Text del document
Optimització Maximitzem o minimitzem la funció? SdA 3 - Aplicacions de les derivades 1 / 22 Mapa conceptual Aplicacions Regla de l'Hôpital Teoremes Valor mitjà generalitzat Valor mitjà Rolle Estudi de funcions Optimització Punts d'inflexió Concavitat i convexitat Màxims i mı́nims Creixement i decreixement SdA 3 - Aplicacions de les derivades 2 / 22 Contextualització Les derivades poden servir per . . . Calcular com varia la temperatura d'un tub quan augmenta la pressió en el control de processos industrials. Determinar la força necessària per regirar una mescla a velocitat constant en funció de la seva densitat en variar els ingredients, en el control de qualitat d'aliments.
Estimar la duració de la pila d'un cel.lular en funció del canvi de consum de corrent durant una trucada. SdA 3 - Aplicacions de les derivades 3 / 22 Optimització Definició Optimitzar consisteix en trobar les solucions que maximitzen o minimitzen una funció en unes determinades condicions. Exemples Determina dos nombres que sumin 24 y tals que el producte d'un d'ells pel cub de l'altre sigui màxim. Calcula l'àrea màxima d'un triangle rectangle en el qual la suma dels catets sigui quatre. Es vol barrar un camp rectangular que està al costat d'un camı́. Si la tanca del costat del camı́ costa 80 e/m i la dels altres 10 e/m, troba l'àrea del major camp que pot voltar-se amb 28.800 e.
Entre tots els rectangles inscrits en una circumferència de radi 10 cm, calcula les dimensions del qual tingui àrea màxima. El propietari d'un edifici té llogats els 40 pisos del mateix a un preu de 600 e cadascun. Per cada 60 e que el propietari augmenta el preu observa que perd un inquilı́. A quin preu li convé llogar els pisos per a obtenir el major guany possible?
SdA 3 - Aplicacions de les derivades 4 / 22 Aplicacions de les derivades Teorema de Rolle Sigui una funció f contı́nua a l'interval [a, b], derivable a l'interval (a, b) i tal que f(a) = f(b) = c (a, b) tal que f (c) = 0 3 2 1 1 2 3 4 5 6 2 1 1 2 a b f(a) = f(b) x y SdA 3 - Aplicacions de les derivades 5 / 22 Aplicacions de les derivades Teorema del valor mitjà Sigui una funció f contı́nua a l'interval [a, b], derivable a l'interval (a, b) = c (a, b) tal que f (c) = f(b) f(a) b a 3 2 1 1 2 3 4 5 6 2 1 1 2 b a c x y SdA 3 - Aplicacions de les derivades 6 / 22 Aplicacions de les derivades Teorema del valor mitjà generalitzat Siguin funcions f i g contı́nues a l'interval [a, b], derivables a l'interval (a, b), i g(b) ̸= g(a) = c (a, b) tal que f (c) g (c) = f(b) f(a) g(b) g(a) Cas particular Si g(x) = x = Teorema del valor mitjà generalitzat = Teorema del valor mitjà SdA 3 - Aplicacions de les derivades 7 / 22 Aplicacions de les derivades Regla de l'Hôpital Siguin f i g funcions derivables en un entorn d'a, si lim x a f (x) g (x) = lim x a f(x) g(x) i es compleix lim x a f(x) g(x) = lim x a f (x) g (x) Exemple 1 lim x + ln x x = = lim x + (ln x) (x) = lim x + 1 x 1 = lim x + 1 x = 0 = lim x + ln x x = 0 SdA 3 - Aplicacions de les derivades 8 / 22 Regla de l'Hôpital Exemple 2 lim x + ex ln x = = lim x + (ex) (ln x) = lim x + ex 1 x = lim x + x · ex = + = lim x + ex ln x = + Exemple 3 lim x 0 (x · ln x) = 0 · ( ) = lim x 0 (x · ln x) = lim x 0 ln x 1 x = lim x 0 (ln x) (1 x ) = lim x 0 1 x 1 x2 = lim x 0 x = 0 SdA 3 - Aplicacions de les derivades 9 / 22 Regla de l'Hôpital Exemple 4 lim x 0 (tan x)x = 00 = lim x 0 (tan x)x = lim x 0 (e ln lim x 0 (tan x)x ) = e lim x 0 ln (tan x)x = = e lim x 0 x·ln tan x = e lim x 0 ln tan x 1 x = e0 = 1 lim x 0 ln tan x 1 x = lim x 0 (ln tan x) (1 x ) = lim x 0 1 cos2 x tan x 1 x2 = = lim x 0 x2 sin x · cos x L'Hôpital = lim x 0 2x cos2 x sin2 x = 0 SdA 3 - Aplicacions de les derivades 10 / 22 Domini i recorregut Sigui la funció f : R R x 7 y = f(x) Domini Direm domini d'f al conjunt de valors que pot prendre la variable x, l'escriurem Dom(f) Recorregut Direm recorregut d'f al conjunt de valors que pot prendre la variable y, l'escriurem Rec(f) Gràficament 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 1 2 3 Dom(f) = ( 8, 5] [ 3, 6.5) Rec(f) = [ 2.5, 3] SdA 3 - Aplicacions de les derivades 11 / 22 Talls amb eixos Abscisses Talls amb l'eix d'abscisses ß y = f(x) y = 0 Ordenades Talls amb l'eix d'ordenades ß y = f(x) x = 0 Gràficament 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 1 2 3 SdA 3 - Aplicacions de les derivades 12 / 22 Simetries Parell f és parell f(x) = f( x) x R Imparell f és imparell f(x) = f( x) x R Gràficament 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 2 1 1 2 Gràficament 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 2 1 1 2 SdA 3 - Aplicacions de les derivades 13 / 22 Periodicitat Periodicitat f és periòdica de perı́ode T T > 0 i es compleix f(x + T) = f(x) x R Gràficament 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 2 1 1 2 3 SdA 3 - Aplicacions de les derivades 14 / 22 Ası́mptotes Horitzontal a y = k Si lim x f(x) = k Vertical a x = c Si lim x c f(x) = ± Obliqua a y = mx + n Si lim x f(x) x = m i lim x [f(x) mx] = n Gràficament 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 2 1 1 2 3 Gràficament 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 2 1 1 2 3 Gràficament 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 2 1 1 2 3 SdA 3 - Aplicacions de les derivades 15 / 22 Creixement i decreixement Creixement f és creixent en x = a f (a) > 0 3 2 1 1 2 3 2 1 1 2 x y Decreixement f és decreixent en x = a f (a) < 0 3 2 1 1 2 3 2 1 1 2 x y SdA 3 - Aplicacions de les derivades 16 / 22 Màxims i mı́nims Màxim f té un màxim en x = a ß f (a) = 0 f (a) < 0 3 2 1 1 2 3 2 1 1 2 x y Mı́nim f té un mı́nim en x = a ß f (a) = 0 f (a) > 0 3 2 1 1 2 3 2 1 1 2 x y SdA 3 - Aplicacions de les derivades 17 / 22 Concavitat i convexitat Concavitat f és còncava en x = a f (a) > 0 3 2 1 1 2 3 2 1 1 2 x y Convexitat f és convexa en x = a f (a) < 0 3 2 1 1 2 3 2 1 1 2 x y SdA 3 - Aplicacions de les derivades 18 / 22 Punts d'inflexió Punt d'inflexió f té un punt d'inflexió en x = a f (a) = 0 i f (a) ̸= 0 3 2 1 1 2 3 2 1 1 2 x y SdA 3 - Aplicacions de les derivades 19 / 22 Tipus de funcions Funcions Polinòmiques El domini és R.
Són contı́nues i derivables a R. Són parells si tenen només termes parells. Són imparells si tenen només termes imparells. No són periòdiques. No tenen ası́mptotes. Racionals No estan definides on s'anul.la el denominador. Tenen ası́mptotes verticals als zeros del denominador. Radicals Si l'ı́ndex és parell estan definides pel radicand zero o superior. Si l'ı́ndex és senar el domini és R. Exponencials El domini és el de la funció de l'exponent. Logarı́tmiques Estan definits per valors positius. Funcions a trossos Caldrà estudiar els seus trossos i els punts de canvi de definició.
SdA 3 - Aplicacions de les derivades 20 / 22 Representació de funcions Estudi local d'una f Domini Talls amb els eixos Ası́mptotes Creixement i decreixement Màxims i mı́nims Concavitat i convexitat Punts d'inflexió SdA 3 - Aplicacions de les derivades 21 / 22 Mind map Aplicacions Derivades Optimització Representació de funcions Regla de l'Hôpital Teorema de Rolle Teorema del valor mitjà SdA 3 - Aplicacions de les derivades 22 / 22