1. Derivades de les Funcions Elementals
Flashcards
- Quina és la derivada de f(x) = K (on K és una constant)?
- f'(x) = 0
- Quina és la derivada de f(x) = x?
- f'(x) = 1
- Quina és la derivada de f(x) = x^n?
- f'(x) = nx^(n-1)
- Quina és la derivada de f(x) = ln(x)?
- f'(x) = 1/x
Preguntes tipus test
- Quina és la derivada d'una funció constant f(x) = K?
- a) 0
- b) 1
- c) K
- d) Indefinida
Resposta: a) 0. La derivada d'una constant és sempre zero, ja que no hi ha canvi en el valor de la funció.
- Quina és la derivada de la funció f(x) = x?
- a) 0
- b) 1
- c) x
- d) Indefinida
Resposta: b) 1. La derivada de f(x) = x és 1 perquè representa la taxa de canvi instantània de la funció, que és constant i igual a 1.
- Quina és la derivada de la funció f(x) = x^n?
- a) x^(n-1)
- b) nx^n
- c) nx^(n-1)
- d) n
Resposta: c) nx^(n-1). La regla de la potència estableix que la derivada de x^n és nx^(n-1).
2. Operacions amb Funcions i Funció Derivada
Flashcards
- Quina és la derivada de la suma de dues funcions f(x) = g(x) + h(x)?
- f'(x) = g'(x) + h'(x)
- Com es deriva una funció multiplicada per una constant K? f(x) = K * g(x)
- f'(x) = K * g'(x)
- Quina és la derivada d'una funció composta f(x) = g(h(x)) (regla de la cadena)?
- f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)
- Com es deriva el producte de dues funcions f(x) = g(x) * h(x)?
- f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)
Preguntes tipus test
- Quina és la derivada d'una funció constant f(x) = K, on K és un nombre real?
- a) 0
- b) 1
- c) K
- d) Indefinida
Resposta: a) 0. La derivada d'una constant sempre és zero, ja que la constant no canvia amb el canvi en x.
- Quina és la derivada de la funció f(x) = x?
- a) 0
- b) 1
- c) x
- d) Indefinida
Resposta: b) 1. La derivada de f(x) = x és 1, ja que representa la taxa de canvi de la funció respecte a x, que és constant i igual a 1.
- Quina és la derivada de la funció f(x) = x^n, on n és un nombre real?
- a) x^(n-1)
- b) n * x^n
- c) n * x^(n-1)
- d) n
Resposta: c) n * x^(n-1). La regla de la potència estableix que la derivada de x^n és n*x^(n-1).
3. Taxa de Variació Mitjana
Flashcards
- Què és la Taxa de Variació Mitjana (TVM) en termes generals?
- El canvi en el valor de la funció dividit pel canvi en la variable independent en un interval.
- Quina és la notació matemàtica per a la Taxa de Variació Mitjana (TVM)?
- Δy/Δx
- Com es calcula la Taxa de Variació Mitjana (TVM) en un interval [a, b]?
- (f(b) - f(a)) / (b - a)
- Quina interpretació geomètrica té la Taxa de Variació Mitjana (TVM)?
- La pendent de la recta secant que connecta dos punts en la corba de la funció.
Preguntes tipus test
- Com es calcula la Taxa de Variació Mitjana (TVM) d'una funció f(x) en l'interval [a, b]?
- a) (a - b) / (f(b) - f(a))
- b) (f(b) - f(a)) / (b - a)
- c) (f(a) - f(b)) / (a - b)
- d) (b - a) / (f(a) - f(b))
Resposta: b) (f(b) - f(a)) / (b - a). La Taxa de Variació Mitjana (TVM) es calcula com el canvi en y dividit pel canvi en x, que és (f(b) - f(a)) / (b - a).
- Què representa geomètricament la Taxa de Variació Mitjana (TVM) en un gràfic d'una funció?
- a) La distància entre dos punts.
- b) L'àrea sota la corba.
- c) La pendent de la recta secant.
- d) La curvatura de la funció.
Resposta: c) La pendent de la recta secant.. La TVM representa la pendent de la recta secant que uneix els punts (a, f(a)) i (b, f(b)) en la corba de la funció.
- Com es relaciona la Taxa de Variació Mitjana (TVM) amb la derivada d'una funció en un punt a?
- a) La derivada de la funció en el punt a.
- b) La integral de la funció en l'interval [a, b].
- c) El valor de la funció en el punt b.
- d) La tangent de l'angle en el punt a.
Resposta: a) La derivada de la funció en el punt a.. La derivada f'(a) representa el límit de la TVM quan b s'aproxima a a, és a dir, la taxa de canvi instantània en el punt a.
4. Derivabilitat
Flashcards
- Quina relació hi ha entre derivabilitat i continuïtat d'una funció en un punt?
- Que una funció sigui derivable en un punt implica que és contínua en aquest punt.
- Què passa si les derivades laterals d'una funció no coincideixen en un punt?
- Si les derivades laterals en un punt no coincideixen, la funció no és derivable en aquest punt.
- Pot una funció ser contínua en un punt i no derivable en aquest punt?
- Una funció pot ser contínua en un punt però no derivable en aquest punt si té un punt angulós o una tangent vertical.
- Com es determina si una funció és derivable en un punt específic?
- Cal calcular les derivades laterals i comprovar si coincideixen.
Preguntes tipus test
- Quina condició ha de complir una funció per ser derivable en un punt?
- a) És contínua i té derivades laterals que coincideixen.
- b) És discontínua i té derivades laterals diferents.
- c) Pot ser contínua o discontínua, sense importar les derivades laterals.
- d) Té una tangent vertical en aquest punt.
Resposta: a) És contínua i té derivades laterals que coincideixen.. La derivabilitat implica que la funció ha de ser contínua en el punt considerat. A més, les derivades laterals han de coincidir.
- Què passa amb la derivabilitat d'una funció en un punt angulós?
- a) Sempre és derivable.
- b) És derivable si la funció és contínua en aquest punt.
- c) No és derivable.
- d) És derivable si la funció és diferenciable.
Resposta: c) No és derivable.. Si una funció té un punt angulós, les derivades laterals no coincideixen, per tant, no és derivable en aquest punt.
- Quina de les següents condicions implica que una funció no és derivable en un punt?
- a) Que la funció té una discontinuïtat evitable.
- b) Que la funció té un salt en aquest punt.
- c) Que la funció té una asímptota vertical.
- d) Que no existeix una recta tangent ben definida.
Resposta: d) Que no existeix una recta tangent ben definida.. La derivabilitat en un punt implica que la funció té una recta tangent ben definida en aquest punt. Si no hi ha una recta tangent ben definida, la funció no és derivable.
5. Aplicacions de les Derivades: Monotonia
Flashcards
- Què indica la monotonia d'una funció?
- Indica si una funció creix o decreix en un interval.
- Quina condició ha de complir la derivada d'una funció per ser creixent en un interval (a, b)?
- f'(x) > 0
- Quina condició ha de complir la derivada d'una funció per ser decreixent en un interval (a, b)?
- f'(x) < 0
- Què és un punt crític en l'anàlisi de la monotonia?
- Un punt on la derivada de la funció és zero o no està definida.
Preguntes tipus test
- Quina condició indica que una funció f(x) és creixent en un interval?
- a) f'(x) > 0
- b) f'(x) < 0
- c) f'(x) = 0
- d) f'(x) ≠ 0
Resposta: a) f'(x) > 0. Una funció és creixent en un interval si la seva derivada és positiva en tot aquest interval. Això significa que la funció augmenta a mesura que augmenta x.
- Què indica que f'(x) = 0 en un punt a?
- a) f'(x) > 0
- b) f'(x) = 0
- c) f(x) = 0
- d) f(x) > 0
Resposta: b) f'(x) = 0. Els punts crítics són els punts on la derivada és zero o no existeix. Aquests punts són candidats a extrems relatius (màxims o mínims) o punts d'inflexió.
- Què indica un canvi de signe de la derivada de positiva a negativa en un punt crític?
- a) f'(x) canvia de negativa a positiva
- b) f'(x) > 0
- c) f'(x) canvia de positiva a negativa
- d) f'(x) < 0
Resposta: c) f'(x) canvia de positiva a negativa. Un màxim relatiu ocorre quan la derivada canvia de positiva a negativa. Això significa que la funció creix fins al punt i després decreix.
6. Extrems Relatius (Màxims/Mínims)
Flashcards
- Què és un extrem relatiu d'una funció?
- Un punt on la derivada canvia de signe, indicant un possible màxim o mínim.
- Quin és el primer pas per trobar els extrems relatius d'una funció?
- Igualar la primera derivada de la funció a zero i resoldre per a x.
- Com es determina si un punt crític és un màxim o un mínim relatiu?
- La segona derivada avaluada en el punt crític determina si és un màxim (segona derivada negativa) o un mínim (segona derivada positiva).
- Què és un punt crític?
- Un punt on la derivada de la funció és zero o no està definida.
Preguntes tipus test
- Quina de les següents opcions defineix millor un extrem relatiu d'una funció?
- a) Un punt on la derivada és zero o no existeix.
- b) Un punt a l'infinit.
- c) Un punt on la funció creix indefinidament.
- d) Un punt aleatori de la funció.
Resposta: a) Un punt on la derivada és zero o no existeix.. Un extrem relatiu és un punt on la funció assoleix un valor màxim o mínim en un interval donat, i això passa quan la derivada és zero o no existeix.
- Si la segona derivada d'una funció és positiva en un punt crític, què indica això?
- a) Un màxim relatiu.
- b) Un mínim relatiu.
- c) Un punt d'inflexió.
- d) Un punt on la funció no està definida.
Resposta: b) Un mínim relatiu.. Si la segona derivada és positiva en un punt crític, indica que la funció té un mínim relatiu en aquest punt, ja que la funció és còncava cap amunt.
- Per a què serveix igualar la primera derivada d'una funció a zero?
- a) Trobar la intersecció amb l'eix y.
- b) Calcular la integral de la funció.
- c) Trobar els punts crítics de la funció.
- d) Simplificar l'expressió de la funció.
Resposta: c) Trobar els punts crítics de la funció.. Igualar la primera derivada a zero permet trobar els punts crítics, que són candidats a ser màxims o mínims relatius. Aquests punts són on la funció podria canviar de direcció.
7. Curvatura i Punts d'Inflexió
Flashcards
- Quina condició ha de complir la segona derivada en un interval on la funció és convexa?
- f''(x) > 0
- Quina condició ha de complir la segona derivada en un interval on la funció és còncava?
- f''(x) < 0
- Què és un punt d'inflexió?
- Un punt on la funció canvia de concavitat a convexitat o viceversa.
- Quina condició ha de complir la segona derivada en un punt d'inflexió 'a'?
- f''(a) = 0
Preguntes tipus test
- Quina de les següents condicions indica que una funció és còncava en un interval?
- a) f''(x) < 0
- b) f''(x) > 0
- c) f''(x) = 0
- d) f'(x) = 0
Resposta: a) f''(x) < 0. La funció és còncava si la seva segona derivada és negativa en un interval.
- Quina condició ha de complir la segona derivada en un punt d'inflexió?
- a) f'(x) = 0
- b) f''(x) = 0
- c) f(x) = 0
- d) f'''(x) = 0
Resposta: b) f''(x) = 0. Un punt d'inflexió és on la funció canvia de concavitat. Per tant, la segona derivada ha de ser zero o no existir en aquest punt.
- Si f'(a) = 0 i f''(a) > 0, què tenim en x = a?
- a) Màxim local
- b) Punt d'inflexió
- c) Mínim local
- d) No es pot determinar
Resposta: c) Mínim local. Si f''(a) > 0, llavors tenim un mínim local en x = a.
8. Interpretació de Gràfiques
Flashcards
- Què indica el signe de la primera derivada d'una funció en un interval?
- Indica si la funció és creixent o decreixent en un interval.
- Què indica el signe de la segona derivada d'una funció?
- Indica la concavitat de la funció (còncava o convexa).
- Què és un punt d'inflexió?
- Un punt on la segona derivada canvia de signe.
- Com es troben els punts crítics d'una funció?
- Igualant la primera derivada a zero i resolent per a x.
Preguntes tipus test
- Si la primera derivada d'una funció és positiva en un interval, què podem dir sobre la funció en aquest interval?
- a) La funció és constant.
- b) La funció és creixent.
- c) La funció té un màxim local.
- d) La funció té un mínim local.
Resposta: b) La funció és creixent.. La primera derivada positiva indica que la funció és creixent, ja que la pendent de la tangent és positiva.
- Què indica un canvi de signe en la segona derivada d'una funció?
- a) Un màxim local.
- b) Un mínim local.
- c) Un punt d'inflexió.
- d) Una asímptota vertical.
Resposta: c) Un punt d'inflexió.. Un punt d'inflexió és on la concavitat canvia, el que correspon a un canvi de signe en la segona derivada.
- Quines condicions s'han de complir en un punt per ser un màxim local?
- a) f'(x) = 0 i f''(x) < 0
- b) f'(x) = 0 i f''(x) > 0
- c) f'(x) > 0 i f''(x) = 0
- d) f'(x) < 0 i f''(x) = 0
Resposta: a) f'(x) = 0 i f''(x) < 0. En un màxim local, la primera derivada és zero i la segona derivada és negativa, indicant que la funció és còncava cap avall.
9. Optimització
Flashcards
- Quin és l'objectiu principal de l'optimització en càlcul?
- Trobar el punt mínim o màxim d'una funció.
- Quin és el segon pas en el procés d'optimització, després de llegir l'enunciat?
- Relacionar les variables 'x' i 'y' amb una equació i reduir-les a una sola variable.
- Quina equació s'ha de resoldre per trobar els punts crítics d'una funció en un problema d'optimització?
- f'(x) = 0
- Per què és important comprovar que la solució obtinguda tingui sentit en el context del problema?
- Assegurar-se que la solució tingui sentit en el context del problema.
Preguntes tipus test
- Quin és l'objectiu principal de l'optimització en càlcul?
- a) Calcular la integral d'una funció.
- b) Dibuixar la gràfica d'una funció.
- c) Trobar el valor màxim o mínim d'una funció.
- d) Trobar els punts d'inflexió d'una funció.
Resposta: c) Trobar el valor màxim o mínim d'una funció.. L'objectiu principal de l'optimització és trobar el valor màxim o mínim d'una funció, no simplement calcular-la o dibuixar-la.
- Quin és el segon pas en el procés d'optimització, després de llegir l'enunciat?
- a) Calcular la derivada de la funció.
- b) Relacionar les variables amb una equació i reduir-les a una sola variable.
- c) Dibuixar la gràfica de la funció.
- d) Trobar els punts d'inflexió.
Resposta: b) Relacionar les variables amb una equació i reduir-les a una sola variable.. Després de llegir l'enunciat, cal relacionar les variables amb una equació i reduir-les a una sola variable per facilitar la resolució del problema.
- Com es troben els punts crítics d'una funció en un problema d'optimització?
- a) Igualar la primera derivada a zero.
- b) Igualar la segona derivada a zero.
- c) Calcular la integral de la funció.
- d) Dibuixar la funció.
Resposta: a) Igualar la primera derivada a zero.. Igualar la primera derivada a zero permet trobar els punts crítics on la funció pot tenir un màxim o un mínim.
I 54 flashcards i 36 preguntes més al document.