1. Definició i tipus de matrius
Flashcards
- Què és una matriu?
- Un conjunt d'elements (nombres) ordenats en files i columnes, designat habitualment amb lletres majúscules.
- Què indiquen els subíndexs $i$ i $j$ a l'element $a_{ij}$?
- El subíndex $i$ indica la fila i el subíndex $j$ indica la columna a la qual pertany.
- Com es defineix la matriu oposada $-A$ d'una matriu $A$?
- És la matriu que s'obté canviant cadascun dels elements de $A$ pel seu oposat: $-A = (-a_{ij})$.
- Quina estructura general representa aquesta disposició d'elements?
- La representació general d'una matriu de dimensió $m \times n$, amb $m$ files i $n$ columnes.
Preguntes tipus test
- Si una matriu $A$ té una dimensió de $3 \times 4$, quants elements té en total i quantes columnes la formen?
- a) Conté 7 elements en total i està formada per 3 columnes.
- b) Conté 12 elements en total i està formada per 3 columnes.
- c) Conté 12 elements en total i està formada per 4 columnes.
- d) Conté 7 elements en total i està formada per 4 columnes.
Resposta: c) Conté 12 elements en total i està formada per 4 columnes.. La dimensió $m \times n$ indica que la matriu té $m$ files i $n$ columnes; per tant, $3 \times 4$ té 3 files, 4 columnes i $3 \cdot 4 = 12$ elements.
- Quina condició és indispensable perquè dues matrius $A$ i $B$ siguin considerades iguals?
- a) Tenir la mateixa dimensió i que els elements que ocupen la mateixa posició siguin idèntics.
- b) Tenir dimensions transposades i complir que la suma de tots els seus coeficients coincideixi.
- c) Tenir el mateix nombre d'elements encara que la seva disposició en files i columnes sigui diferent.
- d) Ser totes dues matrius quadrades i compartir els mateixos valors a la diagonal principal.
Resposta: a) Tenir la mateixa dimensió i que els elements que ocupen la mateixa posició siguin idèntics.. Dues matrius són iguals si i només si tenen la mateixa dimensió i cadascun dels elements de les mateixes posicions coincideixen.
- Com es construeix la matriu transposada $A^t$ a partir d'una matriu original $A$?
- a) Intercanviant ordenadament les files per les columnes de la matriu.
- b) Substituint tots els elements externs a la diagonal principal per zeros.
- c) Multiplicant tots els elements de la matriu pel nombre total de files.
- d) Canviant de signe cadascun dels coeficients sense alterar la seva posició original.
Resposta: a) Intercanviant ordenadament les files per les columnes de la matriu.. La matriu transposada $A^t$ s'obté intercanviant respectivament les files per les columnes de la matriu $A$.
2. Operacions amb matrius i propietats
Flashcards
- Com es defineix la suma de dues matrius $A$ i $B$ de dimensió $m \times n$?
- És una altra matriu $S$ de dimensió $m \times n$ on cada element s'obté com $s_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$.
- Quina estructura algebraica forma el conjunt $\mathcal{M}_{m \times n}$ amb la suma i el producte per escalar?
- Forma un espai vectorial, denotat com $(\mathcal{M}_{m \times n}, +, \cdot)$.
- Quin procés descriu el següent esquema general del producte de matrius?
- L'obtenció de cada terme $p_{ij}$ multiplicant escalarment la fila $i$ de la primera matriu per la columna $j$ de la segona.
- Com són les matrius identitat d'ordre 2 i d'ordre 3 que actuen com a element neutre?
- Són matrius quadrades amb uns a la diagonal principal i zeros a totes les altres posicions.
Preguntes tipus test
- Quina condició és indispensable perquè dues matrius $A$ i $B$ es puguin sumar o restar?
- a) El nombre de columnes de $A$ ha de ser igual a les files de $B$.
- b) Han de tenir exactament la mateixa dimensió $m \times n$.
- c) Els seus determinants han de ser estrictament diferents de zero.
- d) Han de ser totes dues matrius quadrades del mateix ordre.
Resposta: b) Han de tenir exactament la mateixa dimensió $m \times n$.. Per poder sumar o restar dues matrius han de tenir la mateixa dimensió $m \times n$, sumant o restant els elements que ocupen exactament la mateixa posició.
- Com s'anomena la propietat expressada per la igualtat $\alpha \cdot (A + B) = \alpha \cdot A + \alpha \cdot B$?
- a) Propietat distributiva de la suma de reals respecte a matrius.
- b) Propietat distributiva de l'escalar respecte a la suma de matrius.
- c) Propietat associativa mixta entre nombres reals i matrius.
- d) Propietat commutativa del producte d'un escalar per una matriu.
Resposta: b) Propietat distributiva de l'escalar respecte a la suma de matrius.. La propietat $\alpha \cdot (A + B) = \alpha \cdot A + \alpha \cdot B$ correspon a la distributiva del producte d'un nombre real respecte a la suma de matrius.
- Quina condició sobre les dimensions és necessària per poder calcular el producte de matrius $A \cdot B$?
- a) El nombre de files de $A$ ha de ser igual al nombre de columnes de $B$.
- b) Les dues matrius han de tenir la mateixa dimensió exacta $m \times n$.
- c) El nombre de files de $A$ ha de ser igual al nombre de files de $B$.
- d) El nombre de columnes de $A$ ha de coincidir amb el nombre de files de $B$.
Resposta: d) El nombre de columnes de $A$ ha de coincidir amb el nombre de files de $B$.. Si $A$ té dimensió $m \times n$ i $B$ té dimensió $p \times q$, el producte només és possible si el nombre de columnes de la primera coincideix amb les files de la segona, és a dir, $n = p$.
3. Matrius equivalents i mètode de Gauss
Flashcards
- Què són dues matrius equivalents per files?
- Són matrius que es poden transformar l'una en l'altra mitjançant una seqüència d'operacions elementals de files.
- Quines són les tres operacions elementals de fila?
- Intercanviar dues files ($F_i \leftrightarrow F_j$), multiplicar una fila per un escalar no nul ($F_i \rightarrow kF_i$), i sumar a una fila una altra multiplicada per constants no nul·les.
- Què és l'entrada principal d'una fila no nul·la?
- És el primer element diferent de zero d'aquella fila situat més a l'esquerra.
- Quines propietats caracteritzen la matriu esglaonada representada en aquest esquema?
- Files nul·les a baix, entrades principals desplaçades progressivament cap a la dreta i zeros per sota de cadascuna.
Preguntes tipus test
- Quina de les transformacions següents NO constitueix una operació elemental de fila permesa?
- a) Sumar a una fila una altra fila multiplicada per un escalar no nul.
- b) Intercanviar la posició de dues files entre si.
- c) Multiplicar tots els elements d'una fila per una constant diferent de zero.
- d) Multiplicar tots els elements d'una fila per zero.
Resposta: d) Multiplicar tots els elements d'una fila per zero.. Les operacions elementals permeten multiplicar una fila per una constant $k$ sempre que aquesta sigui diferent de zero ($k \neq 0$). Multiplicar per zero destruiria la informació de la fila.
- Quan es considera que dues matrius són equivalents per files?
- a) Quan tenen exactament els mateixos coeficients en les mateixes posicions.
- b) Quan la suma de tots els elements de la matriu dóna el mateix resultat escalar.
- c) Quan es pot passar de l'una a l'altra mitjançant una seqüència d'operacions elementals de files.
- d) Quan tenen el mateix nombre de files i columnes sense necessitat d'operacions.
Resposta: c) Quan es pot passar de l'una a l'altra mitjançant una seqüència d'operacions elementals de files.. Dues matrius són equivalents per files si es pot transformar una matriu en una altra aplicant una successió d'operacions elementals de fila.
- En una matriu esglaonada per files, quina posició han d'ocupar les files que tenen tots els elements nuls?
- a) Han de situar-se a la part inferior de la matriu.
- b) Han d'aparèixer exactament a la posició que tenien a la matriu inicial.
- c) Poden aparèixer intercalades entre les files no nul·les.
- d) Han de situar-se a la part superior de la matriu.
Resposta: a) Han de situar-se a la part inferior de la matriu.. Una de les propietats definitòries de la forma esglaonada és que les files nuls, si existeixen, han de quedar situades a la part inferior de la matriu.
4. Matriu inversa i equacions matricials
Flashcards
- Quina condició defineix la matriu inversa $A^{-1}$ d'una matriu quadrada $A$?
- Compleix la igualtat $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$, on $I$ és la identitat.
- Quina és la fórmula de la inversa del producte $(A \cdot B)^{-1}$?
- La inversa del producte és $(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$.
- A partir de la reducció de Gauss-Jordan de , quin és el rang de la matriu?
- Té rang 2, ja que a l'esquerra només queden dues files amb pivot no nul.
- Com s'aïlla $X$ a l'equació matricial $A \cdot X \cdot A = B$?
- Multiplicant per l'esquerra i per la dreta per $A^{-1}$: $X = A^{-1} \cdot B \cdot A^{-1}$.
Preguntes tipus test
- Com s'anomena una matriu quadrada que no admet matriu inversa?
- a) Matriu singular
- b) Matriu simètrica
- c) Matriu regular
- d) Matriu identitat
Resposta: a) Matriu singular. Una matriu quadrada és invertible o regular si té inversa, i s'anomena singular quan no en té.
- Quina és la propietat correcta per a la inversa del producte de dues matrius invertibles $(A \cdot B)^{-1}$?
- a) $(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$
- b) $(A \cdot B)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$
- c) $(A \cdot B)^{-1} = (A^{-1} \cdot B)^{-1}$
- d) $(A \cdot B)^{-1} = (B \cdot A)^{-1}$
Resposta: a) $(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$. La inversa d'un producte inverteix l'ordre dels factors: $(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$.
- Com es resol correctament l'equació matricial $A \cdot X = B$ si la matriu $A$ és regular?
- a) $X = B^{-1} \cdot A$
- b) $X = \dfrac{B}{A}$
- c) $X = B \cdot A^{-1}$
- d) $X = A^{-1} \cdot B$
Resposta: d) $X = A^{-1} \cdot B$. Com que el producte matricial no és commutatiu, s'ha de multiplicar per l'esquerra per $A^{-1}$ a ambdós costats, obtenint $X = A^{-1} \cdot B$.
5. Rang d'una matriu pel mètode de Gauss
Flashcards
- Què és el rang d'una matriu segons el mètode de Gauss?
- És el nombre de files no nul·les de la matriu equivalent en la seva forma esglaonada.
- Quina notació s'utilitza per indicar el rang d'una matriu $A$?
- S'expressa com $\text{rg}(A)$ o $\text{rang}(A)$.
Preguntes tipus test
- Com es defineix el rang d'una matriu mitjançant el mètode de Gauss?
- a) El nombre total de columnes que contenen almenys un element no nul.
- b) La quantitat d'operacions elementals necessàries per triangularitzar-la.
- c) El nombre de files no nul·les de la matriu equivalent esglaonada per files.
- d) La suma dels elements que formen la diagonal principal de la matriu.
Resposta: c) El nombre de files no nul·les de la matriu equivalent esglaonada per files.. El rang d'una matriu ve donat pel nombre de files no nul·les que queden un cop obtinguda la matriu equivalent en la seva forma esglaonada per files.
- Si esglaonem una matriu $B$ de dimensió $3\times 4$ i obtenim dues files no nul·les i una fila de zeros, quin és el seu rang?
- a) El rang és $4$
- b) El rang és $3$
- c) El rang és $1$
- d) El rang és $2$
Resposta: d) El rang és $2$. En obtenir una forma esglaonada amb dues files que tenen elements diferents de zero i una fila completament nul·la, el rang de la matriu és exactament $2$.
- Per a una matriu $C$ de dimensió $4\times 2$, quin és el rang màxim que pot assolir en aplicar el mètode de Gauss?
- a) Pot tenir com a màxim rang $4$.
- b) Pot tenir com a màxim rang $1$.
- c) Pot tenir com a màxim rang $2$.
- d) Pot tenir com a màxim rang $3$.
Resposta: c) Pot tenir com a màxim rang $2$.. Una matriu amb $2$ columnes només pot tenir com a màxim dues entrades principals o esglaons; per tant, en la seva forma esglaonada no pot tenir més de $2$ files no nul·les.
6. Definició i càlcul de determinants d'ordre 2 i 3
Flashcards
- Què és el determinant d'una matriu quadrada?
- És un nombre associat a una matriu quadrada, representat com $|A|$ o $\det(A)$.
- Com es calcula el determinant d'ordre 2?
- $|A| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ (diagonal principal menys diagonal secundària).
- Quina regla mnemotècnica permet calcular determinants d'ordre 3?
- La regla de Sarrus.
- Quants productes componen la fórmula de la regla de Sarrus?
- Sis productes: tres que sumen (sentit diagonal principal) i tres que resten (sentit diagonal secundària).
Preguntes tipus test
- Com es calcula el determinant d'una matriu quadrada d'ordre 2, $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$?
- a) Multiplicant els elements de la diagonal principal i sumant el producte de la secundària.
- b) Sumant tots els elements de la matriu i dividint pel nombre total de files i columnes.
- c) Multiplicant els elements de la diagonal principal i restant el producte de la secundària.
- d) Restant el producte de la diagonal principal del producte de la diagonal secundària.
Resposta: c) Multiplicant els elements de la diagonal principal i restant el producte de la secundària.. El determinant d'una matriu d'ordre 2 s'obté multiplicant els elements de la diagonal principal ($a_{11}a_{22}$) i restant el producte dels elements de la diagonal secundària ($a_{12}a_{21}$).
- Quin és el valor del determinant de la matriu $B = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$?
- a) El resultat del determinant és $+11$.
- b) El resultat del determinant és $-5$.
- c) El resultat del determinant és $+5$.
- d) El resultat del determinant és $-11$.
Resposta: d) El resultat del determinant és $-11$.. Seguint la fórmula, fem $(-1)\cdot 3 - (-2)\cdot(-4) = -3 - 8 = -11$.
- Aquest diagrama il·lustra el mètode per calcular determinants d'ordre 3: Quin nom rep aquest procediment?
- a) La regla mnemotècnica de Sarrus.
- b) El mètode d'eliminació de Gauss.
- c) La regla de resolució de Cramer.
- d) El teorema de Rouché-Frobenius.
Resposta: a) La regla mnemotècnica de Sarrus.. El diagrama representa el desenvolupament del determinant d'ordre 3 conegut com a regla de Sarrus, on tres productes sumen i tres productes resten.
7. Propietats dels determinants
Flashcards
- Com es calcula $|k \cdot A|$ per a una matriu quadrada d'ordre $n$?
- $|k \cdot A| = k^n \cdot |A|$, on $k$ és l'escalar i $n$ la dimensió.
- Quina relació hi ha entre el determinant de $A$ i de $A^t$?
- Són idèntics: $|A| = |A^t|$. El vàlid per files ho és per columnes.
- Com canvia un determinant si es permuten dues línies paral·leles?
- El determinant canvia de signe (es multiplica per $-1$).
- A què equival el determinant del producte $|A \cdot B|$?
- Al producte dels determinants: $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$.
Preguntes tipus test
- Si una matriu quadrada $A$ d'ordre $3$ té determinant $|A| = 5$, quin serà el valor del determinant $|2A|$?
- a) $25$, en multiplicar-se l'ordre de la matriu pel valor original
- b) $80$, atès que l'escalar es multiplica per la dimensió i pel valor inicial
- c) $10$, ja que es multiplica el valor del determinant pel nombre $2$
- d) $40$, perquè l'escalar s'eleva a la dimensió multiplicant el determinant
Resposta: d) $40$, perquè l'escalar s'eleva a la dimensió multiplicant el determinant. D'acord amb la propietat del producte per un escalar, $|k \cdot A| = k^n \cdot |A|$. Com que la dimensió és $n = 3$ i l'escalar és $k = 2$, el resultat és $2^3 \cdot 5 = 8 \cdot 5 = 40$.
- Què succeeix amb el valor d'un determinant quan s'intercanvien dues de les seves columnes?
- a) El determinant canvia de signe i es converteix en el seu oposat
- b) El valor del determinant es multiplica per l'ordre de la matriu
- c) El seu valor numèric es manté completament inalterat
- d) El determinant esdevé automàticament nul en permutar les columnes
Resposta: a) El determinant canvia de signe i es converteix en el seu oposat. La permutació de dues files o dues columnes paral·leles provoca que el determinant canviï de signe.
- Quina de les operacions següents NO altera el valor numèric d'un determinant?
- a) Multiplicar tots els termes d'una fila per un escalar no nul
- b) Sumar a una columna una combinació lineal de les altres columnes
- c) Substituir una fila per una altra fila paral·lela de la matriu
- d) Intercanviar dues columnes paral·leles de la matriu quadrada
Resposta: b) Sumar a una columna una combinació lineal de les altres columnes. Sumar a una línia una combinació lineal de les restants línies paral·leles manté el determinant totalment invariable.
8. Teorema de Laplace i determinants d'ordre superior
Flashcards
- Com s'obté el menor complementari $\alpha_{ij}$?
- Determinant d'ordre $n-1$ obtingut en eliminar la fila $i$ i la columna $j$.
- Quina és la fórmula de l'adjunt $A_{ij}$?
- $A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \alpha_{ij}$
- Quin patró de signes segueixen els adjunts segons la seva posició?
- Un patró alternat de signes positius i negatius, començant per $+$ a la posició $(1,1)$.
- Com es calcula el determinant d'una matriu triangular?
- Multiplicant tots els elements de la diagonal principal.
Preguntes tipus test
- Com es defineix el menor complementari d'un element $a_{ij}$ en una matriu quadrada d'ordre $n$?
- a) Com la matriu d'ordre $n-1$ resultant d'eliminar la fila $i$ i la columna $j$
- b) Com el determinant resultant de canviar el signe de tots els elements adjacents
- c) Com el producte dels elements que no pertanyen a la fila $i$ ni a la columna $j$
- d) Com el determinant d'ordre $n-1$ obtingut en eliminar la fila $i$ i la columna $j$
Resposta: d) Com el determinant d'ordre $n-1$ obtingut en eliminar la fila $i$ i la columna $j$. El menor complementari d'un element és el determinant d'ordre $n-1$ que s'obté en suprimir la fila i la columna on es troba aquest element.
- Quina és la relació exacta entre l'adjunt $A_{ij}$ i el menor complementari $\alpha_{ij}$?
- a) $A_{ij} = (-1)^{i \cdot j} \cdot \alpha_{ij}$
- b) $A_{ij} = (i+j) \cdot \alpha_{ij}$
- c) $A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \alpha_{ij}$
- d) $A_{ij} = -\alpha_{ij}$ per a qualsevol element
Resposta: c) $A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \alpha_{ij}$. L'adjunt d'un element és el seu menor complementari precedit pel signe $(-1)^{i+j}$, depenent de si la suma dels seus subíndexs és parell o senar.
- Observant la matriu de signes dels adjunts , quin signe correspon a la posició $(2,3)$?
- a) Signe negatiu, perquè la suma d'índexs $2+3=5$ és un nombre senar
- b) Signe negatiu, perquè tots els elements de la segona fila són negatius
- c) Signe positiu, perquè el producte dels índexs $2 \cdot 3=6$ és parell
- d) Signe positiu, perquè l'índex de columna és superior al de fila
Resposta: a) Signe negatiu, perquè la suma d'índexs $2+3=5$ és un nombre senar. El signe ve determinat per $(-1)^{i+j}$. Com que $2+3=5$ és senar, $(-1)^5 = -1$, corresponent-li un signe negatiu tal com mostra el patró de signes.
9. Rang i matriu inversa mitjançant determinants
Flashcards
- Què és un menor d'ordre $k$?
- El determinant format per la intersecció de $k$ files i $k$ columnes d'una matriu.
- Com es defineix el rang mitjançant determinants?
- És l'ordre del menor de major ordre no nul de la matriu.
- Quina és la fórmula de la matriu inversa $A^{-1}$?
- $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}(\text{Adj}(A))^t$
- Quan és invertible una matriu quadrada $A$?
- Quan el seu determinant és no nul ($|A| \neq 0$).
Preguntes tipus test
- Com es defineix un menor d'ordre $k$ d'una matriu de dimensió $m \times n$?
- a) La submatriu restant després d'eliminar $k$ files i $k$ columnes qualssevol
- b) El producte dels elements de la diagonal principal de dimensió $k \times k$
- c) El determinant obtingut en seleccionar $k$ files i $k$ columnes de la matriu
- d) La suma dels adjunts corresponents als elements de les primeres $k$ files
Resposta: c) El determinant obtingut en seleccionar $k$ files i $k$ columnes de la matriu. Un menor d'ordre $k$ és el determinant d'una submatriu quadrada formada per la intersecció de $k$ files i $k$ columnes.
- Quin és el rang d'una matriu segons el mètode dels determinants?
- a) L'ordre màxim que té un menor no nul trobat dins de la matriu
- b) La dimensió de la fila més gran que tingui almenys un element no nul
- c) El nombre total de menors no nuls que es poden extreure de la matriu
- d) El valor numèric del menor d'ordre més gran calculat a la matriu
Resposta: a) L'ordre màxim que té un menor no nul trobat dins de la matriu. El rang o característica d'una matriu equival a l'ordre del menor de major ordre que sigui diferent de zero.
- Si en una matriu $4 \times 4$ trobem un menor d'ordre $2$ no nul i tots els menors d'ordre $3$ que el contenen són nuls, quin és el rang?
- a) El rang és $1$, ja que cap menor d'ordre $3$ és vàlid
- b) El rang és $4$, ja que la matriu inicial té quatre dimensions
- c) El rang és $3$, perquè existeixen combinacions lineals nul·les
- d) El rang és $2$, perquè cap menor d'ordre superior no és nul
Resposta: d) El rang és $2$, perquè cap menor d'ordre superior no és nul. En orlar el menor d'ordre $2$ no nul, si tots els menors d'ordre $3$ possibles donen zero, el rang de la matriu queda fixat en $2$.
10. Sistemes d'equacions lineals i notació matricial
Flashcards
- Què representa geomètricament el conjunt de solucions d'aquesta equació?
- Representa una recta en el pla bidimensional cartesià.
- Com es classifiquen els sistemes d'equacions segons el nombre de solucions?
- Compatibles determinats (solució única), compatibles indeterminats (infinites solucions) i incompatibles (sense solució).
- Què és la solució trivial d'un sistema homogeni?
- La solució en què totes les incògnites valen zero ($x_i = 0$).
- Quan es diu que dos sistemes d'equacions lineals són equivalents?
- Quan tenen el mateix nombre d'incògnites i comparteixen exactament les mateixes solucions.
Preguntes tipus test
- Com es defineix un sistema compatible indeterminat segons el nombre de solucions?
- a) És un sistema que té una solució única on totes les rectes coincideixen.
- b) És un sistema que no admet cap solució real en el conjunt de punts.
- c) És un sistema que té infinites solucions reals que verifiquen les equacions.
- d) És un sistema que conté exclusivament la solució trivial de valors nuls.
Resposta: c) És un sistema que té infinites solucions reals que verifiquen les equacions.. Un sistema d'equacions lineals és compatible indeterminat quan admet infinites solucions, cosa que geomètricament en dues dimensions correspon a rectes coincidents.
- Quina situació geomètrica representa la següent gràfica de dues equacions amb dues incògnites?
- a) Dues rectes creuades que no tenen cap punt d'intersecció comú.
- b) Dues rectes coincidents que formen un sistema compatible indeterminat.
- c) Dues rectes secants que formen un sistema compatible determinat.
- d) Dues rectes paral·leles que formen un sistema incompatible.
Resposta: c) Dues rectes secants que formen un sistema compatible determinat.. La imatge mostra dues rectes que es tallen en un únic punt; aquest punt de tall correspon a la solució única del sistema compatible determinat.
- Quina propietat fonamental compleix sempre un sistema d'equacions lineal homogeni?
- a) És sempre compatible perquè com a mínim admet la solució trivial nul·la.
- b) És sempre incompatible perquè tots els termes independents s'anul·len.
- c) Té sempre infinites solucions no nul·les independentment del rang.
- d) Només admet solucions formades per nombres enters estrictament positius.
Resposta: a) És sempre compatible perquè com a mínim admet la solució trivial nul·la.. Com que tots els termes independents valen zero ($b_i = 0$), la solució $x_i = 0$ per a totes les incògnites sempre verifica les equacions, fent que el sistema sigui sempre compatible.
11. Resolució amb matriu inversa i sistemes esglaonats
Flashcards
- Com s'expressa la solució matricial d'un sistema $A \cdot X = B$ invertible?
- $X = A^{-1}B$ S'obté multiplicant per $A^{-1}$ per l'esquerra a ambdós costats de la igualtat.
- Quins dos requisits exigeix el mètode de la matriu inversa?
- 1. Matriu de coeficients quadrada ($m = n$). 2. Determinant no nul ($|A| \neq 0$).
- Què és un sistema d'equacions esglaonat?
- És aquell sistema en què la matriu ampliada està en forma esglaonada per files.
- Com es resol eficientment un sistema esglaonat triangular determinat?
- Per substitució regressiva: s'aïlla la darrera incògnita i es substitueix progressivament cap amunt.
Preguntes tipus test
- Quines condicions ha de complir la matriu de coeficients $A$ per resoldre un sistema lineal mitjançant la matriu inversa?
- a) Disposar d'un determinant nul i terme independent no nul.
- b) Tenir més equacions que incògnites i rang màxim per files.
- c) Ser una matriu quadrada amb determinant diferent de zero.
- d) Ser esglaonada reduïda amb tots els pivots iguals a la unitat.
Resposta: c) Ser una matriu quadrada amb determinant diferent de zero.. Per poder aplicar $X = A^{-1}B$, cal que la matriu $A$ tingui inversa, la qual cosa exigeix que sigui quadrada ($m = n$) i que el seu determinant sigui no nul ($|A| \neq 0$).
- Com s'aïlla el vector d'incògnites $X$ a partir de l'expressió matricial $A \cdot X = B$ si existeix $A^{-1}$?
- a) Multiplicant ambdós membres per $A^{-1}$ per la dreta.
- b) Multiplicant ambdós membres per $A^{-1}$ per l'esquerra.
- c) Sumant la matriu inversa $A^{-1}$ a cada costat de la igualtat.
- d) Dividint el vector de termes independents $B$ entre $A$.
Resposta: b) Multiplicant ambdós membres per $A^{-1}$ per l'esquerra.. El producte matricial no és commutatiu. Per transformar $A \cdot X$ en $I \cdot X$, cal multiplicar per l'esquerra: $A^{-1}(A \cdot X) = A^{-1}B$, d'on $X = A^{-1}B$.
- Com es defineix un sistema d'equacions esglaonat?
- a) Un sistema lineal que admet únicament la solució nul·la o trivial.
- b) Un sistema que conté exclusivament dues incògnites per cada equació.
- c) Un sistema on la matriu ampliada està en forma esglaonada per files.
- d) Un sistema quadrat amb el determinant dels coeficients igual a zero.
Resposta: c) Un sistema on la matriu ampliada està en forma esglaonada per files.. Un sistema d'equacions esglaonat és aquell en què la seva matriu ampliada presenta una estructura esglaonada per files, facilitant la resolució per substitució regressiva.
12. Mètode d'eliminació de Gauss i classificació
Flashcards
- Què és un sistema equivalent obtingut per Gauss?
- Un sistema transformat en forma esglaonada que conserva exactament les mateixes solucions.
- Condició de SCD en sistemes quadrats ($n = m$)?
- Última equació $a'_{nn} x_n = b'_n$ amb coeficient $a'_{nn} \neq 0$.
- Com s'identifica un sistema incompatible (SI) a Gauss?
- Apareix una fila矛盾òria amb forma $0 = b'$ on $b' \neq 0$.
- Pot ser un sistema amb $n > m$ compatible determinat?
- Mai. Només pot ser compatible indeterminat (SCI) o incompatible (SI).
Preguntes tipus test
- En un sistema quadrat ($n = m$) esglaonat, com es classifica si l'última equació compleix $a'_{nn} \neq 0$?
- a) Sistema homogeni amb solució no trivial
- b) Sistema compatible determinat (solució única)
- c) Sistema compatible indeterminat (infinites solucions)
- d) Sistema incompatible (sense cap solució)
Resposta: b) Sistema compatible determinat (solució única). Quan el coeficient $a'_{nn}$ de l'última incògnita és diferent de zero, es pot aïllar un valor únic per a $x_n$ i, per substitució cap amunt, obtenir una solució única (SCD).
- Si durant l'esglaonament d'un sistema s'obté una fila corresponent a la igualtat $0 = -3$, quina és la conclusió?
- a) El sistema no té solució (incompatible)
- b) El sistema és compatible indeterminat
- c) Cal continuar fent operacions de fila
- d) El sistema té una solució nul·la
Resposta: a) El sistema no té solució (incompatible). Una igualtat de la forma $0 = b'$ amb $b' \neq 0$ representa una contradicció numèrica impossible, per tant el sistema no té solució (SI).
- En un sistema amb més incògnites que equacions ($n > m$), quina classificació és impossible?
- a) Sistema dependent de paràmetres
- b) Sistema incompatible
- c) Sistema compatible indeterminat
- d) Sistema compatible determinat
Resposta: d) Sistema compatible determinat. Quan hi ha més incògnites que equacions mai no es pot obtenir una solució única (SCD); el sistema només podrà ser compatible indeterminat o incompatible.
13. Teorema de Rouché-Frobenius i sistemes amb paràmetres
Flashcards
- Quin és l'enunciat del teorema de Rouché-Frobenius sobre la compatibilitat d'un sistema?
- Un sistema és compatible si i només si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*)$.
- Com es classifica un sistema si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n$?
- Sistema compatible determinat (SCD), amb una solució única.
- Què caracteritza un sistema compatible indeterminat (SCI) segons els rangs?
- Es compleix $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < n$, tenint infinites solucions.
- Què és un valor sospitós en discutir un sistema per Gauss?
- Valor que fa que la matriu no estigui esglaonada o anul·la una fila sencera.
Preguntes tipus test
- Segons el teorema de Rouché-Frobenius, quina és la condició perquè un sistema tingui solució?
- a) Que el rang de la matriu ampliada superi el rang de la matriu de coeficients.
- b) Que el nombre d'equacions sigui exactament igual al nombre d'incògnites del sistema.
- c) Que el determinant de la matriu de coeficients sigui estrictament superior a zero.
- d) Que el rang de la matriu de coeficients sigui igual al rang de la matriu ampliada.
Resposta: d) Que el rang de la matriu de coeficients sigui igual al rang de la matriu ampliada.. La condició necessària i suficient perquè un sistema sigui compatible és que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*)$.
- En quina situació un sistema lineal amb $n$ incògnites es classifica com a compatible indeterminat (SCI)?
- a) Quan $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n$
- b) Quan $\text{rg}(A) > \text{rg}(A^*)$
- c) Quan $\text{rg}(A) < \text{rg}(A^*)$
- d) Quan $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < n$
Resposta: d) Quan $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < n$. Un sistema és compatible indeterminat quan el rang de la matriu de coeficients i de l'ampliada coincideixen, però aquest valor és estrictament inferior al nombre d'incògnites $n$.
- En quins casos es recomana fer servir el procediment de Gauss per a discutir sistemes amb paràmetres?
- a) Quan hi ha menys incògnites que equacions en el sistema lineal ($n < m$).
- b) Quan hi ha el mateix nombre d'incògnites que d'equacions o més incògnites ($n = m$ i $n > m$).
- c) Exclusivament en sistemes d'equacions lineals que siguin homogenis.
- d) Només quan la matriu ampliada del sistema és d'ordre superior a quatre.
Resposta: b) Quan hi ha el mateix nombre d'incògnites que d'equacions o més incògnites ($n = m$ i $n > m$).. El procediment d'esglaonar per Gauss es recomana especialment per als casos on $n = m$ o $n > m$.
14. Regla de Cramer
Flashcards
- Quines condicions defineixen un sistema de Cramer?
- Té el mateix nombre d'equacions que d'incògnites ($n$) i el determinant dels coeficients no és nul ($|A| \neq 0$).
- Quina és la fórmula general de la regla de Cramer?
- $x_i = \dfrac{\Delta_i}{|A|}$, on $\Delta_i$ substitueix la columna $i$ pels termes independents.
- Quin tipus de sistema és sempre un sistema de Cramer?
- Un sistema compatible determinat (SCD), ja que té una solució única.
Preguntes tipus test
- Quines dues condicions són indispensables perquè un sistema lineal es consideri un sistema de Cramer?
- a) Tenir el mateix nombre d'equacions que d'incògnites i que el determinant de la matriu de coeficients sigui no nul.
- b) Tenir termes independents estrictament nuls i una matriu de coeficients invertible.
- c) Tenir més equacions que incògnites i que la matriu ampliada tingui rang màxim.
- d) Tenir menys equacions que incògnites amb coeficients principals diferents de zero.
Resposta: a) Tenir el mateix nombre d'equacions que d'incògnites i que el determinant de la matriu de coeficients sigui no nul.. Un sistema és de Cramer si el nombre d'equacions és igual al nombre d'incògnites ($n$) i el determinant de la matriu dels coeficients és diferent de zero ($|A| \neq 0$).
- Com es construeix la matriu associada al determinant $\Delta_i$ per trobar la incògnita $x_i$ mitjançant la regla de Cramer?
- a) Sumant els termes independents a cadascun dels coeficients de la fila corresponent a la incògnita.
- b) Substituint la columna dels coeficients de la incògnita $i$-èsima per la columna dels termes independents.
- c) Multiplicant la columna $i$-èsima de la matriu de coeficients pel determinant de la matriu ampliada.
- d) Eliminant completament la fila $i$ i la columna $i$ de la matriu de coeficients del sistema.
Resposta: b) Substituint la columna dels coeficients de la incògnita $i$-èsima per la columna dels termes independents.. El determinant $\Delta_i$ resulta de substituir la columna de la incògnita $i$-èsima per la matriu o columna dels termes independents.
- Si en resoldre un sistema de Cramer de tres incògnites s'obté $|A| = 18$ i $\Delta_x = 36$, quin és el valor de la incògnita $x$?
- a) $x = -2$
- b) $x = 2$
- c) $x = 18$
- d) $x = \dfrac{1}{2}$
Resposta: b) $x = 2$. Segons la regla de Cramer, el valor de la incògnita es calcula com a $x = \dfrac{\Delta_x}{|A|} = \dfrac{36}{18} = 2$.
I 23 flashcards i 31 preguntes més al document.