Matrius i Determinants
Flashcards
- Quina és la condició per a una matriu antisimètrica?
- -A = At
- Quin és el determinant de la transposada d'una matriu A?
- |A| = |A|
- És commutativa la multiplicació de matrius?
- A · B ≠ B · A
- Què passa amb el determinant si una matriu quadrada té una fila de zeros?
- El determinant és zero
Preguntes tipus test
- Quina de les següents condicions defineix una matriu simètrica?
- a) A = At
- b) A = -At
- c) A = In
- d) A = 0
Resposta: a) A = At. Una matriu simètrica compleix que és igual a la seva transposada.
- Si multipliquem una fila d'una matriu quadrada per un nombre, què passa amb el determinant?
- a) No canvia
- b) Queda multiplicat per aquest nombre
- c) Esdevé zero
- d) Canvia de signe
Resposta: b) Queda multiplicat per aquest nombre. Si multipliquem una fila per un nombre, el determinant queda multiplicat per aquest nombre.
- Com es calcula la inversa d'una matriu A = [[a, b], [c, d]] si el determinant és ad-bc?
- a) A−1 = (1/(ad+bc)) * [[d, -b], [-c, a]]
- b) A−1 = (1/(ad-bc)) * [[a, b], [c, d]]
- c) A−1 = (1/(ad-bc)) * [[d, -b], [-c, a]]
- d) A−1 = (1/(ad-bc)) * [[d, c], [b, a]]
Resposta: c) A−1 = (1/(ad-bc)) * [[d, -b], [-c, a]]. Aquesta és la fórmula per calcular la inversa d'una matriu 2x2.
Sistemes d'Equacions
Flashcards
- En el teorema de Rouché-Fröbenius, quina condició indica que el sistema és incompatible?
- Si rang(A) ≠ rang(A|b)
- Com s'anomena el sistema que té una única solució segons el teorema de Rouché-Fröbenius?
- Sistema Compatible Determinat
- En la regla de Cramer, com s'obté la matriu A_x si es vol trobar x?
- La matriu A s'obté canviant la columna de les x per b.
- Quina condició del teorema de Rouché-Fröbenius indica que el sistema és compatible indeterminat?
- rang(A) = rang(A|b) < nombre d'incògnites
Preguntes tipus test
- Segons el teorema de Rouché-Fröbenius, si rang(A) ≠ rang(A|b), què implica?
- a) Sistema incompatible
- b) Sistema compatible determinat
- c) Sistema compatible indeterminat
- d) Sistema sense solució
Resposta: a) Sistema incompatible. El Teorema de Rouché-Fröbenius estableix que si el rang de la matriu de coeficients (A) és diferent del rang de la matriu ampliada (A|b), el sistema és incompatible, és a dir, no té solució.
- Quantes solucions té un sistema compatible determinat?
- a) Infinites solucions
- b) Una única solució
- c) Cap solució
- d) Solucions múltiples
Resposta: b) Una única solució. Si rang(A) = rang(A|b) = nombre d'incògnites, el sistema és compatible determinat, el que significa que té una única solució.
- Com s'obté la matriu A_x per calcular x amb la regla de Cramer?
- a) Canviant la columna de les y per b
- b) Deixant la matriu A tal com està
- c) Canviant la columna de les x per b
- d) Calculant la inversa de A
Resposta: c) Canviant la columna de les x per b. La regla de Cramer permet trobar la solució d'un sistema d'equacions lineals utilitzant determinants. Per trobar x, la matriu A_x s'obté canviant la columna de les x per la columna de termes independents (b).
Geometria Analítica
Flashcards
- Quina operació entre vectors resulta en un escalar?
- Producte escalar
- Quina operació entre vectors resulta en un vector perpendicular als dos originals?
- Producte vectorial
- Quina condició indica un sistema compatible indeterminat en sistemes d'equacions?
- Rang(A) = Rang(A|b) < nombre d'incògnites
- Quina condició indica un sistema incompatible en sistemes d'equacions?
- Rang(A) < Rang(A|b)
Preguntes tipus test
- Quina és la fórmula correcta per calcular el producte escalar de dos vectors u(ux, uy, uz) i v(vx, vy, vz)?
- a) u · v = uxvx + uyvy + uzvz
- b) u · v = uxvy + uyvz + uzvx
- c) u · v = ux + vy + wz
- d) u · v = (uxvx, uyvy, uzvz)
Resposta: a) u · v = uxvx + uyvy + uzvz. El producte escalar de dos vectors es calcula sumant el producte de les seves components corresponents: ux*vx + uy*vy + uz*vz.
- Quin tipus d'objecte matemàtic resulta del producte vectorial de dos vectors?
- a) Un escalar igual al producte de les seves magnituds.
- b) Un vector perpendicular a ambdós vectors originals.
- c) Un vector en la mateixa direcció que el vector u.
- d) Zero.
Resposta: b) Un vector perpendicular a ambdós vectors originals.. El producte vectorial de dos vectors resulta en un vector perpendicular a ambdós. La magnitud d'aquest vector és igual a l'àrea del paral·lelogram que formen els dos vectors.
- En un sistema d'equacions, quina condició del Teorema de Rouché-Fröbenius indica que el sistema té infinites solucions?
- a) Sistema compatible determinat.
- b) Sistema incompatible.
- c) Sistema compatible indeterminat.
- d) No es pot determinar.
Resposta: c) Sistema compatible indeterminat.. Si rang(A) = rang(A|b) < nombre d'incògnites, el sistema té infinites solucions, cosa que significa que és compatible indeterminat.
Posicions Relatives entre Rectes i Plans
Flashcards
- Quina condició es compleix quan una recta està continguda en un pla?
- rang(A) = rang(A|b) = 2
- Quina condició es compleix quan tres plans són coincidents?
- rang(A) = rang(A|b) = 1
- Quina condició es compleix quan dos plans són paral·lels?
- rang(A) = 2 i rang(A|b) = 3
- Quina condició es compleix quan tres plans es tallen en un punt?
- rang(A) = rang(A|b) = 3
Preguntes tipus test
- Si rang(A) = rang(A|b) = 2, com són les dues rectes?
- a) Coincidents
- b) Secants
- c) Paral·leles
- d) Es creuen
Resposta: a) Coincidents. Si el rang de la matriu A és igual al rang de la matriu ampliada A|b i és igual a 2, les dues rectes són coincidents.
- Si rang(A) = 2 i rang(A|b) = 3, com són la recta i el pla?
- a) La recta està continguda en el pla
- b) Paral·lels
- c) Secants
- d) Coincidents
Resposta: b) Paral·lels. Si el rang de la matriu A és 2 i el rang de la matriu ampliada A|b és 3, la recta i el pla són paral·lels.
- Si rang(A) = rang(A|b) = 2, com són els tres plans?
- a) Tres plans coincidents
- b) Es tallen en un punt
- c) Dos plans tallen al tercer en una recta
- d) Tres plans paral·lels
Resposta: c) Dos plans tallen al tercer en una recta. Si el rang de la matriu A és igual al rang de la matriu ampliada A|b i és igual a 2, els tres plans tallen en una recta.
Distàncies i Angles
Flashcards
- Què és la distància d'un punt a una recta?
- La distància d'un punt a una recta és la longitud del segment perpendicular des del punt a la recta.
- Què és la distància d'un punt a un pla?
- La distància d'un punt a un pla és la longitud del segment perpendicular des del punt al pla.
- Què és la distància entre dues rectes que es creuen?
- La distància entre dues rectes que es creuen és la longitud del segment perpendicular comú a ambdues rectes.
- Com es calcula la distància d'un punt P a una recta r?
- Es calcula amb la fórmula: dist(P, r) = |(AP x vr) / |vr||
Preguntes tipus test
- Quina de les següents fórmules calcula la distància més curta entre un punt i un pla?
- a) Distància d'un punt a un pla
- b) Distància d'un punt a una recta
- c) Distància entre dues rectes
- d) Angle entre dos plans
Resposta: a) Distància d'un punt a un pla. La fórmula dist(P, π) = |(A·Px + B·Py + C·Pz + D) / √(A^2 + B^2 + C^2)| calcula la distància perpendicular entre el punt i el pla.
- Quina de les següents opcions descriu el càlcul de l'angle entre dues rectes?
- a) Angle entre recta i pla
- b) Angle entre dues rectes
- c) Angle entre dos plans
- d) Distància entre dues rectes
Resposta: b) Angle entre dues rectes. L'angle entre dues rectes es calcula utilitzant el producte escalar dels vectors directors i dividint-lo pel producte de les seves magnituds.
- Quin és l'angle entre dues rectes paral·leles?
- a) 90 graus
- b) 45 graus
- c) 0 graus
- d) 180 graus
Resposta: c) 0 graus. Quan dues rectes són paral·leles, l'angle entre elles és 0 graus, ja que els seus vectors directors són proporcionals.
Límits i Continuïtat
Flashcards
- Què és una discontinuïtat evitable?
- Quan el límit d'una funció en un punt no coincideix amb el valor de la funció en aquest punt.
- Què és una discontinuïtat de salt infinit?
- Quan els límits laterals d'una funció en un punt són infinits.
- Què és una discontinuïtat de salt finit?
- Quan els límits laterals d'una funció en un punt existeixen però són diferents.
- En quins casos s'aplica la regla de l'Hôpital?
- La regla de l'Hôpital s'aplica quan tenim indeterminacions del tipus 0/0 o ∞/∞.
Preguntes tipus test
- Quina de les següents condicions ha de complir una funció per ser contínua en un punt a?
- a) lim(x→a) f(x) = f(a)
- b) lim(x→a) f(x) ≠ f(a)
- c) f'(a) = 0
- d) f''(a) = 0
Resposta: a) lim(x→a) f(x) = f(a). La continuïtat d'una funció en un punt requereix que el límit de la funció quan x tendeix a aquest punt sigui igual al valor de la funció en aquest punt. Això assegura que no hi hagi 'salts' ni 'talls' en la funció en aquest punt.
- Quina condició defineix una discontinuïtat evitable en un punt a?
- a) lim(x→a) f(x) = ∞
- b) lim(x→a) f(x) ≠ f(a)
- c) lim(x→a-) f(x) ≠ lim(x→a+) f(x)
- d) f'(a) no existeix
Resposta: b) lim(x→a) f(x) ≠ f(a). Una discontinuïtat evitable ocorre quan el límit de la funció existeix en el punt, però no coincideix amb el valor de la funció en aquest punt. Això significa que podríem 'redefinir' la funció en aquest punt per fer-la contínua.
- Per a quina forma indeterminada s'aplica la regla de l'Hôpital directament?
- a) 0 · ∞
- b) 1^∞
- c) 0/0
- d) ∞ - ∞
Resposta: c) 0/0. La regla de l'Hôpital s'utilitza principalment per resoldre indeterminacions de la forma 0/0 o ∞/∞. Derivant el numerador i el denominador, podem simplificar l'expressió i trobar el límit.
Representació de Funcions
Flashcards
- Quina és la condició per a la simetria respecte l'eix X (funció imparella)?
- (f(x) = -f(x))
- Quina condició ha de complir una funció per ser creixent?
- f'(x) > 0
- Quina condició ha de complir una funció per ser decreixent?
- f'(x) < 0
- Quina condició s'ha de complir per a l'existència d'un mínim en termes de la segona derivada?
- f''(x) > 0
Preguntes tipus test
- Si f'(x) > 0, com és la funció?
- a) Creixent
- b) Decreixent
- c) Constant
- d) Alternant
Resposta: a) Creixent. Si la primera derivada és positiva en un interval, la funció és creixent en aquest interval. Això significa que a mesura que augmenta el valor de x, el valor de f(x) també augmenta.
- Si f'(x) = 0 i f''(x) > 0, què tenim?
- a) Màxim
- b) Mínim
- c) Punt d'inflexió
- d) Asímptota
Resposta: b) Mínim. Si f''(x) > 0 en un punt crític, indica que la funció té un mínim local en aquest punt. La concavitat cap amunt implica que la funció disminueix fins al punt i després comença a créixer.
- Què indica un canvi de signe en la segona derivada?
- a) Màxim local
- b) Mínim local
- c) Punt d'inflexió
- d) Asímptota vertical
Resposta: c) Punt d'inflexió. Un punt d'inflexió ocorre quan la segona derivada canvia de signe. Això indica un canvi en la concavitat de la funció, passant de còncava a convexa o viceversa.
Derivades
Flashcards
- Quina és la derivada d'una funció f(x) elevada a una constant k?
- (f(x))' = f'(x)
- Com es defineix la derivada d'una funció f(x) en un punt utilitzant el concepte de límit?
- f'(x) = lim (f(x + h) - f(x)) / h quan h tendeix a 0
- Si y = x^n, quina és la seva derivada y'?
- y' = nx^(n-1)
- Si y = e^x, quina és la seva derivada y'?
- y' = e^x
Preguntes tipus test
- Quina és la derivada de la suma de dues funcions f(x) i g(x)?
- a) f'(x) + g'(x)
- b) f'(x) * g'(x)
- c) f(x) + g(x)
- d) f(x) * g'(x) + f'(x) * g(x)
Resposta: a) f'(x) + g'(x). La derivada de f(x) + g(x) és simplement la suma de les seves derivades individuals.
- Si k és una constant, quina és la derivada de k · f(x)?
- a) f'(x)
- b) k · f'(x)
- c) k + f'(x)
- d) k · f(x)
Resposta: b) k · f'(x). La derivada de k · f(x) és k · f'(x), ja que k és una constant.
- Quina és la regla del producte per a la derivada de f(x) · g(x)?
- a) f'(x) · g'(x)
- b) f(x) · g(x)
- c) f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)
- d) f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)
Resposta: c) f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x). La regla del producte estableix que (f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x).
Integrals
Flashcards
- Quina és la integral d'una funció constant f(x) = k?
- f(x) = kx + C
- Quina és la integral de f(x) = x^n?
- f(x) = (x^(n+1))/(n+1) + C
- Quina és la integral de f(x) = 1/x?
- f(x) = ln|x| + C
- Quina és la integral de f(x) = a^x?
- f(x) = (a^x) / ln(a) + C
Preguntes tipus test
- Quina és la integral indefinida de la funció f(x) = k, on k és una constant?
- a) kx + C
- b) k + C
- c) x + C
- d) 0
Resposta: a) kx + C. La integral d'una funció constant f(x) = k és kx + C, on C és la constant d'integració.
- Quina és la integral de x^n?
- a) nx^(n-1) + C
- b) (x^(n+1))/(n+1) + C
- c) x^n + C
- d) x^(n+1) + C
Resposta: b) (x^(n+1))/(n+1) + C. La integral de x^n és (x^(n+1))/(n+1) + C. Això s'obté aplicant la regla de potència per a integrals.
- Quina és la integral de 1/x?
- a) 1/x^2 + C
- b) -1/x + C
- c) ln|x| + C
- d) e^x + C
Resposta: c) ln|x| + C. La integral de 1/x és ln|x| + C. Això és una integral coneguda.
Probabilitat
Flashcards
- Què és la probabilitat d'un succés?
- El nombre de casos favorables dividit pel nombre de casos possibles.
- Com es calcula la probabilitat d'un succés contrari?
- P(A) = 1 - P(A)
- Si A i B són independents, com es calcula P(A ∩ B)?
- P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
- Si A i B són independents, quant val la probabilitat condicionada P(A | B)?
- P(A | B) = P(A)
Preguntes tipus test
- Com es calcula la probabilitat d'un succés?
- a) Nombre de casos favorables / Nombre de casos possibles
- b) Nombre de casos possibles / Nombre de casos favorables
- c) Nombre de casos favorables * Nombre de casos possibles
- d) 1 / Nombre de casos possibles
Resposta: a) Nombre de casos favorables / Nombre de casos possibles. La probabilitat d'un succés és el nombre de casos favorables dividit pel nombre total de casos possibles.
- Si A i B són successos independents, quina de les següents fórmules és correcta per calcular P(A ∩ B)?
- a) P(A) + P(B)
- b) P(A) * P(B)
- c) P(A) / P(B)
- d) P(A) - P(B)
Resposta: b) P(A) * P(B). Si A i B són successos independents, llavors P(A ∩ B) = P(A) * P(B).
- Com es calcula la probabilitat condicionada P(A | B)?
- a) P(A) / P(B)
- b) P(B) / P(A)
- c) P(A ∩ B) / P(B)
- d) P(A) * P(B)
Resposta: c) P(A ∩ B) / P(B). La probabilitat condicionada P(A | B) es calcula com P(A ∩ B) / P(B).
I 60 flashcards i 40 preguntes més al document.
Text del document
SELECTIVITAT CATALUNYA (Proves d'Accés a la Universitat) MATRIUS I DETERMINANTS Matriu simètrica: = Matriu antisimètrica: = Propietats de les matrius: 1. · · 2. ( ) = 3. ( · ) = · 4. ( ) = ( ) Propietats dels determinants: 1. Determinant de la transposada: " " = " " 2. Si en una matriu quadrada intercanviem dues files (o dues columnes), el seu determinant canvia de signe. 3. Si en una matriu quadrada multipliquem per un mateix nombre tots els elements d'una mateixa fila (o columna), el seu determinant queda multiplicat per aquest nombre. 4. Si una matriu quadrada té una fila (o columna) de zeros, el seu determinant és zero. 5.
Si a una fila (o columna) d'una matriu quadrada li sumem una combinació lineal de les altres, el seu determinant no varia. 6. Si una matriu quadrada té dues files (o dues columnes) iguals, el seu determinant és zero. 7. Si una matriu quadrada té dues files (o dues columnes) proporcionals, el seu determinant és zero. 8. Si una matriu quadrada és triangular, el seu determinant és el producte dels elements de la diagonal. 9. Operació amb una columna de sumands: + + + = + 10.
El determinant del producte és el producte de determinants: " · " = " " · " " Inversa d'una matriu (es pot emprar el mètode de Gauss-Jordan): Definició: · = Cas = 2: Si = = · Cas 3: = " " · adj( ) SISTEMES D'EQUACIONS Teorema de Rouché-Fröbenius Si rang( ) rang( " ), es té un Sistema incompatible ( solució) Si rang( ) = rang( " ) = nombre d incògnites, es té un Sistema Compatible Determinat ( ! (única) solució) Si rang( ) = rang( " ) nombre d incògnites, es té un Sistema Compatible Indeterminat ( solucions) Regla de Cramer Solucions: = " " " " (si es vol trobar x, per exemple, la matriu " " s'obté canviant la columna de les x per b).
GEOMETRIA ANALÍTICA Producte escalar: · = + + = " " · " " · cos Producte vectorial: × = ; " × " = " " · " " · sin Àrea paral · lelogram Producte mixt: [ , , ] = · ( × ) = {Volum paral · lelepípede} SELECTIVITAT CATALUNYA (Proves d'Accés a la Universitat) RECTES Formats 2 punts/1 punt i un vector director: P = ( , , ) i = , , Equacions paramètriques = + = + = + Equació contínua = = Equació implícita (intersecció de dos plans) + + + = 0 + + + = 0 = ( , , ) × ( , , ) PLANS Formats 3 punts no alineats/1 punt i 2 vectors directors/1 punt i 1 vector normal: P = ( , , ) ; = , , i = , , Equacions paramètriques = + + = + + = + + Equació general + + + = 0 POSICIONS RELATIVES ENTRE DUES RECTES Coincidents: rang( ) = rang( " ) = 2 Secants: rang( ) = rang( " ) = 3 Paral·leles: rang( ) = 2 i rang( " ) = 3 Es creuen: rang( ) = 3 i rang( " ) = 4 Nota: les rectes han d'estar expressades com a intersecció de dos plans.
POSICIONS RELATIVES ENTRE RECTA I PLA Recta continguda en el pla: rang( ) = rang( " ) = 2 Secants: rang( ) = rang( " ) = 3 Paral·lels: rang( ) = 2 i rang( " ) = 3 Nota: les rectes han d'estar expressades com a intersecció de dos plans i els plans en forma d'equació general. POSICIONS RELATIVES ENTRE DOS PLANS Coincidents: rang( ) = rang( " ) = 1 Secants: rang( ) = rang( " ) = 2 Paral·lels: rang( ) = 1 i rang( " ) = 2 Nota: els plans han d'estar expressats en forma d'equació general.
POSICIONS RELATIVES ENTRE TRES PLANS Tres plans coincidents: rang( ) = rang( " ) = 1 Dos plans tallen al tercer/No coincidents i es tallen en una recta: rang( ) = rang( " ) = 2 Es tallen en un punt: rang( ) = rang( " ) = 3 Tres plans paral·lels/Dos plans coincidents i paral·lels al tercer: rang( ) = 1 i rang( " ) = 2 Es tallen dos a dos/Dos plans paral·lels tallen al tercer: rang( ) = 2 i rang( " ) = 3 Nota: els plans han d'estar expressats en forma d'equació general.
SELECTIVITAT CATALUNYA (Proves d'Accés a la Universitat) DISTÀNCIES Distància d'un punt a una recta dist(P, ) = × AP " " Distància d'un punt a un pla dist(P, ) = · P + · P + · P + + + Distància entre dues rectes que es creuen dist( , ) = AB, , " × " ANGLES Angle entre dues rectes cos = " · " " " · " " Angle entre recta i pla cos(90° ) = " · " " " · " " Angle entre dos plans cos = " · " " " · " " LÍMITS I CONTINUÏTAT Continuïtat d'una funció en un punt lim ( ) = lim + ( ) = ( ) Tipus de discontinuïtats: Evitable: lim ( ) ( ) De salt infinit: lim ( ) = ó lim + ( ) = De salt finit: lim ( ) lim + ( ) Regla de l'Hôpital lim ( ) ( ) = lim ( ) ( ) = lim ( ) ( ) = = Indeterminacions: ó : s'aplica la regla de l'Hôpital.
0 · : lim ( ) · ( ) = lim ( ) 1 ( ) : lim ( ) · ( ) = lim 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) · ( ) 1 , , 0 : s'apliquen logaritmes neperians 1 = [( ( ) )· ( )] REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS Creixement i decreixement: Creixent: ( ) > 0 Decreixent: ( ) < 0 Extrems: Compleixen que ( ) = 0 Mínim: ( ) > 0 Màxim: ( ) < 0 Concavitat i convexitat: Còncava ( ): ( ) > 0 Convexa ( ): ( ) < 0 Punts d'inflexió: Compleixen que ( ) = 0 Simetries: Respecte eix X (imparella): ( ) = ( ) Respecte eix Y (parella): ( ) = ( ) Asímptotes: Asímptota vertical ( = ): lim ( ) = ± Asímptota horitzontal ( = ): lim ± ( ) = (si existeix A.H., no existeix A.O.) Asímptota obliqua ( = + ): = lim ± ( ) = lim ± [ ( ) ] SELECTIVITAT CATALUNYA (Proves d'Accés a la Universitat) Passos a seguir: 1) Domini i punts de discontinuïtat (punts on hi haurà A.V.) 2) Asímptotes 3) Punts de tall amb els eixos 4) Límits laterals de les A.V.
5) Límits a ± .
6) Extrems i creixement/decreixement 7) Punts d'inflexió i concavitat/convexitat 8) Representació DERIVADES Definició de derivada ( ) = lim ( + ) ( ) Recta tangent = ( ) + ( ) · ( ) Recta normal = ( ) 1 ( ) · ( ) = = 0 = = = ( ) = ( ) · ( ) = = = ( ) = ( ) · ( ) = = ln = ( ) = ( ) ln · ( ) = ln = 1 = ln ( ) = ( ) ( ) = log = 1 · ln = log ( ) = ( ) ln · ( ) = sin = cos = sin ( ) = ( ) · cos ( ) = cos = sin = cos ( ) = ( ) · sin ( ) = tan = 1 + tan = 1 cos = tan ( ) = ( ) cos ( ) = arcsin = 1 1 = arcsin ( ) = ( ) 1 ( ) = arccos = 1 1 = arccos ( ) = ( ) 1 ( ) = arctan = 1 1 + = arctan ( ) = ( ) 1 + ( ) [ ( ) ± ( )] = ( ) ± ( ) [ · ( )] = · ( ) [ ( ) · ( )] = ( ) · ( ) + ( ) · ( ) ( ) ( ) = ( ) · ( ) ( ) · ( ) ( ) [( )( )] = [ ( ) ] = ( ) · ( ) SELECTIVITAT CATALUNYA (Proves d'Accés a la Universitat) INTEGRALS Funció constant ( ) = · = + Funció polinòmica ( ) = · = + + 1 + ( ) · ( ) · = ( ) + + 1 + ( ) = 1 1 · = ln" " + ( ) ( ) · = ln" ( )" + Funció exponencial ( ) = · = ln + ( ) · ( ) · = ( ) ln + ( ) = · = + ( ) · ( ) · = ( ) + Funcions trigonomètriques ( ) = sin sin · = cos + sin ( ) · ( ) · = cos ( ) + ( ) = cos cos · = sin + cos ( ) · ( ) · = sin ( ) + ( ) = 1 + tan (1 + tan ) · = tan + (1 + tan ( )) · ( ) · = tan ( ) + ( ) = 1 cos 1 cos · = tan + 1 cos ( ) · ( ) · = tan ( ) + Funcions trigonomètriques inverses ( ) = 1 1 1 1 · = arcsin + 1 1 ( ) · ( ) · = arcsin ( ) + ( ) = 1 1 1 1 · = arccos + 1 1 ( ) · ( ) · = arccos ( ) + ( ) = 1 1 + 1 1 + · = arctan + 1 1 + ( ) · ( ) · = arctan ( ) + Integració per parts · = · · SELECTIVITAT CATALUNYA (Proves d'Accés a la Universitat) PROBABILITAT Intersecció: conjunt/succés format pels elements que pertanyen alhora als dos subconjunts.
Unió: conjunt/succés format per tots els elements que són diferents en els dos subconjunts.
Probabilitat d'un succés: Nombre de casos favorables A Nombre de casos possibles P Probabilitat d'un succés contrari: A 1 A P P Probabilitat de que succeeixi A i B (intersecció): A B A B A B P P P P Probabilitat de que succeeixi A o B (unió): A B A B A B P P P P Probabilitat de que no succeeixi A o que no succeeixi B (Morgan): A B A B 1 A B P P P Probabilitat de que no succeeixi ni A ni B (Morgan): A B A B 1 A B P P P Probabilitat de que només succeeixi un dels dos successos: A B A A B P P P Probabilitat condicionada: A B A " B B P P P Successos independents Probabilitat de la intersecció (A i B independents): A B A B P P P Probabilitat condicionada (A i B independents): A B A B A " B A B B P P P P P P P Teorema de la probabilitat total 1 1 2 2 B A B " A A B " A ...
A B " A n n P P P P P P P Teorema de Bayes B " A A A " B B P P P P Combinatòria Mostres ordenades sense reemplaçaments: , 1 1 ... 1 n k P n n n n k Mostres ordenades amb reemplaçaments: , k n k PR n Mostres no ordenades sense reemplaçaments: , ! ! ! n k n n C k k n k Mostres no ordenades amb reemplaçaments: , 1 ! 1 ! 1 ! n k n k n k CR k k n Variables aleatòries Bernoulli: 0 ; 1 ~ 0 1 1 , P X p X P X p Binomial: ~ 0,1,2,..., 1 1 , n k k n P X k p p k X n n