Introducció a les Derivades

I 18 flashcards i 12 preguntes més al document.

Text del document

TEMA 1. DERIVADES 2n BTX INS BERNAT EL FERRER 1. DERIVADES 1.1 Variació mitjana d'una funció en un interval Sigui la funció ( ) = 2 + 6 8 Estudiarem què li passa la funció a l'interval [0, 2]. Observant el gràfic podem deduir que en aquest interval la funció és creixent. Concretament creix 8 unitats ja que (0) = 8 i (2) = 0. Com que en dos unitats horitzontals, creix 8 unitats verticals, podem deduir que ha crescut 4 uni- tats de mitjana.

El càlcul és senzill (2) (0) 2 0 = 0 ( 8) 2 = 4 En general, donada una funció = ( ) s'anomena variació mitjana de la funció en un interval [ , ] a l'expressió ( 2) ( 1) 2 1 És freqüent trobar aquesta expressió en la forma ( ) o el que és el mateix El símbol Δ es llegeix increment de . Podem fer un parell d'observacions que ens poden resultar útils: - Si ( ) és creixent, la seva variació mitjana és positiva. - Si ( ) és decreixent, la seva variació mitjana és negativa. Les afirmacions recíproques no són sempre certes com es pot comprovar calculant la variació mit- jana a l'interval [2, 5]. TEMA 1.

DERIVADES 2n BTX INS BERNAT EL FERRER 1.2 Variació d'una funció en un punt: la derivada A l'apartat anterior vam estudiar el concepte de variació mitjana d'una funció en un interval. En aquest apartat estudiarem la variació mitjana en un punt. Treballarem amb la mateixa funció ( ) = 2 + 6 8 Calcularem la variació mitjana de la funció en el punt x = 1. Aprofitarem els coneixements que tenim del càlcul de la variació mitjana en un interval. Per fer-ho calcularem les variacions mitjanes en intervals del tipus [1, x] amb valors cada vegada més pròxims a 1. Al tema anterior vam treballar amb un concepte que servia per aproximar-nos a un punt tant com vulguem: el concepte de límit.

Així doncs en lloc d'utilitzar l'expressió per al càlcul de la variació mitjana en un interval, variarem l'expressió introduint el límit lim 1 ( ) (1) 1 Substituint expressions obtenim lim 1 ( ) (1) 1 = lim 1 ( 2 + 6 8) ( 12 + 6 · 1 8)) 1 = lim 1 2 + 6 5 1 = 0 0 Resolem la indeterminació lim 1 2 + 6 5 1 = lim 1 ( 1)( + 5) 1 = lim 1 ( + 5) = 4 Això vol dir que per valors propers a x = 1, un petit augment de x produirà un augment de f(x) qua- tre vegades més gran. Per exemple, mira el que passa quan augment 0,05 el valor de 1 (1) = 12 + 6 · 1 8 = 3 (1,05) = 1,052 + 6 · 1,05 8 = 2,8025 ( ) = (1,05) (1) 1,05 1 = ( 2,8025) ( 3) 0,05 = 3,95 4 TEMA 1.

DERIVADES 2n BTX INS BERNAT EL FERRER Donada una funció y = f(x), anomenem derivada de la funció en el punt d'abscissa x = x0 i la repre- sentem per f'(x0) al nombre que resulta de calcular el límit ( 0) = lim 0 ( ) ( 0) 0 Aquesta definició de derivada és la formal, però per simplificar els càlculs farem un canvi de nota- ció. Si anomenem = 0 resulta = 0 + i resulta evident que si x tendeix a x0 , aleshores h haurà de tendir a 0 . Aquest canvi de notació permet expressar la derivada com ( 0) = lim 0 ( 0 + ) ( 0) Molt més útil per al càlcul de derivades.

Per entendre el concepte de derivada, podem dir que f'(x0) és una mesura de la rapidesa en què canvia la funció f(x) prop de x0 i com més gran sigui el seu valor més gran serà el canvi. La derivada ens dona una altra informació que ens serà molt útil ja que relaciona el seu signe amb el creixement/decreixement. Així, - Si f'(x0)>0, la funció f(x) és creixent en x = x0 - Si f'(x0)<0, la funció f(x) és decreixent en x = x0 - Si f'(x0)=0, la funció f(x) ni creix ni decreix en x = x0 Estudiarem amb un exemple com s'aplica la definició de derivada EXEMPLE Calcula la derivada de la funció ( ) = 2 + 6 8 en x = 1 i interpreta el resultat.

(1) = lim 0 (1 + )2 + 6 · (1 + ) 8 ( 12 + 6 · 1 8) = = lim 0 (1 + 2 + 2) + 6 + 6 8 + 1 6 + 8 = lim 0 2 + 4 = 0 0 Recordaràs que aquesta indeterminació es resol dividint entre ( 0) = el numerador i el de- nominador. Així obtenim lim 0 2 + 4 = lim 0 ( + 4) = lim 0 + 4 = 4 Com que la derivada és positiva per a x = 1, la funció és creixent en aquest punt. Observa a la gràfica dels apartats anteriors que això és cert. TEMA 1. DERIVADES 2n BTX INS BERNAT EL FERRER 1.3 Interpretació geomètrica de la derivada Per estudiar la interpretació geomètrica de la derivada ens ajudarem d'un exemple. De nou utilit- zarem la funció ( ) = 2 + 6 8 Calcularem el pendent de la recta que passa per x = 1 i x = 3.

Com que la recta passa pels punts (1, – 3) i (3, 1) el pendent serà = 1 ( 3) 3 1 = 4 2 = 2 tal i com es pot veure a la part ombrejada de la figura. Repetirem el procés, trobant el pendent de la recta que passa per x = 1 i x = 2. Com que la recta passa pels punts (1, – 3) i (2, 0) el pendent serà = 0 ( 3) 2 1 = 3 1 = 3 tal i com es pot veure a la part ombrejada de la figura. Si anem repetint el procés aproximant-nos cada cop més a x = 1 obtindrem una recta que s'anomena recta tangent a la gràfica en el punt x = 1. La següent figura ens mostra la recta tangent i el càlcul del seu pendent.

Analíticament seria el de la recta que passa pels punts (1, – 3) i (2, 1) = 1 ( 3) 2 1 = 4 1 = 4 Però aquest valor ja l'havíem calculat en l'exemple de l'apartat anterior quan hem hagut de calcu- lar la derivada de la funció ( ) = 2 + 6 8 en x = 1 (1) = lim 0 (1 + )2 + 6 · (1 + ) 8 ( 12 + 6 · 1 8) = = lim 0 (1 + 2 + 2) + 6 + 6 8 + 1 6 + 8 = lim 0 2 + 4 = lim 0 ( + 4) = = lim 0 + 4 = 4 1. Representa gràficament la funció ( ) = 3 + 1 Calcula (1) i interpreta el resultat. 2. Representa gràficament la funció ( ) = 2 1 Calcula ( 1) i (0) i interpreta el resultat. TEMA 1.

DERIVADES 2n BTX INS BERNAT EL FERRER La derivada de la funció y = f(x) en un punt x = x0 és el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció en aquest punt ( 0) = Una altra manera d'expressar-ho és utilitzant angles, ja que el pendent d'una recta coincideix amb la tangent trigonomètrica de l'angle que forma amb l'eix d'abscisses i per tant ( 0) = = tan EXEMPLE Calcula l'equació de la recta tangent a la funció ( ) = 2 2 en el punt x = – 2. Per trobar l'equació d'una recta necessitem un vector i un punt. Per trobar el vector recordem que a partir del pendent el vector director de la recta és (1, m).

Com que la derivada de la funció f(x) en el punt x = 2 és el pendent de la recta tangent tenim que si calculem la derivada, calculem el pendent = ( 2) = lim 0 2 ( 2 + )2 (2 ( 2)2 ) = lim 0 2 (4 4 + 2) 2 + 4 = = lim 0 4 2 = lim 0 (4 ) = lim 0 (4 ) = 4 Per tant el vector director de la recta és (1,4) Trobar el punt és molt ràpid ja que el punt per on passa la recta tangent és ( 2, ( 2)) = ( 2, 2). La recta serà en forma contínua + 2 1 = + 2 4 i en forma general 4 = 6 EXEMPLE En quin punt de la gràfica de la funció f(x) = x2 – 6x la recta tangent és paral·lela a l'eix d'abscis- ses? L'expressió "paral·lela a l'eix d'abscisses" significa que el pendent de la recta tangent serà m = 0.

Per tant el problema es transforma en buscar quins punts de la funció tenen una recta tangent de pendent 0. Calculem la derivada en qualsevol punt x. ( ) = lim 0 ( + )2 6( + ) ( 2 6 ) = lim 0 2 + 2 + 2 6 6 2 + 6 = = lim 0 2 + 2 6 = lim 0 (2 + 6) = lim 0 (2 + 6) = 2 6 Ara tenim tots els possibles pendents de les rectes tangent a la funció. Com que volem que aquest pendent sigui 0, hem de resoldre 2 6 = 0 Per tant x = 3 i el punt és (3, (3)) = (3, 9). TEMA 1. DERIVADES 2n BTX INS BERNAT EL FERRER 1.4 Creixement i decreixement.

Punts estacionaris Observa les següents funcions El gràfic de l'esquerra representa la funció ( ) = i hem dibuixat les rectes tangents a la funció als punts x = 0 , x = 1 i x = 2, mentre que el gràfic de la dreta representa la funció ( ) = 1 i hem dibuixat les rectes tangents a la funció als punts x = – 1 , x = 1 i x = 2. Observaràs que la funció ( ) = és una funció creixent, mentre que la funció ( ) = 1 és una funció decreixent. I ara observa les rectes tangents a les funcions. Totes les rectes tangents a la funció creixent tenen pendent positiu, mentre que totes les rectes tangents a la funció decreixent tenen pendent nega- tiu. 3.

Calcula l'equació de la recta tangent a la funció ( ) = 2 en el punt x = 1 4. En quin punt de la gràfica de la funció ( ) = 3 la recta tangent és paral·lela a la recta = 3 1? 5. Dibuixa en el següent gràfic les rectes tangents en els punts d'abscisses x = – 3 , x = 0, x = 2 i x = 5. a) Quin signe té el pendent en cadascuna d'aquestes rectes? b) Calcula ( 3), (0), (2) i (5). TEMA 1. DERIVADES 2n BTX INS BERNAT EL FERRER Per tant podem concloure que Si f'(x0) > 0, f(x) és creixent en x = x0 Si f'(x0) < 0, f(x) és decreixent en x = x0 La pregunta que ens fem és què passarà quan f'(x0) = 0.

Com que la derivada és el pendent de la recta tangent, si fem que f'(x0) = 0, la recta tangent tindrà pendent 0, és a dir, serà horitzontal. Els punts on s'anul·la la derivada de la funció, s'anomenen punts estacionaris o singulars. Tenim tres possibles punts estacionaris Màxim Mínim Punt d'inflexió Per tant, la derivada ens dona un mètode per saber on trobar els punts estacionaris: Si f'(x0) = 0, la funció presenta en x0 un màxim, un mínim o un punt d'inflexió de tangent horitzon- tal. 1.5 Derivabilitat d'una funció en un punt Direm que una funció f(x) és derivable en el punt x = x0 si existeix f'(x0).

Podríem pensar que la derivada existeix, és a dir, es pot calcular en qualsevol punt d'una funció però no és així. 6. Donada la funció ( ) = 2 4 + 1 i els punts x = 0 , x = 2 i x = 4, digues en quins d'a- quests punts la funció és creixent i en quins és decreixent. Algun d'aquests punts és un punt es- tacionari? 7. En quin punt de la gràfica de la funció ( ) = 3 + 1 hi ha un punt estacionari? 8. Si sabem que la funció ( ) = 2 + + té un mínim al punt (3, – 8), troba b i c. 9. Troba els punts estacionaris de la funció ( ) = 2 3 + 3 2 12 + 5. TEMA 1. DERIVADES 2n BTX INS BERNAT EL FERRER Veiem un exemple amb la funció ( ) = 4 i estudiem si és derivable en el punt x = 0.

Quan repre- sentem gràficament la funció observem que la funció no existeix per a x = 0. Així doncs és impossible trobar el pendent de la recta tangent que passi per un punt que no existeix. Acabem de trobar una condició necessària perquè una funció sigui derivable. Una condició necessària perquè la funció f(x) sigui derivable en el punt x = x0 és que sigui contínua en aquest punt. El que ens preguntem és si la continuïtat és una condició suficient per ser derivable, és a dir, ens fem la pregunta: n'hi ha prou amb ser contínua per ser derivable? Veiem un exemple amb la funció ( ) = 3 . Si la representem gràficament comprovem que és contínua. Estu- diem si és derivable en el punt x = 0.

Observa que si intentem traçar la recta tangent en el punt x = 0 ob- tenim una recta vertical i la recta vertical té pendent infinit, o dit d'una altra manera no es pot calcular el seu pendent i per tant la seva derivada no existeix. Així que podem concloure que ser contínua no és una condició suficient per ser derivable. En resum perquè una funció f(x) sigui derivable en el punt x = x0, necessàriament ha de ser contí- nua en aquest punt. Però aquesta condició no és suficient, existeixen funcions que són contínues però no derivables. Hem trobat una manera per comprovar si una funció és derivable comprovant si és contínua. Ve- iem un exemple amb una funció a trossos.

EXEMPLE 1 Estudia la derivabilitat de la funció ( ) = { 2 + 3 si < 0 1 si 0 Començarem comprovant si és contínua ja que si no és contínua, no és derivable. Com que ambdues funcions són funcions polinòmiques que sempre són contínues, l'únic possi- ble punt de discontinuïtat és x = 0. Comprovarem les condicions de continuïtat: i) (0) ja que (0) = 0 1 = 1 ii) lim 0 ( ) ja que si fem els límits laterals obtenim lim 0 ( ) = lim 0 2 + 3 = 3 lim 0+ ( ) = lim 0+ 1 = 1 Per tant la funció no és contínua en x = 0. En conseqüència aquesta funció tampoc és derivable en x = 0. El gràfic ens mostra la impossibilitat de traçar una recta tangent al punt de discontinuïtat. TEMA 1.

DERIVADES 2n BTX INS BERNAT EL FERRER EXEMPLE 2 Estudia la derivabilitat de la funció ( ) = " " La funció valor absolut és fàcilment transformable en una funció a trossos més fàcil de treballar ( ) = { si < 0 si 0 Com hem fet en l'exemple anterior un cop hem vist que les dues funcions són polinòmiques comprovem les condicions de continuïtat en x = 0: i) (0) ja que (0) = 0 ii) lim 0 ( ) ja que si fem els límits laterals obtenim lim 0 ( ) = lim 0 0 = 0 lim 0+ ( ) = lim 0+ 0 = 0 Per tant lim 0 ( ) = 0 iii) lim 0 ( ) = (0) ja que 0= lim 0 ( ) = (0) = 0 I en conseqüència la funció és contínua. Així doncs només falta calcular la derivabilitat.

En primer lloc calculem la derivada ( ) = { 1 si < 0 1 si > 0 Observem que hem prescindit del signe igual ja que una derivada és un límit i el límit, si existeix, és únic. Per tant, només cal estudiar la derivada per l'esquerra i la derivada per la dreta i com- provar si els dos valors han de ser iguals. Aquests valors s'anomenen derivades laterals i es re- presenten per f'(x-) i f'(x+). És evident que la derivada existeix per valors més petits que 0 i el seu valor és – 1, i també per valors més grans que 0 i el seu valor és 1. Només ens falta comprovar a x = 0. Per a x = 0 tenim 1 = (0 ) (0+) = 1 però el límit si existeix és únic i ens ha donat diferent valor per la dreta i per l'esquerra.

En con- seqüència ( ) = " " no és derivable a x = 0. Quan observem el gràfic de la funció veiem que el pendent de la recta tangent, que en aquest cas coincideix amb la funció, és diferent a la dreta i a l'esquerra de 0. Aquest punt s'anomena punt angulós. TEMA 1. DERIVADES 2n BTX INS BERNAT EL FERRER EXEMPLE 3 Estudia la derivabilitat de la funció ( ) = { 2 + + 1 si < 0 + 1 si 0 Com a l'exemple anterior les dues funcions són polinòmiques i contínues.

Comprovem les condicions de continuïtat en x = 0: i) (0) ja que (0) = 0 + 1 = 1 ii) lim 0 ( ) ja que si fem els límits laterals obtenim lim 0 ( ) = lim 0 02 + 0 + 1 = 1 lim 0+ ( ) = lim 0+ 0 + 1 = 1 Per tant lim 0 ( ) = 1 iii) lim 0 ( ) = (0) ja que 1= lim 0 ( ) = (0) = 1 I en conseqüència la funció és contínua. Així doncs només falta calcular la derivabilitat. En primer lloc calculem la derivada ( ) = { 2 + 1 si < 0 1 si > 0 La derivada existeix per valors més petits que 0 i també per valors més grans que 0. Només ens falta comprovar a x = 0. Calculem les derivades laterals. Per a x = 0 tenim 2 · 0 + 1 = 1 = (0 ) = (0+) = 1 i obtenim el mateix valor per la dreta i per l'esquerra.

En conseqüència ( ) és derivable. Quan observem el gràfic de la funció veiem que a x = 0, no només la funció és contínua sinó que el punt no és angulós. 10. Digues en quins punts les funcions següents no són derivables a) ( ) = 2 4 b) ( ) = 3 + 1 2 5 c) ( ) = 2 2 2 4 11. Estudia la derivabilitat de la funció ( ) = { 1 si < 3 + 1 si 3 12. Estudia la derivabilitat de la funció ( ) = { 2 1 si < 2 + 1 si 2 13. Donada la funció ( ) = {2 2 3 si < 1 + si 1 Troba a i b perquè sigui derivable en x = 1. TEMA 1. DERIVADES 2n BTX INS BERNAT EL FERRER 1.6 Funció derivada. Càlcul de funcions derivades. Derivades successives.

Anomenem funció derivada de f(x) una altra funció f'(x) que fa correspondre a cada punt d'abs- cissa x el valor de la derivada de f(x) en aquest punt. Es calcula ( ) = lim 0 ( + ) ( ) Ara procedirem a calcular les funcions derivades d'algunes funcions. L'objectiu serà calcular una sèrie de regles pràctiques que ens permetran calcular les derivades sense necessitat de fer tot el procés del càlcul de límits. a) Càlcul de la derivada de la funció constant Sigui la funció constant ( ) = . La funció derivada serà ( ) = lim 0 ( + ) ( ) = lim 0 = lim 0 0 = 0 Resumint ( ) = ( ) = 0 b) Càlcul de la derivada de la funció potencial Sigui la funció potencial ( ) = .

Començarem pel cas més senzill, calculant la derivada quan n = 1. Per tant ( ) = . ( ) = lim 0 ( + ) ( ) = lim 0 + = lim 0 = 1 Resumint ( ) = ( ) = 1 Continuarem fent que n = 2. Per tant ( ) = 2 . ( ) = lim 0 ( + ) ( ) = lim 0 ( + )2 2 = lim 0 2 + 2 + 2 2 = = lim 0 2 + 2 = lim 0 (2 + ) = lim 0 2 + = 2 Resumint ( ) = 2 ( ) = 2 Continuarem fent que n = 3. Per tant ( ) = 3 .

( ) = lim 0 ( + ) ( ) = lim 0 ( + )3 3 = lim 0 3 + 3 2 + 3 2 + 3 3 = = lim 0 3 2 + 3 2 + 3 = lim 0 (3 2 + 3 + 2 ) = lim 0 3 2 + 3 + 2 = 3 2 Resumint ( ) = 3 ( ) = 3 2 Els resultats obtinguts ens dirigeixen cap a una regla general ( ) = ( ) = 1 Seguint aquest mateix procediment per altres funcions i amb càlculs més complexos propis de cur- sos superiors trobaríem les derivades de la resta de funcions. TEMA 1.

DERIVADES 2n BTX INS BERNAT EL FERRER A nivell pràctic resulta més còmode utilitzar la següent taula de derivades ( ) = ( ) = 0 ( ) = ( ) = 1 ( ) = ln ( ) = 1 ( ) = ( ) = ( ) = sin ( ) = cos ( ) = cos ( ) = sin ( ) = tan ( ) = 1 cos2 i les regles de derivació ( ( ) + ( )) = ( ) + ( ) ( ( )) = ( ) ( ( ) · ( )) = ( ) · ( ) + ( ) · ( ) ( ( ) ( ) ) = ( ) · ( ) ( ) · ( ) ( )2 ( [ ( )]) = [ ( )] · ( ) Aquesta última expressió es coneix amb el nom de regla de la cadena i ens serà molt útil per deri- var funcions compostes. Derivades successives Donada una funció derivable ( ) podem trobar la seva funció derivada ( ).

Moltes vegades, aquesta nova funció ( ) també és derivable i la seva funció derivada s'expressa ( ) i s'anomena derivada segona de ( ). Si ( ) continua sent derivable, la seva funció derivada s'expressa ( ) i s'anomena derivada tercera de ( ). Aquest procés pot continuar la qual cosa ens permetrà arribar a la derivada enèsima ( ) ( ) amb > 1 de ( ). TEMA 1. DERIVADES 2n BTX INS BERNAT EL FERRER 1.7 Propietats de les funcions contínues Les funcions contínues presenten unes propietats molt importants que es van enunciar en forma de teoremes.

Teorema dels valors intermedis Sigui f(x) una funció contínua en un interval tancat [a, b] i k un nom- bre tal que f(a) k f(b), aleshores existeix almenys un punt c [a, b] tal que f(c) = k. Aquest teorema va ser enunciat per Bernard Bolzano. Bernard Bolzano va ser un matemàtic, filòsof i teòleg del segle XIX molt cè- lebre pel següent teorema al qual va donar nom. 14. Calcula la derivada de les funcions a) ( ) = 4 3 + 2 2 + 7 b) ( ) = ln c) ( ) = sin cos d) ( ) = sin e) ( ) = 2 + 1 + 2 f) ( ) = 2 g) ( ) = sin cos h) ( ) = 1 2 i) ( ) = sin2 j) ( ) = cos 2 k) ( ) = ln l) ( ) = · m) ( ) = 2 2 1 n) ( ) = · ln o) ( ) = sin 2 15.

Calcula les derivades primeres, segones, terceres i quartes de les següents funcions a) ( ) = 3 2 2 + + 1 b) ( ) = c) ( ) = sin d) ( ) = ln e) ( ) = 2 + 1 f) ( ) = 1 + 1 Bernard Bolzano, 1781-1848 TEMA 1. DERIVADES 2n BTX INS BERNAT EL FERRER Teorema de Bolzano Sigui f(x) una funció contínua en un interval tancat [a, b] i tal que f(a) i f(b) tinguin signe diferent, és a dir f(a) · f(b) < 0, aleshores existeix almenys un punt c [a, b] tal que f(c) = 0. Aquest teorema és una conseqüència lògica del teorema dels valors intermedis.

EXEMPLE Comprova que la funció f(x) = 2x3 – 3x2 – 5x + 4 té una arrel (o zero) a l'interval [2, 3] Com que aquesta funció és polinòmica podem assegurar que la funció és contínua a l'interval [2, 3] i en conseqüència podem aplicar el teorema de Bolzano. En cas contrari no podríem apli- car el teorema. A més tenim f(2) = 2·23 – 3·22 – 5·2 + 4 = -2 i que f(3) = 2·33 – 3·32 – 5·3 + 4 = 16 En conseqüència podem afirmar que la funció té un zero a l'interval [2, 3]. 1.8 La derivada i el càlcul de límits Una de les aplicacions de les derivades és la coneguda regla de l'Hôpital.

Aquesta regla s'atribueix al matemàtic francès Guiilaume de l'Hôpital encara que el descobriment es degut al seu mestre, el matemàtic suís Johann Bernouilli. La regla s'utilitza en el càlcul de límits de quocients de funcions derivables que tenen per resultat una indeterminació del tipus 0/0 o del tipus / . En aquest cas el límit que es vol calcular coinci- deix amb el límit del quocient de les derivades respectives. 16. Comprova si la funció ( ) = 3+1 2 9 té una arrel a l'interval [-2, 0]. 17. Comprova, si és possible, que la funció ( ) = 1 tingui una arrel a l'interval [-1, 1]. TEMA 1.

DERIVADES 2n BTX INS BERNAT EL FERRER EXEMPLE Calcula lim 2 2 4 3 2 2 + 2 Quan substituïm arribem a una indeterminació del tipus 0/0. Així que apliquem la regla de l'Hôpital lim 2 2 4 3 2 2 + 2 = lim 2 2 3 2 4 + 1 = 4 5 18. Calcula els límits següents a) lim 0 2 + 3 2 3 + 2 b) lim + 2 + 6 1 2 2 + 2 c) lim 1 2 4 + 5 3 + 5 2 + 3 + 1 3 + 2 1 d) lim 0 sin e) lim 0 tan 1 cos TEMA 1. DERIVADES 2n BTX INS BERNAT EL FERRER ACTIVITATS FINALS 19. Calcula l'equació de la recta tangent a la funció ( ) = 2 1 en el punt x = 0. 20. En quin punt de la gràfica de la funció ( ) = la recta tangent és paral·lela a la recta = 2 21.

Donada la gràfica de la funció ( ) , fes un dibuix aproximat de com seria la gràfica de la seva derivada ( ). 22. En quin punt de la gràfica de la funció ( ) = 3 + 1 hi ha un punt estacionari? 23. Troba els valors que han de tenir a i b perquè la funció ( ) = 3 + 2 + + 2 tingui dos punts estacionaris a x = – 2 i a x = 4. 24. Estudia la derivabilitat de la funció ( ) = { 2 1 si < 1 + 1 si 1 25. Donada la funció ( ) = { 2 + 1 si < 0 si 0 Troba a i b perquè ( ) sigui derivable en x = 1. 26. Donada la funció ( ) = 2 + 1 Troba en quins punts es verifica que ( ) = 0. 27. Calcula les derivades primeres, segones i terceres de les següents funcions a) ( ) = 2 2 + 1 b) ( ) = · c) ( ) = cos 28.

Comprova si la funció ( ) = 2 + 3 5 té una arrel a l'interval [0, 1]. Si la resposta és negativa, busca un interval on la funció tingui una arrel.