Guía de Álgebra y Trigonometría para Agrarias

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Matemática ÁLGEBRA (las letras en matemática) Acá empieza lo que más cuesta. Pero te lo voy a explicar desde cero, sin saltar nada. ¿Por qué aparecen letras? En matemática, las letras representan números que no conocemos. Por ejemplo: x = un número que no sabemos cuánto vale. Es como decir: "un número cualquiera". Ejemplo simple Si digo: x + 3 Estoy diciendo: "Un número cualquiera más 3". Si x = 5 5 + 3 = 8 Si x = 10 10 + 3 = 13 La letra puede cambiar. Expresiones algebraicas Son cuentas que tienen números y letras. Ejemplos: 3x 2x + 5 4x 7 5a + 2b ¿Qué significa 3x? 3x no es 3 + x. Es: 3 × x Siempre que un número está pegado a una letra es multiplicación.

Ejemplo: Si x = 4 3x = 3 × 4 = 12 Términos En una expresión, los términos están separados por + o . Ejemplo: 2x + 5 3x + 7 Tiene 4 términos: 2x 5 3x 7 Términos semejantes (MUY IMPORTANTE) Son los que tienen la misma letra y el mismo exponente. Ejemplo: 2x y 5x son semejantes 3a² y 7a² también Pero: 2x y 2x² NO son semejantes ¿Cómo se suman? Solo se suman los números. Ejemplo: 2x + 5x = 7x Porque: 2 + 5 = 7 Ejemplo paso a paso 2x + 5 3x + 7 Agrupamos semejantes: (2x 3x) + (5 + 7) = 1x + 12 = x + 12 Multiplicar con letras Regla clave: x × x = x² x² × x = x³ Se suman exponentes.

Ejemplo: 2x × 3x = 6x² Porque: 2 × 3 = 6 x × x = x² Potencias con letras x² significa: x × x Ejemplo: Si x = 3 x² = 3² = 9 Ecuaciones (ACÁ EMPIEZA LO IMPORTANTE) Una ecuación es una igualdad. Ejemplo: x + 3 = 10 Resolver es encontrar cuánto vale x. Paso a paso x + 3 = 10 Queremos dejar sola la x. El 3 está sumando. Lo pasamos restando. x = 10 3 x = 7 Otro ejemplo 2x = 8 El 2 está multiplicando. Lo pasamos dividiendo. x = 8 ÷ 2 x = 4 Ecuaciones un poco más largas 3x + 5 = 20 Paso 1: saco el 5 3x = 20 5 3x = 15 Paso 2: saco el 3 x = 15 ÷ 3 x = 5 Errores típicos Cambiar de lado sin cambiar el signo No respetar el orden Dividir solo una parte Siempre lo que hacés en un lado lo hacés en el otro.

Idea clave del álgebra Resolver ecuaciones es: despejar aislar la letra hacer lo contrario de lo que le están haciendo Si suma restás Si multiplica dividís POLINOMIOS ¿Qué es un polinomio? Es una suma o resta de varios términos algebraicos. Ejemplo: 3 2 + 5 2 Eso es un polinomio. Partes de un polinomio Tomemos: 4 3 2 2 + 7 5 Tiene: 4 términos Una variable (x) Distintos exponentes Grado de un polinomio Es el mayor exponente. Ejemplo: 3 4 + 2 2 El mayor exponente es 4 Es de grado 4. Ordenar un polinomio Siempre se ordena de mayor a menor exponente. Correcto: 5 3 + 2 2 + 7 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Se hace sumando términos semejantes.

Ejemplo: (3 2 + 2 ) + (5 2 ) Paso 1: juntar semejantes (3 2 + 5 2 ) + (2 ) Paso 2: 8 2 + MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Caso simple: 2 (3 + 4) Distribuimos: 2 3 + 2 4 6 2 + 8 PRODUCTOS NOTABLES Estos aparecen SIEMPRE en ingreso. 1) Cuadrado de un binomio Fórmula: ( + )2 = 2 + 2 + 2 Ejemplo: ( +3)2 Aplicamos fórmula: 2 + 2 3 + 32 2 + 6 + 9 Caso con resta: ( )2 = 2 2 + 2 Ejemplo: ( 4)2 2 8 + 16 2) Suma por diferencia Fórmula: ( + )( ) = 2 2 Ejemplo: ( + 5)( 5) Resultado: 2 25 Porque: 52 = 25 FACTORIZACIÓN Factorizar es hacer el proceso inverso. Si tengo: 2 + 6 + 9 Me doy cuenta que viene de: ( +3)2 Factor común Ejemplo: 6 + 12 Busco qué tienen en común. Ambos tienen 6.

Saco factor común: 6( + 2) Factor común con letra 8 2 + 4 Ambos tienen: 4x Entonces: 4 (2 + 1) ¿Por qué es tan importante esto? Porque después aparecen: Ecuaciones cuadráticas Problemas de área Problemas de producción Aplicaciones rurales Y todo usa factorización. ECUACIONES CUADRÁTICAS (paso por paso, sin saltar nada) Respirá. Te lo voy a explicar lento y claro. ¿Qué es una ecuación cuadrática? Es una ecuación donde aparece: 2 Forma general: 2 + + = 0 Donde: a = número que multiplica a x² b = número que multiplica a x c = número solo Ejemplo típico: 2 + 5 + 6 = 0 Acá: a = 1 b = 5 c = 6 ¿Cómo se resuelve? Hay dos métodos: 1. Por factorización (cuando se puede) 2.

Con la fórmula general Vamos primero con factorización porque es más simple. MÉTODO 1: FACTORIZACIÓN Ejemplo: 2 + 5 + 6 = 0 Paso 1: Buscar dos números que: multiplicados den 6 sumados den 5 Esos números son: 2 y 3 Porque: 2 × 3 = 6 2 + 3 = 5 Paso 2: Escribir como producto ( + 2)( + 3) = 0 Paso 3: Igualar cada paréntesis a cero x + 2 = 0 x = 2 x + 3 = 0 x = 3 Soluciones: x = 2 x = 3 Otro ejemplo con signo negativo 2 7 + 10 = 0 Busco dos números que: multiplicados den 10 sumados den 7 Son: 5 y 2 Porque: ( 5)( 2) = 10 5 2 = 7 Entonces: ( 5)( 2) = 0 Soluciones: x = 5 x = 2 MÉTODO 2: FÓRMULA GENERAL Se usa cuando no se puede factorizar fácil.

Fórmula: = ± 2 4 2 Lo que está dentro de la raíz se llama: DISCRIMINANTE Δ = 2 4 Ejemplo completo paso por paso 2 2 + 3 2 = 0 Paso 1: identificar valores a = 2 b = 3 c = 2 Paso 2: calcular discriminante Δ = 2 4 Δ = 32 4 2 ( 2) Δ = 9 ( 16) Δ = 25 Paso 3: aplicar fórmula = 3 ± 25 4 = 3 ± 5 4 Caso 1: = 3 + 5 4 = 2 4 = 1 2 Caso 2: = 3 5 4 = 8 4 = 2 Soluciones: x = 1/2 x = 2 ¿Qué significa el discriminante? Si: Δ > 0 tiene 2 soluciones reales Δ = 0 tiene 1 solución Δ < 0 no tiene solución real ¿Para qué sirve esto en Agrarias? Muchísimo.

Se usa para: problemas de área rendimiento máximo optimización producción Ejemplo típico: Un campo rectangular tiene área 200 m² Si el ancho es x y el largo es x + 10 Área = base × altura x(x + 10) = 200 Se arma una ecuación cuadrática. SISTEMAS DE ECUACIONES Esto ya es nivel un poquito más arriba, pero tranquila que te lo explico como clase privada. ¿Qué es un sistema? Es cuando tenés dos ecuaciones y dos incógnitas. Ejemplo: + = 10 = 2 Tenemos: x y Y queremos encontrar cuánto vale cada una.

MÉTODO 1: SUMA Y RESTA (el más fácil) Tomemos el ejemplo: + = 10 = 2 Paso 1: sumar las ecuaciones ( + ) + ( ) = 10 + 2 Se cancelan las y: 2 = 12 = 6 Paso 2: reemplazar en una ecuación Usamos: + = 10 6 + = 10 = 4 Solución: x = 6 y = 4 MÉTODO 2: SUSTITUCIÓN Ejemplo: = 2 + = 9 Paso 1: reemplazar Como y = 2x, lo pongo en la otra ecuación: + 2 = 9 3 = 9 = 3 Paso 2: buscar y = 2 = 2 3 = 6 Solución: x = 3 y = 6 ¿Para qué sirve en Agrarias? Muchísimo. Ejemplo típico: En un campo hay gallinas y vacas. En total hay 30 animales. En total hay 80 patas.

Gallinas 2 patas Vacas 4 patas Planteamos: x = gallinas y = vacas Sistema: + = 30 2 + 4 = 80 Resolvemos: Primero simplifico la segunda: + 2 = 40 Ahora resto: ( + 2 ) ( + ) = 40 30 = 10 Entonces: + 10 = 30 = 20 Hay 20 gallinas y 10 vacas. FUNCIONES (Muy importante ahora) Una función es cuando una variable depende de otra. Ejemplo: = 2 + 1 Significa: Si cambia x cambia y. Función lineal Forma: = + m = pendiente b = donde corta el eje y Ejemplo: = 3 + 2 Si x = 1 y = 5 Si x = 2 y = 8 Es una recta. FUNCIÓN CUADRÁTICA Forma: = 2 + + Ejemplo: = 2 Eso forma una parábola. Vértice (importantísimo) Fórmula: = 2 Sirve para encontrar máximo o mínimo.

Aplicación rural típica Un productor tiene: ( ) = 2 2 + 40 Eso es rendimiento. Queremos saber cuándo es máximo. Paso 1: a = -2 b = 40 = 40 2( 2) = 10 El máximo se da en x = 10. INECUACIONES (desigualdades) Respirá porque esto es más fácil de lo que parece. ¿Qué es una inecuación? Es como una ecuación, pero en vez de "=" tiene: (mayor que) < (menor que) (mayor o igual) (menor o igual) Ejemplo: + 3 > 7 Cómo se resuelve (igual que ecuaciones) Ejemplo: + 3 > 7 Paso 1: restar 3 > 4 Listo. Significa: x puede ser cualquier número mayor que 4. Regla IMPORTANTÍSIMA Si multiplicás o dividís por un número NEGATIVO… EL SIGNO SE DA VUELTA Esto es clave. Ejemplo: 2 > 6 Dividimos por 2.

Pero como es negativo… < 3 Se dio vuelta el signo. Inecuaciones con paréntesis Ejemplo: 2( + 3) 10 Paso 1: distribuir 2 + 6 10 Paso 2: restar 6 2 4 Paso 3: dividir por 2 2 Inecuaciones cuadráticas Ejemplo: 2 5 + 6 > 0 Paso 1: factorizar ( 2)( 3) > 0 Ahora pensamos: ¿Cuándo es positivo un producto? Es positivo cuando: ambos son positivos ambos son negativos Los puntos importantes son: x = 2 x = 3 Probamos intervalos: Si x < 2 positivo Si 2 < x < 3 negativo Si x > 3 positivo Solución: < 2o > 3 ¿Para qué sirve esto en Agrarias? Ejemplo típico: Un productor quiere que la ganancia sea mayor a 1000.

2 2 + 40 > 1000 Se arma una inecuación cuadrática y se busca el rango donde la ganancia supera cierto valor. Ahora hacemos un EJERCICIO INTEGRADOR tipo examen Problema: Un campo rectangular tiene 100 m². El largo mide 5 metros más que el ancho. ¿Cuáles son las dimensiones? Paso 1: plantear Ancho = x Largo = x + 5 Área: ( + 5) = 100 Paso 2: desarrollar 2 + 5 = 100 Pasamos todo a un lado: 2 + 5 100 = 0 Paso 3: fórmula general a = 1 b = 5 c = -100 Δ = 25 + 400 = 425 = 5 ± 425 2 425 20,6 7,8o 12,8 Descartamos el negativo. Ancho 7,8 m Largo 12,8 m TRIGONOMETRÍA (pero explicada sin vueltas) Respirá. No es difícil. Solo hay que entender qué está pasando.

Triángulo rectángulo Todo empieza con un triángulo que tiene un ángulo de 90°. Tiene: Hipotenusa el lado más largo (enfrente del ángulo recto) Cateto opuesto Cateto adyacente Depende desde qué ángulo estés mirando. Razones trigonométricas (lo MÁS importante) Hay 3 que tenés que saber sí o sí: sin ( ) = opuesto hipotenusa cos ( ) = adyacente hipotenusa tan ( ) = opuesto adyacente Truco para acordarte SOH - CAH - TOA S Opuesto / Hipotenusa C Adyacente / Hipotenusa T Opuesto / Adyacente Ejemplo básico Supongamos: Hipotenusa = 10 Cateto opuesto = 6 Queremos el seno. sin ( ) = 6/10 = 0,6 Listo. ¿Y si quiero encontrar un lado? Ejemplo: Un árbol proyecta una sombra. El ángulo del sol es 30°.

La sombra mide 5 m. Queremos la altura del árbol. La sombra es el adyacente. La altura es el opuesto. Usamos tangente: tan (30°) = opuesto adyacente tan (30°) = 5 Sabemos que: tan (30°) 0,577 Entonces: 0,577 = 5 Multiplicamos por 5: 2,88 Altura 2,9 m. Pitágoras (base de todo) En triángulo rectángulo: hipotenusa2 = 2 + 2 Ejemplo: Si los catetos miden 3 y 4: 2 = 9 + 16 = 25 = 5 Aplicación en Agrarias Se usa para: calcular pendientes calcular distancias medir alturas diseñar sistemas de riego Ejemplo típico: Una rampa sube 2 metros en 10 metros de recorrido.

Pendiente: tan ( ) = 2/10 = 0,2 Ángulo 11° Valores importantes que conviene memorizar Ángulo seno coseno tangente 30° 0,5 0,866 0,577 45° 0,707 0,707 1 60° 0,866 0,5 1,73 GEOMETRÍA (la que sí entra en el ingreso) Te la explico ordenada y aplicada como para Agrarias PERÍMETRO Es la suma de todos los lados. Rectángulo = 2( + ) Ejemplo: Base = 10 Altura = 5 = 2(10 + 5) = 30 ÁREA (MUY IMPORTANTE) Es la superficie que ocupa.

Rectángulo = × Ejemplo: 10 × 5 = 50 m² Cuadrado = 2 Si lado = 8 = 64 Triángulo = × 2 Ejemplo: Base = 10 Altura = 6 = 30 Círculo (MUY usado en riego) = 2 Si radio = 5 = 3,14 × 25 78,5 Volúmenes (para silos, tanques, etc.) Prisma rectangular = × × Ejemplo: 10 × 5 × 3 = 150 m³ Cilindro = 2 Ejemplo: Radio = 2 Altura = 10 = 3,14 × 4 × 10 125,6 Problema típico de campo (bien explicado) Un lote rectangular mide 200 m de largo y 100 m de ancho. En el centro hay un sistema de riego circular de radio 30 m. Pregunta: ¿Cuánta superficie queda sin riego?

Paso 1: área total del lote 200 × 100 = 20.000 2 Paso 2: área del círculo = 3,14 × 302 = 3,14 × 900 2.826 2 Paso 3: restar 20.000 2.826 17.174 2 Superficie sin riego 17.174 m² Escalas (aparece mucho) Si 1 cm representa 100 m Y en el plano mide 5 cm Entonces en la realidad: 5 × 100 = 500