3 2 4 5 3 4 2 2 2 2 4 2 3 3 11 3 14 2 2 4 3 14 7 2 x y x y y z x z x z y y z x y z x y z y z y z y y y y z z y x y z z = = + + + = + = + = + + + = + + = + + = + = + = + = = + = = = + = = = = = = La solución del sistema es x = –11, y = –3, z = 7. c) Resolvemos el sistema para m = 2. Es el caso 3 estudiado y el sistema tiene infinitas soluciones. Lo resolvemos partiendo del sistema equivalente obtenido en el estudio.

3 2 2 1 3 2 2 3 2 2 0 5 0 5 3 2 2 5 5 5 1 0 0 0 0 5 1 2 1 2 1 ; x y z x y z x z y y x x z y z + = + = + = = = = = = = = Para m = 2 las soluciones del sistema son 1 2 1 ; x y z = = = . Le añadimos la condición 5 x y = . Comprobamos si existe alguna solución que lo cumpla. 1 2 1 2 4 1 1 5 1 2 4 2 2 2 2 5 5 x x y y z z z z z z x y x = = = = = = = = = = = = = = = = Existe una solución que cumple lo pedido: x = 5, y =1, z = –2. PAU septiembre 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 9 de 201 www.ebaumatematicas.com 3.

La clase de Èlia ha diseñado el siguiente logotipo para pintarlo en la pared del instituto: La curva que pasa por el punto A es y = f(x), con ( ) 3 2 4 4 f x x x x = + , y la que pasa por los puntos B, C =(3, 3) y D es y = g(x), con ( ) 2 1 4 2 x g x = + . a) Calcule las coordenadas de los puntos A, B y D. [0,75 puntos] b) Calcule el área de la zona punteada. [1,25 puntos] c) Los alumnos quieren pintar la parte punteada de color azul y la parte rayada de color rojo. Sabiendo que el área total del logotipo es 175 12 m2 , ¿de qué color necesitarán más pintura? [0,5 puntos] a) El punto A es el punto de corte de la gráfica de la función y = f(x) con el eje OX.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 2 4 4 0 4 4 4 4 0 0 0 0,0 4 4 4 1 4 4 4 4 2 2,0 2 2 f x x x x x x x x x x EjeOX y x x x x A = + = + + = = = + = = = El punto B es el punto de corte de la gráfica de la función y = g(x) con el eje OY. ( ) ( ) 2 2 1 4 0 1 1 15 15 0 4 4 0, 2 2 4 4 4 0 x g x g B EjaOY x = + = + = + = = El punto D es el punto de corte de la gráfica de la función y = g(x) con el eje OX.

( ) ( ) 2 2 2 5 3No nos 1 4 1 1 0 4 4 2 2 2 0 1 4 5 ,0 1 s 4 2 2 1 v 4 ir e x g x x x x x EjaOX y x x D x = + = + = = = = = = = = PAU septiembre 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 10 de 201 www.ebaumatematicas.com Los puntos tienen coordenadas: ( ) 2,0 A , 15 0, 4 B y ( ) 5,0 D . b) El área de la zona punteada es el valor de la integral definida entre 0 y 3 de la diferencia entre las dos funciones: ( ) ( ) g x f x .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 0 0 0 3 4 2 3 2 3 2 3 2 4 3 2 0 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 1 4 4 4 4 4 2 1 16 4 16 16 4 15 14 15 4 4 4 15 14 15 4 15 1 1 4 4 2 1 4 1 1 5 7 15 3 5·3 7·3 15· 4 4 4 15 4 x g x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x g x x dx dx dx x x x x + + + + = + + + + + = + = = = = = = + = + + + + = + + ( ) ( ) 1 3 0 36 9 4 = = El área de la zona punteada es de 9 unidades cuadradas. c) Como el área del logotipo es 175 12 m2 y la zona punteada es de 9 m2 entonces la zona rayada tiene un área de 175 67 9 5.583 12 12 = m2 . Se quiere pintar la parte punteada de color azul (9 m2 ) y la parte rayada de color rojo ( 67 5.583 12 m2 ).

Como 9 5.583 se necesita más pintura de color azul. PAU septiembre 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 11 de 201 www.ebaumatematicas.com 4. Se estima que el 20 % de los habitantes de una región padecen algún tipo de arritmia. Para diagnosticarla, existe la posibilidad de colocar al paciente un monitor Holter, que detecta la arritmia en un 95 % de los casos de personas que la padecen, pero que también da falsos positivos, por motivos eléctricos, en personas que no padecen arritmias en un 0,5 % de los casos. a) Si se escogen 4 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas padezca arritmias?

[0,75 puntos] b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar obtenga un diagnóstico positivo de arritmia? [0,75 puntos] c) Si una persona obtiene un diagnóstico negativo en la prueba del Holter, ¿cuál es la probabilidad de que realmente padezca arritmias? [1 punto] Llamamos A al suceso "sufrir arritmia" y D al suceso "el monitor Holter detecta la arritmia". Por los datos proporcionados sabemos que ( ) ( ) ( ) 0.20, / 0.95, / 0.005 P A P D A P D A = = = . a) Consideramos la variable binomial que cuenta el número de personas que sufren arritmia de un grupo de 4. X = B(4, 0.2). Nos piden calcular ( ) 1 P X . Calculamos esta probabilidad usando el suceso contrario.

( ) ( ) 0 4 4 4 369 1 1 0 1 0.2 ·0.8 1 0.8 0.5904 0 625 P X P X = = = = = = La probabilidad de que al menos una de las 4 personas padezca arritmias es de 0.5904. b) Nos piden calcular ( ) P D . Aplicamos el teorema de la probabilidad total. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / 0.2·0.95 0.8·0.005 0.194 P D P A P D A P A P D A = + = + = La probabilidad de que una persona escogida al azar obtenga un diagnóstico positivo de arritmia es de 0.194. c) Nos piden calcular ( ) / P A D . Es una probabilidad a posteriori. Aplicamos el teorema de Bayes.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / 1 / / 1 1 0.2· 1 0.95 5 0.0124 1 0.194 403 P A D P A P D A P A P D A P A D P D P D P D = = = = = = La probabilidad de que una persona que ha dado negativo en la prueba de Holter realmente padezca arritmias tiene un valor aproximado de 0.0124. PAU septiembre 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 12 de 201 www.ebaumatematicas.com 5. Para cada punto (x, y) de la curva –2x y e = , con x > 0 e y > 0, considere el rectángulo con vértices en los puntos (0, 0), (x, 0), (0, y) y (x, y). a) Compruebe que, de entre todos estos rectángulos, el que tiene 1 2 x = es el de área máxima. ¿Cuál es el valor de esta área?

[1,5 puntos] b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función –2x y e = en el punto de abscisa x = 0, y su punto de corte con el eje de abscisas. [1 punto] a) Dibujamos la situación planteada. Obtenemos la expresión del área del rectángulo del dibujo: ( ) 2 · x A x x e = . Derivamos la función y obtenemos los valores donde se anula la derivada (puntos críticos). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ¡Imposibl 0 · ´ 2 1 2 ´ 0 1 2 0 1 1 2 0 e! 2 1 2 x x x x x x A x x e A x e x e x e e A x x e x x x = = + = = = = = = = Sustituimos el valor obtenido 1 2 x = en la segunda derivada para determinar si es un máximo de la función.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 ´ 1 2 ´´ 2 1 2 2 1 1 2 ´´ 2 1 2 2 2 0 0 2 2 x x x A x x e A x e x e A e e e e = = + = + = + = PAU septiembre 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 13 de 201 www.ebaumatematicas.com Como el signo de la segunda derivada es negativo la función presenta un máximo en 1 2 x = . Como 1 2 1 2 1 1 1 1 · 0.184 2 2 2 2 A e e e = = = el área máxima tiene un valor de 1 0.184 2e unidades cuadradas. b) La ecuación de la recta tangente a la función –2x y e = en el punto de abscisa x = 0 tiene la expresión ( ) ( )( ) 0 ´ 0 0 y y y x = .

( ) ( ) ( ) ( )( ) –2 0 2 0 ´ 0 ´ 0 1 ´ 2 0 2 2 0 1 2 1 2 0 x x y e y e y e y e y x y x y y y x = = = = = = = = = La ecuación de la recta tangente a la función –2x y e = en el punto de abscisa x = 0 es 1 2 y x = . Hallamos el punto de corte de la tangente con el eje de abscisas. 1 2 1 1 1 2 0 2 1 ,0 0 2 2 y x x x x P Ejedeabscisas y = = = = = El punto de corte de la tangente y el eje de abscisas es 1 ,0 2 P . PAU septiembre 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 14 de 201 www.ebaumatematicas.com 6. Considere el punto P = (1, 3, 0) y el plano π de ecuación 2 – 2 –7 x y z + = . a) Sea r la recta que es perpendicular a π y pasa por P.

Calcule el punto de intersección de π con r. [1 punto] b) Calcule la distancia d del punto P al plano π. [0,5 puntos] c) Calcule la ecuación de otro plano π que sea paralelo a π y que también esté a distancia d de P. [1 punto] a) Al ser la recta perpendicular al plano un vector director de la recta es el vector normal del plano. Determinamos la ecuación de la recta. ( ) ( ) ( ) : 2 – 2 –7 1,2, 2 1 1,2, 2 : 3 2 ; 1,3,0 2 r x y z n x v n r y P r z + = = = + = = = + = La recta r que es perpendicular a π y pasa por P tiene ecuación 1 : 3 2 ; 2 x r y z = + = + = . Hallamos el punto de corte de plano y recta.

( ) ( ) 1 : 3 2 1 2 3 2 2 2 7 2 : 2 – 2 –7 14 1 6 4 4 7 9 14 9 14 5 1 9 9 14 1 5 1 28 3 2 , , 9 9 9 9 9 14 28 2 9 9 x r y z x y z x y P z = + = + + + + = = + = + + + + = = = = = = + = = = El punto de corte de plano y recta es 5 1 28 , , 9 9 9 P . b) Calculamos la distancia pedida usando la fórmula de la distancia de un punto a un plano. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 2 – 2 7 0 1,3,0 2 1 2·3 ·0 7 14 14 , 4.667 3 9 1 2 2 d P unidades x y z P + + = = = = + + + + = PAU septiembre 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 15 de 201 www.ebaumatematicas.com La distancia del punto P al plano π tiene un valor 14 3 d = unidades.

c) Deseamos hallar un plano π´ paralelo a : 2 – 2 7 0 x y z + + = por lo que su ecuación será ´: 2 – 2 0 x y z D + + = . Debemos determinar el valor de D para que la distancia de π´ a P sea 14 3 d = . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ´: 2 – 2 0 1,3,0 : 2 – 2 7 0 7 14 2 7 1 1 2·3 – 2·0 14 ´, 3 1 2 2 14 ´, 3 7 14 7 14 7 14 3 3 ´: 2 2 21 0 D d P d P D D x y z D P x y z D D x y D D z + + = = + + = + = = + = + = + + = = + + = + = = + = El plano paralelo a π y que esté a distancia 14 3 de P tiene ecuación ´: 2 – 2 21 0 x y z + = .

PAU junio 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 16 de 201 www.ebaumatematicas.com PAU junio 2024 Proves d'accés a la universitat Matemáticas Serie 1 Responda a CUATRO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2,5 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se permite el uso de calculadoras u otros aparatos que pueden almacenar datos o que pueden transmitir o recibir información. Puede utilizar las páginas en blanco (páginas 14 y 15) para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a alguna cuestión si necesita más espacio.

En este último caso, debe indicarlo claramente al final de la página de la cuestión correspondiente. 2. Considere la función ( ) ln 2 x f x x = definida para 0 x . a) Estudie sus máximos y sus mínimos, y sus zonas de crecimiento y de decrecimiento. [1 punto] b) ¿Esta función tiene asíntotas? Haga un esbozo de su gráfica. [1 punto] c) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto de abscisa 1 x = . [0,5 puntos] 2. Considere el siguiente sistema de ecuaciones: 4 2 4 3 3 3 1 x y z x y kz x y + = + = + = donde k es un parámetro real. a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro k, y resuélvalo para k = 0.

[1 punto] b) Resuelva el sistema para k = –1. [0,75 puntos] c) Para k = –1, modifique la tercera ecuación de manera que el sistema resulte incompatible. Justifique la respuesta. [0,75 puntos] 3. Joan encuentra entre los papeles de su abuelo un esbozo como el de la figura adjunta, donde se describe un terreno de regadío que ha dejado en herencia a su padre. PAU junio 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 17 de 201 www.ebaumatematicas.com La curva de la gráfica es y = f(x), con ( ) 3 2 – 7 – 6 5 f x x x x = + + . a) A partir de la expresión de f(x), calcule las coordenadas de los puntos P, Q y R indicados en la figura. Calcule también la ecuación de la recta PR.

[1,25 puntos] b) Calcule la superficie del terreno. [1,25 puntos] 4. Andreu pone las nueve bolas que se muestran a continuación dentro de una bolsa. a) A continuación, saca de la bolsa dos bolas al azar, una después de otra y sin reemplazo (es decir, no devuelve a la bolsa la primera bola antes de sacar la segunda). — Calcule la probabilidad de que la primera bola sea una A o una E. [0,5 puntos] — Calcule la probabilidad de que las dos bolas sean diferentes. [0,75 puntos] b) Andreu vuelve a poner todas las bolas en la bolsa y saca cinco al azar, una detrás de otra, pero ahora con reemplazo (es decir, devolviendo a la bolsa cada bola extraída antes de sacar la siguiente).

— Calcule la probabilidad de que no haya sacado ninguna A. [0,5 puntos] — Calcule la probabilidad de que haya sacado al menos dos A. [0,75 puntos] 5. Se quiere construir un pequeño cobertizo de madera de 6 m3 de volumen, en forma de prisma rectangular, adosado a la pared lateral de una casa, para guardar leña. Solo hay que construir, por tanto, el techo y tres paredes (la pared del fondo del cobertizo es la de la casa a la que está adosado). Además, se quiere que el cobertizo mida el triple de anchura que de profundidad. Cada metro cuadrado de pared tiene un coste de construcción de 30 € y el techo cuesta 50 € por metro cuadrado.

Una vez construido el cobertizo, añadir una puerta tiene un coste fijo de 35 €. a) Compruebe que el coste de construcción del cobertizo viene dado por la función ( ) 2 300 150 35 C x x x = + + , donde x es la profundidad del cobertizo en metros. [1,25 puntos] b) Calcule cuáles han de ser las dimensiones del cobertizo para que el coste de construcción sea mínimo y justifique la respuesta. ¿Cuál es este coste? [1,25 puntos] 6. Considere los puntos A = (1, 2, 3) y B = (–3, –2, 3). a) Calcule la ecuación del plano π que es perpendicular a la recta AB y que pasa por el punto medio entre A y B.

Justifique que este plano está formado, precisamente, por los puntos ( ) , , P x y z = que están a igual distancia de A que de B, es decir, d(P, A) = d(P, B). [1 punto] b) Calcule las distancias de A y de B al plano π y compruebe que son iguales. ¿Es casualidad? Razone la respuesta. [0,75 puntos] c) Sea C = (–7, 6, 3). ¿El triángulo ABC es isósceles? Calcule su área. [0,75 puntos] PAU junio 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 18 de 201 www.ebaumatematicas.com SOLUCIONES 1. Considere la función ( ) ln 2 x f x x = definida para 0 x . a) Estudie sus máximos y sus mínimos, y sus zonas de crecimiento y de decrecimiento. [1 punto] b) ¿Esta función tiene asíntotas?

Haga un esbozo de su gráfica. [1 punto] c) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto de abscisa 1 x = . [0,5 puntos] a) Utilizamos la derivada para encontrar los puntos críticos de la función. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1·ln ln 1 ln 2 ´ 2 2 1 ln ´ 0 2 0 1 ln 0 ln 1 x x x x x f x f x x x x x f x x x x e x = = = = = = = = La función tiene un punto crítico en x e = . Estudiamos el signo de la derivada antes y después de este valor. En el intervalo ( ) 0,e tomamos 1 x = y la derivada vale ( ) 2 1 ln1 ´ 1 2 2 0 1 f = = . La función crece en ( ) 0,e . En el intervalo ( ) , e + tomamos 2 x e = y la derivada vale ( ) ( ) 2 2 2 4 4 2 1 ln 1 2 ´ 2 2 0 e f e e e e = = = .

La función decrece en ( ) , e + . La función sigue el esquema siguiente. La función crece en ( ) 0,e y decrece en ( ) , e + . La función tiene un máximo relativo en x e = . b) Esta función es continua en su dominio ( ) 0,+ . Calculamos el límite de la función cuando x tiende a 0+ . ( ) ( )( ) 0 0 0 ln 1 lim lim 2 lim 2 ln 2 x x x x f x x x x + + + = = = + = La función tiene la recta 0 x = como asíntota vertical. Comprobamos si tiene asíntotas horizontales.

PAU junio 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 19 de 201 www.ebaumatematicas.com ( ) ln lim lim 2 2 det min ( ´ ) x x x f x In er ación L Hôpital x + + + = = = = + 1 1 1 lim 2 lim 2 2 0 1 x x x x + + = = = = + La función tiene la recta 0 y = como asíntota horizontal cuando x tiende a + . La función no tiene asíntotas oblicuas. c) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ( ) ln 2 x f x x = en 1 x = es ( ) ( )( ) 1 ´ 1 1 y f f x = .

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 ´ 1 1 ln1 1 2 0 0 2 1 2 2 1 1 ln 1 ln1 ´ 2 ´ 1 2 2 1 y f f x f y x y x x f x f x = = = = = = = = La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ( ) ln 2 x f x x = en 1 x = es 2 2 y x = . PAU junio 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 20 de 201 www.ebaumatematicas.com 2. Considere el siguiente sistema de ecuaciones: 4 2 4 3 3 3 1 x y z x y kz x y + = + = + = donde k es un parámetro real. a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro k, y resuélvalo para k = 0. [1 punto] b) Resuelva el sistema para k = –1.

[0,75 puntos] c) Para k = –1, modifique la tercera ecuación de manera que el sistema resulte incompatible. Justifique la respuesta. [0,75 puntos] a) Este sistema tiene la matriz de coeficientes 4 2 1 1 1 3 3 0 A k = y la matriz ampliada 4 2 1 4 / 1 1 3 3 3 0 1 A B k = . Vemos cuando se anula el determinante de la matriz de coeficientes. 4 2 1 1 1 0 6 3 3 0 12 6 6 3 3 0 6 0 6 6 0 6 6 1 6 A k k k k A k k k = = + = = = = = = Estudiamos dos casos diferentes. CASO 1. 1 k . En este caso el determinante de A es no nulo y su rango es 3, al igual que el rango de la matriz ampliada y el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado (una única solución). CASO 2.

1 k = En este caso el determinante de A es nulo y su rango no es 3. La matriz ampliada queda 4 2 1 4 / 1 1 1 3 3 3 0 1 A B = . Estudiamos el rango de A y A/B usando el método de Gauss. Fila 3ª 3·Fila 2ª 4 2 1 4 3 3 0 1 / 1 1 1 3 3 3 3 9 3 3 0 1 0 6 3 8 Nueva Fila 3ª A B = PAU junio 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 21 de 201 www.ebaumatematicas.com / Fila 1ª 4· Fila 2ª 4 2 1 4 4 2 1 4 0 6 3 8 4 4 4 12 0 6 3 8 0 6 3 8 Nueva Fila 2ª Fila 3ª Fila 2ª 4 2 1 4 0 6 3 8 0 6 3 8 0 6 3 8 0 0 0 0 0 0 0 0 Nueva Fila 3ª A B A El rango de la matriz A es 2, al igual que el de la matriz A/B, pero menor que el número de incógnitas (3).

El sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). Resumiendo: Para 1 k el sistema es compatible determinado y para 1 k = el sistema es compatible indeterminado. Resolvemos el sistema para k = 0. ( ) ( ) 4 2 4 4 2 4 4 3 2 4 3 3 3 3 3 1 3 3 1 3 3 1 6 8 12 4 2 4 8 4 9 3 3 1 6 8 6 3 4 6 8 8 8 0 3 4 5 3 3 3 x y z x y z y y z x y x y y y x y x y y z y y z y y y y z z z x + = + = + + = = = + + + = + = + = = + + = + + = = = = = = = = = Para k = 0 la solución del sistema es 5 4 , , 0 3 3 x y z = = = . b) Si 1 k = el sistema es compatible indeterminado (CASO 2). Buscamos las soluciones a partir del sistema equivalente obtenido en el apartado anterior.

4 2 1 4 4 2 4 4 2 4 0 6 3 8 8 6 3 8 3 8 6 2 0 0 0 0 3 x y z x y z y z z y z y + = + = + = = = PAU junio 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 22 de 201 www.ebaumatematicas.com 8 8 4 1 4 2 2 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 1 3 ; 8 2 3 x y y x y x y x y x y z + + + = = = = = = = Las soluciones del sistema son 1 8 ; ; 2 ; para cualquier 3 3 x y z = = = . c) Para k = –1 el sistema queda 4 2 4 3 3 3 1 x y z x y z x y + = = + = . Cambiamos el término independiente de la tercera ecuación por "a" y utilizamos el método de Gauss para triangular el sistema.

Fila 3ª 3·Fila 2ª 4 2 1 4 3 3 0 / 1 1 1 3 3 3 3 9 3 3 0 0 6 3 9 Nueva Fila 3ª a A B a a = / Fila 1ª 4· Fila 2ª 4 2 1 4 4 2 1 4 0 6 3 8 4 4 4 12 0 6 3 9 0 6 3 8 Nueva Fila 2ª Fila 3ª Fila 2ª 4 2 1 4 0 6 3 9 0 6 3 8 0 6 3 8 0 0 0 1 0 0 0 1 Nueva Fila 3ª A B A a a a a Para que sea un sistema incompatible "a" debe tomar cualquier valor distinto de 1, por ejemplo 2. Un sistema incompatible sería 4 2 4 3 3 3 2 x y z x y z x y + = = + = . PAU junio 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 23 de 201 www.ebaumatematicas.com 3.

Joan encuentra entre los papeles de su abuelo un esbozo como el de la figura adjunta, donde se describe un terreno de regadío que ha dejado en herencia a su padre. La curva de la gráfica es y = f(x), con ( ) 3 2 – 7 – 6 5 f x x x x = + + . a) A partir de la expresión de f(x), calcule las coordenadas de los puntos P, Q y R indicados en la figura. Calcule también la ecuación de la recta PR. [1,25 puntos] b) Calcule la superficie del terreno. [1,25 puntos] a) La recta horizontal que corta el terreno tiene ecuación 5 y = , por lo que los puntos P y Q tienen coordenadas P(p,5) y Q(q,5). Los puntos P y Q son los puntos de corte de la recta 5 y = con la curva.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 2 2 2 – 7 – 6 5 – 7 – 6 5 5 – 7 – 6 0 0 0,5 7 7 4 1 6 – 7 – 6 0 – 7 – 6 0 2 1 7 5 1 1,5 7 5 2 7 5 2 6 6, 5 5 2 f x x x x x x x x x x x A x x x x x x x P x Q y = + + + + = + = = + = + = = = + = = = = = = = El punto P tiene coordenadas P(1, 5) y el punto Q tiene coordenadas Q(6. 5). El punto R está en la misma vertical que el punto Q por lo que tiene coordenadas R(6, 0). Hallamos la ecuación de la recta PR. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 6,0 1,5 5, 5 1 5 0 1 6 6 6,0 PR m y x y x R recta PR = = = = = = + PAU junio 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 24 de 201 www.ebaumatematicas.com La ecuación de la recta PR es 6 y x = + .

b) La superficie del terreno es el valor de la integral definida entre 1 y 6 de la diferencia entre la curva y la recta. ( ) 6 6 3 2 3 2 1 1 6 4 3 2 4 3 2 4 3 2 1 2 7 6 5 6 7 5 1 6 6 6 1 1 1 7 5 7 5 6 7 5 1 4 3 2 4 3 2 4 3 2 1 7 5 1025 324 504 90 6 1 85.4167 4 3 2 12 Área x x x x dx x x x dx x x x x u = + + + = + = = + = + + = = + + + + = El terreno tiene una superficie de 2 1025 85.4167 12 u . PAU junio 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 25 de 201 www.ebaumatematicas.com 4. Andreu pone las nueve bolas que se muestran a continuación dentro de una bolsa.

a) A continuación, saca de la bolsa dos bolas al azar, una después de otra y sin reemplazo (es decir, no devuelve a la bolsa la primera bola antes de sacar la segunda). — Calcule la probabilidad de que la primera bola sea una A o una E. [0,5 puntos] — Calcule la probabilidad de que las dos bolas sean diferentes. [0,75 puntos] b) Andreu vuelve a poner todas las bolas en la bolsa y saca cinco al azar, una detrás de otra, pero ahora con reemplazo (es decir, devolviendo a la bolsa cada bola extraída antes de sacar la siguiente). — Calcule la probabilidad de que no haya sacado ninguna A. [0,5 puntos] — Calcule la probabilidad de que haya sacado al menos dos A.

[0,75 puntos] a) Hay 9 bolas que puede extraerse en la primera extracción. De estas hay dos A y una E. Aplicando la regla de Laplace tenemos que la probabilidad de que la primera bola sea una A o una E es 3 1 9 3 = . Las únicas bolas repetidas son la A y la S. Llamamos R al suceso "sacar dos bolas repetidas" = "sacar dos A o dos S". Calculamos la probabilidad del suceso R. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 2 / 1 1 2 / 1 · · 9 8 9 8 18 P R P A P A A P S P S S = + = + = El suceso "sacar dos bolas diferentes" es el suceso complementario del suceso R. Calculamos su probabilidad como la probabilidad de RC .

( ) ( ) 1 17 1 1 18 18 C P R P R = = = La probabilidad de que las dos bolas sean diferentes tiene un valor de 17 0.9444 18 . b) La probabilidad de sacar A en una extracción es 2/9 y la de no sacar A es 7/9. La probabilidad de no sacar ninguna A en 5 extracciones es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 1 2 3 4 5 7 7 7 7 7 7 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · · · · 0.2846 9 9 9 9 9 9 C C C C C C C C C C P Ninguna A P A A A A A P A P A P A P A P A = = = = = El suceso complementario de B = "sacar al menos dos A en 5 extracciones" es BC = "sacar 1 o ninguna A en 5 extracciones". Calculamos la probabilidad de BC .

PAU junio 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 26 de 201 www.ebaumatematicas.com ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 0 1 sacar 5 vecesletra distinta deA 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 2 7 7 7 7 7 2 7 7 · · · · · · · · 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C P B P sacar veces A P sacar vez A P P A A A A A P A A A A A P A A A A A P A A A A A P A A A A A = + = = + + + + + + + = = + + 5 4 7 7 7 2 7 7 7 7 7 2 7 7 7 7 7 2 · · · · · · · · · · · · 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 2 7 5 · 0.6912 9 9 9 + + + = = + Aplicando la probabilidad del suceso complementario tenemos que la probabilidad de que haya sacado al menos dos A vale ( ) 1 1– 0.6912 0.3088 C P B = = .

PAU junio 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 27 de 201 www.ebaumatematicas.com 5. Se quiere construir un pequeño cobertizo de madera de 6 m3 de volumen, en forma de prisma rectangular, adosado a la pared lateral de una casa, para guardar leña. Solo hay que construir, por tanto, el techo y tres paredes (la pared del fondo del cobertizo es la de la casa a la que está adosado). Además, se quiere que el cobertizo mida el triple de anchura que de profundidad. Cada metro cuadrado de pared tiene un coste de construcción de 30 € y el techo cuesta 50 € por metro cuadrado. Una vez construido el cobertizo, añadir una puerta tiene un coste fijo de 35 €.

a) Compruebe que el coste de construcción del cobertizo viene dado por la función ( ) 2 300 150 35 C x x x = + + , donde x es la profundidad del cobertizo en metros. [1,25 puntos] b) Calcule cuáles han de ser las dimensiones del cobertizo para que el coste de construcción sea mínimo y justifique la respuesta. ¿Cuál es este coste? [1,25 puntos] a) Llamamos "x" a la profundidad, "y" a la anchura y "z" a la altura del cobertizo. El cobertizo mide el triple de anchura que de profundidad 3 y x = . El cobertizo de madera tiene 6 m3 de volumen 2 6 6 2 6 ·3 xyz z xy x x x = = = = . Calculamos la superficie de las tres paredes.

2 2 2 2 4 6 10 2 2 3 Paredes xz yz x x x x x x x = + = + = + = Calculamos la superficie del techo. 2 3 3 Techo xy x x x = = = Calculamos el coste total sumando el coste de las paredes más el coste del techo. PAU junio 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 28 de 201 www.ebaumatematicas.com Cada metro cuadrado de pared tiene un coste de construcción de 30 € y el techo cuesta 50 € por metro cuadrado ( ) 2 2 10 300 30 50·3 150 C x x x x x = + = + . Añadir una puerta tiene un coste fijo de 35 € ( ) 2 300 150 35 C x x x = + + . El coste del cobertizo en función de la profundidad del cobertizo (x) tiene la expresión ( ) 2 300 150 35 C x x x = + + .

b) Derivamos la función coste y buscamos cuando se anula. ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 2 300 300 150 35 ´ 300 300 300 ´ 0 300 0 300 300 300 1 1 1 C x x C x x x x C x x x x x x x x = + + = + = + = = = = = = Sustituimos x = 1 en la segunda derivada para averiguar si en dicho valor la función tiene un máximo o un mínimo. ( ) ( ) ( ) 2 3 3 300 300 300 ´ 300 ´´ 2 300 ´´ 1 2 300 900 0 1 C x x C x C x x = + = + = + = Al tener la segunda derivada un valor positivo podemos afirmar que la función coste tiene un mínimo relativo en x = 1. Las medidas del cobertizo con coste mínimo son 1 metro de profundidad, 3 metros de anchura y 2 2 2 1 = metros de altura.

Sustituimos x = 1 en la función coste y obtenemos el coste mínimo del cobertizo. ( ) 2 300 1 150·1 35 485 1 C = + + = El coste mínimo tiene un valor de 485 euros. PAU junio 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 29 de 201 www.ebaumatematicas.com 6. Considere los puntos A = (1, 2, 3) y B = (–3, –2, 3). a) Calcule la ecuación del plano π que es perpendicular a la recta AB y que pasa por el punto medio entre A y B. Justifique que este plano está formado, precisamente, por los puntos ( ) , , P x y z = que están a igual distancia de A que de B, es decir, d(P, A) = d(P, B). [1 punto] b) Calcule las distancias de A y de B al plano π y compruebe que son iguales. ¿Es casualidad?

Razone la respuesta. [0,75 puntos] c) Sea C = (–7, 6, 3). ¿El triángulo ABC es isósceles? Calcule su área. [0,75 puntos] a) El plano π que es perpendicular a la recta AB tiene como vector normal el vector ( ) ( ) ( ) 3, 2,3 1,2,3 4, 4,0 AB = = . Tomamos como vector normal del plano este vector dividido entre –4. Hallamos del punto P punto medio del segmento AB. ( ) ( ) ( ) 1, 2, 3 –3, – 2, 3 = 1,0,3 2 P + = Hallamos la ecuación del plano π como la ecuación del plano que pasa por P(–1,0,3) y tiene como vector normal el vector 1 4 AB .

( ) ( ) ( ) : 0 1,1,0 1 0 0 1 : 1 0 4 1,0,3 1,0,3 AB x y D n D D x y P P + + = = = + + = = + + = = = El plano π que es perpendicular a la recta AB y que pasa por el punto medio entre A y B tiene ecuación : 1 0 x y + + = . Comprobamos que los puntos del plano ( ) , , P x y z = están a igual distancia de A que de B, es decir, d(P, A) = d(P, B).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , 1 , : 1 0 : 1 , 1 , 1,2,3 1, 3 , 3 , 1 , 3, 2,3 3,1 , 3 , 1 3 3 1 3 3 , 3 1 3 , , P x y z P x x z x y y x AP x x z x x z BP x x z x x z d P A AP x x z x x z d P B BP x x z d P A d P B + + = = = = = = + = = + + = + + + = = + + + = PAU junio 2024 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 30 de 201 www.ebaumatematicas.com b) Por lo visto en el apartado anterior todos los puntos del plano están a la misma distancia de los puntos A y B, por lo que el plano pasa por el punto medio del segmento AB y es perpendicular a la recta AB.

Por ello la distancia de A y de B al plano es la misma. Comprobamos que ( ) ( ) , , d A d B = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 : 1 0 2 1,2,3 : 1 0 3 1 2 1 4 , 2 1 1 , , 2 3 2 1 4 , 2 , 2,3 1 1 x y A x d A d A d B y B d B + + = = + = = + + + = + + = = = + c) Para que el triángulo ABC sea isósceles debe tener dos lados iguales y un tercero desigual. Hallamos la longitud de los lados. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 7,6,3 1,2,3 8,4,0 , 8 4 4 5 7,6,3 3, 2,3 4,8,0 , 8 4 4 5 3, 2,3 1,2,3 4, 4,0 , 4 4 4 2 AC d A C AC BC d B C BC AB d A B AB = = = = + = = = = = + = = = = = + = El triángulo ABC tiene dos lados iguales y uno desigual.

El triángulo ABC es isósceles. Hallamos el área del triángulo ABC como la mitad del módulo del vector AB AC . ( ) ( ) ( ) 8,4,0 8 4 0 32 16 48 0,0,48 4, 4,0 4 4 0 48 24 2 2 i j k AC AB AC k k k AB AB AC Área ABC = = = + = = = = = = El triángulo ABC tiene un área de 24 unidades cuadradas. PAU septiembre 2023 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 31 de 201 www.ebaumatematicas.com PAU septiembre 2023 Proves d'accés a la universitat Matemáticas Serie 2 Responda a CUATRO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2,5 puntos.

Puede utilizar calculadora, pero no se permite el uso de calculadoras u otros aparatos que pueden almacenar datos o que pueden transmitir o recibir información. Puede utilizar las páginas en blanco (páginas 14 y 15) para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a alguna cuestión si necesita más espacio. En este último caso, debe indicarlo claramente al final de la página de la cuestión correspondiente. 1. Sean 2 1 2 1 , 3 2 3 2 A B = = y la matriz identidad de orden dos 1 0 0 1 I = . a) Compruebe que ( ) 2 2 3 A I I = .

[0,5 puntos] b) Utilizando la igualdad del apartado anterior, encuentre la matriz inversa de la matriz A en función de las matrices A e I, y compruebe que coincide con la matriz B. [1,25 puntos] c) Calcule la matriz X que satisface la igualdad · A X B = . [0,75 puntos] 2. Considere la función ( ) 1 f x x = . a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa 2 x = .[0,75 puntos] b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x k = , donde k es un número real positivo.

[0,75 puntos] c) Compruebe que, tal y como puede verse en la figura de abajo, la recta del apartado b determina un triángulo de área constante con los semiejes positivos de coordenadas. Calcule este área. [1 punto] PAU septiembre 2023 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 32 de 201 www.ebaumatematicas.com 3. Considere el sistema de ecuaciones lineales 2 1 2 3 3 x y z my z x mz x y + = + + = + = + , donde m es un número real. a) Discute el sistema según los valores del parámetro m. [1,25 puntos] b) Resuelve el sistema, si tiene solución, para el caso m = 1. [1,25 puntos] 4. Considere la función f(x) definida por ( ) 3 2 1 3 x f x x e = + .

a) Justifique que ( ) 2 f x = tiene una solución en el intervalo ( ) 1,0 . [1,25 puntos] b) Sea la función ( ) 3 2 2 1 3 x h x x e = + . Calcule el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones f(x) y h(x). [1,25 puntos] 5. Sean 1 r y 2 r las rectas definidas por 1 : 1 r x y z = = y por 2 : r x y z = = , respectivamente. a) Calcule la ecuación paramétrica de la recta que corta perpendicularmente las rectas 1 r y 2 r . [1,75 puntos] b) Calcule la distancia entre 1 r y 2 r . [0,75 puntos] 6. Queremos construir una pieza metálica que tenga por sección un trapecio isósceles con la base superior tres veces más larga que la base inferior.

Los otros lados del trapecio miden 10 mm, tal y como se puede observar en la siguiente figura: a) Exprese la altura del trapecio en función de la longitud x de la base inferior. [0,5 puntos] b) Calcule la longitud de la base inferior del trapecio de forma que el área de la pieza sea máxima y encuentre el valor de esa área máxima. [2 puntos] PAU septiembre 2023 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 33 de 201 www.ebaumatematicas.com SOLUCIONES 1. Sean 2 1 2 1 , 3 2 3 2 A B = = y la matriz identidad de orden dos 1 0 0 1 I = . a) Compruebe que ( ) 2 2 3 A I I = .

[0,5 puntos] b) Utilizando la igualdad del apartado anterior, encuentre la matriz inversa de la matriz A en función de las matrices A e I, y compruebe que coincide con la matriz B. [1,25 puntos] c) Calcule la matriz X que satisface la igualdad · A X B = . [0,75 puntos] a) ( ) 2 2 2 1 1 0 2 2 1 0 0 1 2 2 3 2 0 1 3 0 2 2 3 0 0 1 0 1 0 1 0 3 0 0 3 0 1 0 2 3 3 3 0 3 0 3 0 0 0 3 0 0 3 0 1 A I A I I = = = + + = = = = = = + + b) Desarrollamos la igualdad.

( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 3 2 2 4 3 2 2 4 3 4 3 4 4 4 4 4 A I I A I A I I A AI IA I I A A A I I A A I I A A I A A I A I A I A I A = = + = + = = = = = = Calculamos la expresión de la matriz inversa de A y comprobamos que la inversa coincide con la matriz B. 1 1 0 2 1 4 2 0 1 2 1 4 4 0 1 3 2 0 3 4 2 3 2 A I A B = = = = = c) Despejamos X de la ecuación matricial. Sabemos que la matriz A tiene inversa. 1 1 2 1 2 1 · · 3 2 3 2 4 3 2 2 7 4 6 6 3 4 12 7 A X B X A B A B X B B X = = = = = + = = + PAU septiembre 2023 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 34 de 201 www.ebaumatematicas.com 2. Considere la función ( ) 1 f x x = .

a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa 2 x = .[0,75 puntos] b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x k = , donde k es un número real positivo. [0,75 puntos] c) Compruebe que, tal y como puede verse en la figura de abajo, la recta del apartado b determina un triángulo de área constante con los semiejes positivos de coordenadas. Calcule este área. [1 punto] a) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f(x) en el punto de abscisa x = 2 es ( ) ( )( ) 2 ´ 2 2 y f f x = .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 2 2 1 1 ´ 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ´ 2 2 1 2 4 2 4 2 4 2 4 2 ´ 2 2 f x x f x x x x f f y x y x y x y f f x = = = = = = = = = + = + = La ecuación de la recta tangente es 1 1 4 y x = + . b) Repetimos el proceso anterior para un punto de abscisa x k = . ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ´ ´ f k k f k y x k y x y x k k k k k k k k y f k f k x k = = = = + = + = La recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa x k = tiene ecuación 2 1 2 y x k k = + .

PAU septiembre 2023 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 35 de 201 www.ebaumatematicas.com c) Averiguamos los puntos A y B de corte de la recta tangente 2 1 2 y x k k = + con los ejes coordenados. Punto A de corte de la recta tangente con el eje OX. ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 0 2 0 2 2 ,0 0 y x x x k kx k x k A k k k k k k k y = + + = = = = = Punto B de corte de la recta tangente con el eje OY. 2 2 1 2 1 2 2 2 ·0 0, 0 y x y B k k k k k k x = + = + = = El área del triángulo sombreado es la mitad del producto de la base (2k) por la altura (1/k).

2 k Área = 2 · k 2 4 2 2 2 u = = Como comprobamos el valor del área es independiente del valor de k y siempre vale 2 unidades cuadradas. PAU septiembre 2023 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 36 de 201 www.ebaumatematicas.com 3. Considere el sistema de ecuaciones lineales 2 1 2 3 3 x y z my z x mz x y + = + + = + = + , donde m es un número real. a) Discute el sistema según los valores del parámetro m. [1,25 puntos] b) Resuelve el sistema, si tiene solución, para el caso m = 1. [1,25 puntos] a) Ordenamos el sistema para establecer la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

2 1 2 1 2 2 3 3 3 3 x y z x y z my z x x my z mz x y x y mz + = + + = + = + + = + = + + = La matriz de coeficientes es 2 1 1 1 1 3 1 A m m = y la matriz ampliada es 2 1 1 1 / 1 1 2 3 1 3 A B m m = Averiguamos cuando se anula el determinante de A. ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2 3 1 3 2 2 4 3 1 0 0 2 4 0 2 2 0 2 0 2 A m m m m m m m m A m m m m m m = = + + = = = = = = = Estudiamos tres situaciones diferentes. CASO 1. Si 0 y 2 m m . En este caso el determinante de A es no nulo y el rango de A es 3. Al igual que el rango de A/B y el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado (una única solución) CASO 2. Si 0 m = . En este caso el determinante de A es nulo y el rango de A es menor de 3.

Estudiamos el rango de A y A/B usando el método de Gauss. 2 · Fila 2ª Fila 1ª 2 1 1 1 2 0 2 4 / 1 0 1 2 2 1 1 1 3 1 0 3 0 1 3 3 Nueva Fila 2ª A B = PAU septiembre 2023 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 37 de 201 www.ebaumatematicas.com / 2 · Fila 3ª + 3·Fila 1ª 2 1 1 1 6 2 0 6 0 1 3 3 6 3 3 3 0 1 3 3 0 1 3 3 Nueva Fila 3ª Fila 3ª + Fila 2ª 2 1 1 1 0 1 3 3 0 1 3 3 0 1 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 Nueva Fila 3ª A B A El rango de la matriz A es 2 y el de la matriz A/B también es 2, los rangos son iguales a 2 pero menores que el número de incógnitas (3). El sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). CASO 3. Si 2 m = .

En este caso el determinante de A es nulo y el rango de A es menor de 3. Estudiamos el rango de A y A/B usando el método de Gauss. 2 · Fila 2ª Fila 1ª 2 1 1 1 2 4 2 4 / 1 2 1 2 2 1 1 1 3 1 2 3 0 3 3 3 Nueva Fila 2ª 2 · Fila 3ª + 3·Fila 1ª 2 1 1 1 6 2 4 6 0 3 3 3 6 3 3 3 0 1 1 3 0 1 1 3 Nueva Fila 3ª 3 · Fila 3 A B = / ª Fila 2ª 2 1 1 1 0 3 3 9 0 3 3 3 0 3 3 3 0 0 0 12 0 0 0 12 Nueva Fila 3ª A B A El rango de la matriz A es 2 y el de la matriz A/B es 3, los rangos son distintos y el sistema es incompatible (sin solución). Resumiendo: Si 0 y 2 m m el sistema es compatible determinado (una única solución).

Si 0 m = el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) y si 2 m = el sistema es incompatible (sin solución). b) Si m = 1 el sistema es compatible determinado. Hallamos su solución. PAU septiembre 2023 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 38 de 201 www.ebaumatematicas.com ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 1 2 2 3 2 3 3 3 3 3 4 2 2 1 3 3 3 3 6 3 3 3 2 4 3 2 4 3 3 2 3 3 4 3 6 6 4 3 2 3 2 x y z x y z y z y z x y z x y z y z y z x y z x y z y z y z y z z y y z y z y z y z z z z z z z + = + = + = + + = = + = + = + = + = = + = + + + = + = + = + + = + + = = = 3 3 3 3 3· 3 2 2 2 2 2 2 y x = + = = = La solución del sistema para m = 1 es 3 3 2; ; 2 2 x y z = = = .

PAU septiembre 2023 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 39 de 201 www.ebaumatematicas.com 4. Considere la función f(x) definida por ( ) 3 2 1 3 x f x x e = + . a) Justifique que ( ) 2 f x = tiene una solución en el intervalo ( ) 1,0 . [1,25 puntos] b) Sea la función ( ) 3 2 2 1 3 x h x x e = + . Calcule el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones f(x) y h(x). [1,25 puntos] a) Consideramos la función ( ) ( ) ( ) 3 3 2 1 2 1 2 3 2 3 2 x x g x f x x e x e = = + = + El problema se traduce en buscar un valor en el intervalo ( ) 1,0 donde la función g(x) se anule.

Aplicamos el teorema de Bolzano a la función ( ) 3 2 1 3 2 x g x x e = + en el intervalo ( ) 1,0 . Comprobamos que se cumplen las hipótesis de partida del teorema. 1. La función g(x) es continua en [–1, 0]. Es continua pues es la suma de dos funciones continuas: una polinómica (–3x–2) y otra exponencial ( 3 2 1 x e ). 2. La función toma signos diferentes en los extremos del intervalo ( ) 1,0 . ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 1 1 3 2·0 1 1 1 3 1 2 1 1.04 0 0 3·0 2 2 1.63 0 g e e g e e = + = + = + = + Podemos aplicar el teorema de Bolzano y afirmar que existe un valor ( ) 1,0 c tal que ( ) 0 g c = . Y por tanto existe un valor ( ) 1,0 c tal que ( ) 2 f c = .

b) Hallamos los puntos de corte de las gráficas de las dos funciones. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 3 3 3 3 3 3 0 3 3 0 3 1 0 1 0 1 x x x x h x x e f x x e x e x e x x f x h x x x x x x x x = + = + + = + = = = + = = = = El área de la región encerrada entre las dos gráficas es el valor absoluto de la integral definida entre 0 a 1 de la diferencia de las dos funciones. Tomamos valor absoluto para no buscar que función tiene su gráfica situada por encima.

( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 0 0 0 1 1 2 3 2 3 2 3 2 2 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 1 ·1 0 ·0 1 0.5 2 2 2 2 2 x x x x h x f x dx x e x e dx x e x e dx x xdx x x u = + + = + + = = + = + = + + = + = = El área de la región encerrada entre las dos funciones tiene un valor de 0.5 unidades cuadradas. PAU septiembre 2023 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 40 de 201 www.ebaumatematicas.com PAU septiembre 2023 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 41 de 201 www.ebaumatematicas.com 5. Sean 1 r y 2 r las rectas definidas por 1 : 1 r x y z = = y por 2 : r x y z = = , respectivamente.

a) Calcule la ecuación paramétrica de la recta que corta perpendicularmente las rectas 1 r y 2 r . [1,75 puntos] b) Calcule la distancia entre 1 r y 2 r . [0,75 puntos] Hallamos un punto y un vector director de cada recta. También sus ecuaciones paramétricas. ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1,0,0 1 0 0 : 1 : : : 1 1 1 1,1, 1 x P r x y z r x y z r r r y u z = + = = = = = = = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0,0,0 0 0 0 : : : : 1 1 1 1,1,1 x Q r x y z r x y z r r r y v z = = = = = = = = Estudiamos la posición relativa de las rectas. Como las coordenadas de sus vectores directores no son proporcionales las rectas ni son paralelas ni coincidentes. Las rectas se cortan o cruzan.

( ) ( ) 1 2 1,1, 1 1 1 1 1 1 1 1,1,1 u v = = = Calculamos el valor del producto mixto 1 2 1 2 , , u v PQ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 2 2 0,0,0 1,0,0 1,0,0 1 1 1 1,1, 1 , , 1 1 1 0 1 0 1 0 0 2 0 1 0 0 1,1,1 PQ u u v PQ v = = = = = = = Al ser 1 2 1 2 , , 0 u v PQ las rectas se cruzan. a) Para hallar la recta s que corta perpendicularmente las rectas 1 r y 2 r seguimos el esquema del dibujo. PAU septiembre 2023 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 42 de 201 www.ebaumatematicas.com Hallamos el vector director w de la recta s como el producto vectorial de los vectores directores de las rectas 1 r y 2 r .

( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1,1, 1 1 1 1 2 2 2, 2,0 1,1,1 1 1 1 i j k u w u v i j k k j i i j v = = = = + + = = = Hallamos el plano π que contiene a la recta 2 r y tiene como otro vector director w . ( ) ( ) ( ) 2 2 1,1,1 2, 2,0 : 1 1 1 0 2 2 2 2 0 2 2 0 0,0,0 2 2 4 0 : 2 0 v x y z w y z z x Q x y z x y z = = = + = + = + = Hallamos el plano π´ que contiene a la recta 1 r y tiene como otro vector director w . ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1,1, 1 1 2, 2,0 ´: 1 1 1 0 2 2 2 2 1 0 2 2 0 1,0,0 ´ 2 4 2 2 0 2 2 4 2 0 ´: 2 1 0 u x y z w y z z x P y z x x y z x y z = = = = + = + = + + = La recta s es la recta donde se cortan los dos planos obtenidos.

Por tanto, tiene como ecuación implícita 2 0 : 2 1 0 x y z s x y z + = + + = . Hallamos su ecuación paramétrica. 2 0 2 : 2 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1 2 1 1 1 4 1 0 4 1 2 : , 4 4 2 1 4 x y z x y z s y z y z x y z x y z x z z z x y y s y z + = = + + + + = + + = + + = = = = = = + = = = b) La distancia entre las rectas 1 r y 2 r es la distancia entre los puntos A y B del dibujo. PAU septiembre 2023 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 43 de 201 www.ebaumatematicas.com El punto A es el punto de corte de la recta 1 r y el plano π. 1 : 2 0 1 1 3 1 1 1 2 0 4 1 , , : 4 4 4 4 x y z x A r y z + = = + + + + = = = = = El punto B es el punto de corte de la recta 2 r y el plano π´.

2 : 1 1 1 1 2 1 0 4 1 , , 4 4 4 4 ´: 2 1 0 x r y B z x y z = = + + = = = = + + = La distancia entre las rectas es la distancia entre los puntos A y B. ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 1 1 , , 4 4 4 1 1 1 3 1 1 2 2 1 1 , , , , ,0, ,0, 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 1 1 1 , , 4 4 4 1 1 1 2 , , 0 0.707 2 2 2 2 A AB B d r r d A B AB unidades = = = = = = + + = = OTRA FORMA DE RESOLVERLO Con una fórmula. ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 , , , , 2 2 2 , 2 8 2 2 0 u v PQ u v PQ d r r unidades u v w = = = = = + + PAU septiembre 2023 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 44 de 201 www.ebaumatematicas.com 6.

Queremos construir una pieza metálica que tenga por sección un trapecio isósceles con la base superior tres veces más larga que la base inferior. Los otros lados del trapecio miden 10 mm, tal y como se puede observar en la siguiente figura: a) Exprese la altura del trapecio en función de la longitud x de la base inferior. [0,5 puntos] b) Calcule la longitud de la base inferior del trapecio de forma que el área de la pieza sea máxima y encuentre el valor de esa área máxima. . [2 puntos] a) Dibujamos la situación planteada en busca de un triángulo que nos permita hallar la altura pedida.

Consideramos el triángulo rectángulo de catetos x, a y de hipotenusa 10 y utilizamos el teorema de Pitágoras ( ) 2 2 2 2 2 2 10 100 100 , 0 10 x a a x a x x siendo x + = = = b) El área del trapecio es el producto de la media de las dos bases por la altura. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 3 · 2 100 4 100 400 4 2 x x Área A x a x x x x x x x + = = = = = Buscamos el máximo de esta función. Usamos la derivada. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 4 2 4 3 3 2 4 2 2 800 16 400 4 ´ 2 400 4 800 16 ´ 0 0 800 16 0 2 400 4 0 16 50 0 50 0 50 7.07 x x A x x x A x x x x x A x x x x x x x x x x mm = = = = = = = = = El valor x = 0 no lo tenemos en cuenta pues el área sería 0.

El valor negativo de 50 x = tampoco lo tenemos en cuenta, pues no existe una longitud negativa. PAU septiembre 2023 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 45 de 201 www.ebaumatematicas.com Comprobamos si en 50 x = hay un máximo estudiando el signo de la derivada antes y después de este valor. En el intervalo ( ) 0, 50 tomamos x = 1 y la derivada vale ( ) 3 2 4 800·1 16·1 784 ´ 1 0 2 400·1 4·1 A = = + . La función crece en ( ) 0, 50 . En el intervalo ( ) 50,10 tomamos x = 8 y la derivada vale ( ) 3 2 4 800·8 16·8 1792 ´ 8 0 2 400·8 4·8 A = = + . La función decrece en ( ) 50,10 .

La función cambia de crecer a decrecer en 50 x = , por lo que la función área tiene un máximo relativo en 50 x = . Calculamos el valor de esa área máxima del trapecio de base inferior 50 x = . ( ) ( ) 2 2 50 2 50 100 50 2 50 50 100 Área A mm = = = = Un trapecio de base inferior 50 7.1 x mm = tiene un área máxima con valor 100 mm2 . PAU junio 2023 Matemáticas II en Cataluña Juan Antonio Martínez García 46 de 201 www.ebaumatematicas.com PAU junio 2023 Proves d'accés a la universitat Matemáticas Serie 1 Responda a CUATRO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2,5 puntos.

Puede utilizar calculadora, pero no se permite el uso de calculadoras u otros aparatos que pueden almacenar datos o que pueden transmitir o recibir información. Puede utilizar las páginas en blanco (páginas 14 y 15) para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a alguna cuestión si necesita más espacio. En este último caso, debe indicarlo claramente al final de la página de la cuestión correspondiente. 1.

Calcule los coeficientes a, b, c y d de la función ( ) 3 2 f x ax bx cx d = + + + si sabemos que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de inflexión (1, 0) es 3 3 y x = + y que la función tiene un extremo relativo en el punto de la gráfica de abscisa x = 0. [2,5 puntos] 2. Considere las dos matrices siguientes: 2 3 5 2 2 0 1 4 5 1 1 0 1 3 4 1 2 1 A B = = a) Calcule las matrices · A B y · B A . [1,5…

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