1. Concepte de matriu
Flashcards
- Definició de matriu
- Conjunt de nombres ordenats en files i columnes.
- Com es designen les matrius?
- Amb una lletra majúscula.
- Què indica la dimensió d'una matriu?
- El nombre de files i columnes que té.
- Què és un vector?
- Una matriu amb una sola fila o columna.
Preguntes tipus test
- Què representa la dimensió d'una matriu?
- a) El nombre total d'elements a la matriu.
- b) El nombre de files i columnes que té.
- c) La suma de tots els elements de la matriu.
- d) El valor més gran entre els elements de la matriu.
Resposta: b) El nombre de files i columnes que té.. La dimensió d'una matriu indica el nombre de files i columnes que la componen, proporcionant una estructura per localitzar cada element.
- Com s'anomena una matriu que té el mateix nombre de files que de columnes?
- a) Matriu rectangular.
- b) Matriu diagonal.
- c) Matriu quadrada.
- d) Matriu triangular.
Resposta: c) Matriu quadrada.. Una matriu quadrada és aquella on el nombre de files és igual al nombre de columnes, essent un cas especial de matriu.
- Quina característica defineix una matriu diagonal?
- a) Tots els seus elements són 1.
- b) Tots els elements fora de la diagonal principal són zero.
- c) Té el mateix nombre de files i columnes.
- d) Els elements de la diagonal principal sumen zero.
Resposta: b) Tots els elements fora de la diagonal principal són zero.. En una matriu diagonal, tots els elements que no es troben a la diagonal principal són iguals a zero.
2. Tipus de matrius
Flashcards
- Què és un vector en termes de matrius?
- Una matriu amb una sola fila o columna.
- Defineix una matriu quadrada.
- Matriu amb el mateix nombre de files i columnes.
- Quina és la característica principal d'una matriu diagonal?
- Elements fora de la diagonal són zero.
- Què és una matriu identitat?
- Matriu diagonal amb la diagonal principal igual a 1.
Preguntes tipus test
- Quina de les següents matrius és un exemple de matriu quadrada?
- a) Una matriu de dimensió 3x2
- b) Una matriu de dimensió 4x1
- c) Una matriu de dimensió 5x5
- d) Una matriu de dimensió 2x3
Resposta: c) Una matriu de dimensió 5x5. Una matriu quadrada té el mateix nombre de files i columnes, per tant, una matriu 5x5 compleix aquesta condició.
- Quina característica defineix una matriu diagonal?
- a) Tots els elements són iguals a 1.
- b) Tots els elements fora de la diagonal principal són zero.
- c) Té el mateix nombre de files que de columnes.
- d) Tots els elements són diferents de zero.
Resposta: b) Tots els elements fora de la diagonal principal són zero.. En una matriu diagonal, tots els elements que no es troben a la diagonal principal són iguals a zero.
- Què és una matriu identitat?
- a) Una matriu amb tots els elements iguals a zero.
- b) Una matriu diagonal amb tots els elements de la diagonal principal iguals a 1.
- c) Una matriu amb totes les files i columnes iguals.
- d) Una matriu amb elements aleatoris.
Resposta: b) Una matriu diagonal amb tots els elements de la diagonal principal iguals a 1.. Una matriu identitat és un tipus especial de matriu diagonal on tots els elements de la diagonal principal són 1.
3. Matriu transposada
Flashcards
- Què és la matriu transposada?
- És la matriu que s'obté intercanviant les files per les columnes d'una matriu donada.
- Com s'anota la matriu transposada de A?
- At
- Si A és de dimensió m x n, quina és la dimensió de At?
- n x m
- Quina és la transposada d'una matriu simètrica?
- La mateixa matriu simètrica.
Preguntes tipus test
- Quina de les següents afirmacions descriu millor la matriu transposada?
- a) Una matriu on els elements de la diagonal principal són tots 1.
- b) Una matriu obtinguda intercanviant les files i columnes de la matriu original.
- c) Una matriu que és igual a la seva pròpia inversa.
- d) Una matriu on tots els elements són zero.
Resposta: b) Una matriu obtinguda intercanviant les files i columnes de la matriu original.. La matriu transposada s'obté intercanviant les files per les columnes de la matriu original.
- Si A és una matriu de dimensió m x n, quina és la dimensió de la seva matriu transposada At?
- a) m x n
- b) n x m
- c) m x m
- d) n x n
Resposta: b) n x m. La dimensió de la matriu transposada At és n x m, on n és el nombre de files i m és el nombre de columnes de la matriu original A.
- Si A és una matriu simètrica, quina relació hi ha entre A i la seva transposada At?
- a) At = -A
- b) At = A
- c) At = A⁻¹
- d) At = 0
Resposta: b) At = A. Per a una matriu simètrica, la matriu transposada és igual a la matriu original, és a dir, At = A.
4. Suma i resta de matrius
Flashcards
- Quina condició han de complir dues matrius per poder sumar-les?
- Han de tenir la mateixa dimensió.
- Com s'obtenen els elements de la matriu suma?
- Sumant els elements corresponents de les matrius originals.
- Què és la matriu nul·la?
- És la matriu amb tots els seus elements iguals a zero.
- Quina és la propietat commutativa de la suma de matrius?
- A + B = B + A
Preguntes tipus test
- Quina condició han de complir dues matrius per poder ser sumades o restades?
- a) Han de tenir el mateix nombre d'elements.
- b) Han de ser matrius quadrades.
- c) Han de tenir la mateixa dimensió.
- d) Han de tenir almenys una fila o columna en comú.
Resposta: c) Han de tenir la mateixa dimensió.. Per sumar o restar matrius, és imprescindible que tinguin exactament la mateixa dimensió (mateix nombre de files i columnes).
- Si A i B són matrius de dimensió m x n, quina és la dimensió de la matriu resultant de la suma A + B?
- a) m + n
- b) Depèn dels valors dels elements de A i B.
- c) m x n
- d) n x m
Resposta: c) m x n. Quan sumes o restes matrius de la mateixa dimensió, la matriu resultant conserva la mateixa dimensió que les matrius originals.
- Quina és la matriu que, sumada a qualsevol altra matriu A, dona com a resultat la matriu A?
- a) La matriu identitat.
- b) La matriu oposada de A.
- c) La matriu nul·la.
- d) La matriu transposada de A.
Resposta: c) La matriu nul·la.. La matriu nul·la (matriu amb tots els seus elements iguals a zero) actua com a element neutre en la suma de matrius.
5. Producte d'un nombre per una matriu
Flashcards
- Com es defineix el producte d'un nombre per una matriu?
- Multiplicar cada element de la matriu pel nombre.
- Què passa si multipliques una matriu per 0?
- Resulta en la matriu nul·la.
- Quina és la propietat distributiva del producte d'un nombre per una matriu?
- k·(A + B) = k·A + k·B
- Com afecta multiplicar una matriu per 1?
- No canvia la matriu.
Preguntes tipus test
- Quina de les següents operacions representa el producte d'un nombre k per una matriu A?
- a) D = A + k
- b) D = A - k
- c) D = k * A
- d) D = A / k
Resposta: c) D = k * A. El producte d'un nombre k per una matriu A es defineix com la matriu resultant de multiplicar cada element de A per k, representat com D = k * A.
- Si multipliquem una matriu A per 0, quin és el resultat?
- a) La matriu A original
- b) La matriu identitat
- c) La matriu nul·la
- d) Una matriu amb tots els elements iguals a 1
Resposta: c) La matriu nul·la. Multiplicar una matriu per 0 resulta en una matriu nul·la, on tots els elements són zero.
- Quina propietat del producte d'un nombre per una matriu es representa amb l'equació k·(A + B) = k·A + k·B?
- a) Propietat commutativa
- b) Propietat associativa
- c) Propietat distributiva
- d) Propietat de l'element neutre
Resposta: c) Propietat distributiva. L'equació k·(A + B) = k·A + k·B representa la propietat distributiva del producte d'un nombre per una suma de matrius.
6. Producte de matrius
Flashcards
- Quina condició han de complir dues matrius per poder ser multiplicades?
- El nombre de columnes de la primera matriu ha de ser igual al nombre de files de la segona matriu.
- Si A és una matriu m x p i B és una matriu p x n, quina és la dimensió de la matriu producte A · B?
- m x n
- És commutativa la multiplicació de matrius?
- No, en general A · B ≠ B · A.
- Si A · B = O, implica això que A = O o B = O?
- No necessàriament.
Preguntes tipus test
- Quina condició s'ha de complir per poder multiplicar dues matrius A i B?
- a) Han de tenir el mateix nombre de files.
- b) Han de ser matrius quadrades.
- c) El nombre de columnes de A ha de ser igual al nombre de files de B.
- d) El nombre de files de A ha de ser igual al nombre de columnes de B.
Resposta: c) El nombre de columnes de A ha de ser igual al nombre de files de B.. Per multiplicar dues matrius, el nombre de columnes de la primera matriu ha de ser igual al nombre de files de la segona matriu. Això permet que els elements es puguin aparellar per a la suma dels productes.
- Si A és una matriu de dimensió m x p i B és una matriu de dimensió p x n, quina és la dimensió de la matriu resultant C = A · B?
- a) p x p
- b) m x n
- c) n x m
- d) p x (m+n)
Resposta: b) m x n. La matriu resultant C tindrà el nombre de files de A (m) i el nombre de columnes de B (n), per tant, la seva dimensió serà m x n.
- Quina és la principal diferència entre la multiplicació de nombres reals i la multiplicació de matrius?
- a) La multiplicació de matrius sempre és commutativa.
- b) La multiplicació de nombres reals requereix que els factors tinguin la mateixa dimensió.
- c) La multiplicació de matrius no sempre és commutativa.
- d) La multiplicació de matrius sempre dóna com a resultat la matriu identitat.
Resposta: c) La multiplicació de matrius no sempre és commutativa.. A diferencia dels nombres reals, la multiplicació de matrius no sempre compleix la propietat commutativa. En altres paraules, A·B no sempre és igual a B·A.
7. Càlcul de determinants 2x2 i 3x3
Flashcards
- Què és el determinant d'una matriu?
- Un nombre que depèn dels elements de la matriu.
- Com s'anota el determinant d'una matriu A?
- det A o |A|
- Quin mètode s'utilitza per calcular determinants 2x2 i 3x3?
- Mètode de Sarrus
- Què passa amb el determinant si intercanviem dues files?
- Canvia de signe
Preguntes tipus test
- Quin és el mètode que s'utilitza per calcular determinants de matrius d'ordre 2 i 3?
- a) Mètode de Gauss
- b) Mètode de Sarrus
- c) Mètode de Cramer
- d) Mètode de Newton
Resposta: b) Mètode de Sarrus. El mètode de Sarrus és l'específicament mencionat al text per al càlcul de determinants de matrius 2x2 i 3x3.
- Què passa amb el determinant si intercanviem dues files d'una matriu?
- a) No canvia
- b) Esdevé zero
- c) Canvia de signe
- d) Es multiplica per dos
Resposta: c) Canvia de signe. La Propietat 1 dels determinants indica que si intercanviem dues files, el determinant canvia de signe.
- Si multipliquem una fila d'una matriu per un nombre, què passa amb el determinant?
- a) No canvia
- b) Es divideix pel nombre
- c) Es multiplica pel nombre
- d) Esdevé zero
Resposta: c) Es multiplica pel nombre. La Propietat 2 estableix que si multipliquem una fila per un nombre, el determinant queda multiplicat per aquest nombre.
8. Propietats dels determinants
Flashcards
- Què passa amb el determinant si intercanviem dues files?
- Canvia de signe
- Com afecta multiplicar una fila per un nombre al determinant?
- Es multiplica per aquest nombre
- Quin és l'efecte de sumar una combinació lineal d'altres files a una fila en el determinant?
- No varia
- Quin és el valor del determinant si una fila és zero?
- 0
Preguntes tipus test
- Què passa amb el determinant si intercanviem dues files d'una matriu?
- a) El determinant esdevé zero.
- b) El determinant no canvia.
- c) El determinant canvia de signe.
- d) El determinant es multiplica per dos.
Resposta: c) El determinant canvia de signe.. Segons la Propietat 1, intercanviar dues files d'una matriu canvia el signe del seu determinant.
- Si multipliquem una fila d'una matriu per un nombre, què passa amb el determinant?
- a) El determinant es divideix pel mateix nombre.
- b) El determinant es manté igual.
- c) El determinant es multiplica pel mateix nombre.
- d) El determinant esdevé 1.
Resposta: c) El determinant es multiplica pel mateix nombre.. La Propietat 2 estableix que multiplicar una fila d'una matriu per un nombre multiplica el determinant per aquest mateix nombre.
- Si sumem a una fila una combinació lineal de les altres, què passa amb el determinant?
- a) El determinant esdevé zero.
- b) El determinant canvia de signe.
- c) El determinant no varia.
- d) El determinant es multiplica per un escalar.
Resposta: c) El determinant no varia.. La Propietat 3 indica que sumar a una fila una combinació lineal de les altres no altera el valor del determinant.
9. Càlcul de determinants d'ordre superior
Flashcards
- Què és el menor d'un element aij en una matriu?
- El determinant de la submatriu que resulta d'eliminar la fila i i la columna j de la matriu original.
- Com es calcula l'adjunt Aij d'un element aij?
- Aij = (-1)^(i+j) * Mij, on Mij és el menor de aij.
- Quina és la fórmula general per calcular el determinant d'una matriu d'ordre superior?
- Expansió per cofactors: det(A) = Σ aij * Aij (per alguna fila i o columna j).
- Com afecta l'intercanvi de dues files al determinant d'una matriu?
- Canvia el signe del determinant.
Preguntes tipus test
- Quin és el primer pas per calcular un determinant d'ordre superior?
- a) Sumar tots els elements de la matriu.
- b) Triar una fila o columna de la matriu.
- c) Multiplicar tots els elements de la diagonal principal.
- d) Dividir la matriu en matrius més petites.
Resposta: b) Triar una fila o columna de la matriu.. El primer pas en el càlcul de determinants d'ordre superior és triar una fila o columna per començar l'expansió.
- Què representa el menor d'un element en el càlcul de determinants?
- a) El valor absolut de l'element.
- b) La suma dels elements adjacents.
- c) El determinant de la submatriu resultant d'eliminar la fila i columna de l'element.
- d) El producte de l'element per la seva posició.
Resposta: c) El determinant de la submatriu resultant d'eliminar la fila i columna de l'element.. El menor d'un element és el determinant de la matriu que queda després d'eliminar la fila i columna corresponent a aquest element.
- Com es calcula l'adjunt d'un element en una matriu?
- a) Multiplicant l'element pel seu menor.
- b) Sumant l'element al seu menor.
- c) Aplicant la fórmula (-1)^(i+j) multiplicat pel menor de l'element.
- d) Dividint l'element pel seu menor.
Resposta: c) Aplicant la fórmula (-1)^(i+j) multiplicat pel menor de l'element.. L'adjunt d'un element es calcula amb la fórmula Aij = (-1)^(i+j) * Mij, on Mij és el menor de l'element.
I 54 flashcards i 36 preguntes més al document.
Text del document
2n BAT CT 1.- Matrius i determinants 1.- Concepte de matriu 2.- Tipus de matrius 3.- Matriu transposada. 4.- Suma i resta de matrius. 5.- Producte d'un nombre per una matriu. 6.- Producte de matrius. 7.- Càlcul de determinants 2x2 i 3x3 8.- Propietats dels determinants 9.- Càlcul de determinants d'ordre superior 1.- Concepte de matriu Una matriu és un conjunt de nombres ordenats en files i columnes. Els horaris dels trens, la graella de notes, les taules de freqüències, etc. en són exemples pràctics de matrius. En el cas de les notes, cada fila correspon a les notes d'un alumne i cada columna les notes d'una prova.
Si a la fila 3, columna 2, hi ha un 7, això vol dir que el tercer alumne de la llista ha tret un 7 a la segona prova. Prova 1 Prova 2 Prova 3 ... Pere 8 5 7 ... Marta 5 10 8 ... Joana 9 7 10 ... Claudia 8 6 9 ... ... ... ... ... ... Les matrius es designen amb una lletra majúscula i els nombres que la componen s'escriuen entre uns parèntesis grans. La dimensió d'una matriu indica el nombre de files i columnes que té. Una matriu de dimensió 4x3 té 4 files i 3 columnes, en total té 12 elements (nombres). Cada element es designa amb una lletra minúscula i dos subíndex que indiquen la seva posició (la fila i la columna).
1 2n BAT CT Activitats de comprensió La taula següent ens mostra la població activa el tercer trimestre de 1996: homes dones total ocupada 8.170.990 4.353.530 12.524.520 en atur 1.687.860 1.827.120 3.514.980 total 9.858.850 6.180.650 16.039.500 a) Escriu la matriu corresponent a les dades anteriors. b) Quina és la dimensió d'aquesta matriu? c) Quant val l'element a12? I el a23? I el a33? d) Quin element ens determina la població d'homes en atur? Donada la matriu a) Quina és la seva dimensió? b) Quant val l'element a34? I el a14? I el a52? c) Quins elements són igual a 0?
Escriu la matriu de dimensió 2x4 que compleix que aij= i+j 2.- Tipus de matrius Igual que hi ha de diferents tipus de triangles: rectangle, equilàter, etc. segons les seves característiques; de matrius també. Veiem-ne alguns tipus: - Un vector és un matriu que té uns sola fila o una sóla columna - Una matriu quadrada és una matriu que té el mateix nombre de files que de columnes. És una matriu de dimensió n x n, o també es diu d'ordre n. 2 2n BAT CT - Una matriu diagonal és una matriu quadrada en que els elements fora de la diagonal són zero, és a dir que els elements aij = 0 per a i j .
- Una matriu identitat és una matriu diagonal amb tots els elements de la diagonal igual a 1, és a dir, una matri amb aij = 0 per a i j i amb aii = 1. - Una matriu triangular inferior és una matriu en la qual els elements per sobre de la diagonal són zero, és a dir, els elements aij = 0 per a i < j . Una matriu triangular superior és una matriu en la qual els elements per sota de la diagonal són zero, és a dir, els elements aij = 0 per a i > j . - Una matriu simètrica és una matriu quadrada en la qual es compleix que els elements aij = aji per a tots els valors i, j. Una matriu antisimètrica és una matriu quadrada en la qual es compleix que els elements aij = - aji per a tots els valors i, j.
Una matriu A és simètrica At = A Una matriu a és antisimètrica At = - A Activitats de comprensió Posa un exemple de matriu diagonal d'ordre 3 en què els elements de la diagonal sumin zero. Posa un exemple de matriu triangular superior en la que l'element a13 = 5. Quant val a31? I si en comptes de matriu triangular superior fos una matriu simètrica, quant valdria a31? I si fos antisimètrica, quant valdria a31? Com són els elements de la diagonal d'una matriu antisimètrica? 3 2n BAT CT 3.- Matriu transposada. Donada una matriu qualsevol A, podem posar els elements de cadascuna de les files en columnes, formant una nova matriu.
Aquesta nova matriu es diu matriu transposada de la matriu A i s'anota com At . En un llenguatge més matemàtic. Donada una matriu A de dimensió m x n, podem considerar una altra matriu que anomenarem transposada de la matriu A (la indicarem mitjançant At ), de dimensió n x m, de manera que els seus elements aij són els aji de la matriu A, per a tots els valors i, j. Activitats de comprensió Quina és la matriu transposada d'una matriu simètrica? Com és la matriu transposada d'una matriu triangular superior? Quina dimensió té la matriu ? Troba la matriu transposada de la matriu 4.- Suma i resta de matrius.
Activitat de comprensió Una cadena de supermercats ha obtingut durant els dos últims anys els beneficis següents (en milers d'euros): 2018 Super compra Bon menjar BBB 2019 Super compra Bon menjar BBB Vic 132 124 117 Vic 132 125 130 Amposta 78 75 69 Amposta 79 73 87 Sitges 201 191 185 Sitges 201 187 205 a) Construeix una matriu per als beneficis de l'any 2018 i una altra matriu per al beneficis de l'any 2019. 4 2n BAT CT b) Quin són els beneficis acumulats al supermercat BBB de Sitges? c) Construeix una matriu que ens doni la informació dels beneficis acumulats durant els dos anys. d) En quin supermercat de quina localitat ha obtingut els millors beneficis acumulats.
e) Quin ha estat l'augment en els beneficis del supermercat Bon menjar de Vic? f) Construeix una matriu que ens doni la informació de l'augment de beneficis en aquests dos anys. g) On s'han donat les pèrdues és grans? Per sumar o restar dues matrius, cal que tinguin la mateixa dimensió. Si A i B tenen dimensió mxn, la matriu C=A+B i D=A-B també tindran dimensió, mxn. Els elements de la matriu suma i de la matriu resta, s'obtenen suman i restant respectivament els elements de les matrius A i B.
cij = aij + bij cij = aij - bij La suma de matrius compleix les propietats següents: A + B = B + A (propietat commutativa) A + (B + C) = (A + B) + C (propietat associativa) A + O = A (O és la matriu nul·la, l'element neutre) A + (-A) = O (-A és la matriu oposada, l'element oposat) Aquesta darrera propietat de la suma ens permet definir la resta com la suma de l'oposat: A - B = A + (-B) 5.- Producte d'un nombre per una matriu. Activitat de comprensió La taula següents ens indica els preus, sense IVA, d'una càmera fotogràfica i els seus complements: Preu (€) Càmera 390 Objectiu zoom 70-300 480 Objectiu gran angular 12 350 a) Escriu la matriu corresponent a la taula anterior.
b) Per calcular el preu amb IVA de la càmera, cal multiplicar 390 per 1,21. Escriu la matriu corresponent als preus amb IVA de la càmera i els seus complements. Donada una matriu A de dimensió mxn, definim el producte d'un nombre k per la matriu A com la matriu D = k·A, que té per elements de A multiplicats per k: dij = k· aij 5 2n BAT CT El producte d'un nombre per una matriu compleix les cinc propietats següents: k·(A + B) = k·A + k·B 1· A = A (r + s)·A = r·A + s·A 0· A = O (r·s)·A = r·(s·A) Activitat de comprensió Donades les matrius calcula: a) A + B b) 2·A c) -3·B d) 10·A - 4·B e) 7· (A + B) f) 2·(5A + 2B) g) (2 -3) (6·A - 5·A) h) 2·(5A - 2B) 6.- Producte de matrius.
Activitat de comprensió En dues plantes industrials es munten dos models de motos: Sport i Clàssic. En el procés de muntatge intervenen tres seccions: motor, carrosseria i complements. Les taules següents ens informen de les hores de necessàries pel muntatge i el cost per hora: hores motor carrosseria complements sou per hora Planta I Planta II Model Sport 6 8 7 motor 7 6 Model Clàssic 5 6 4 carrosseria 9 8 complements 7 9 a) Escriu les dues matrius corresponents a les taules anteriors. b) Comprova que el cost de fabricació d'una moto model Sport a la planta industrial I és de 163€.
c) Completa la taula següent: Planta I Planta II model Sport 163 model Clàssic d) En quina planta el cost de muntatge és menor? 6 2n BAT CT e) Escriu la matriu corresponent a la taula de l'apartat c. Pensa com es poden obtenir aquesta matriu a partir de les matrius de l'apartat a. El que acabem de veure és un exemple pràctic de multiplicació de matrius. Per multiplicar dues matrius cal que el nombre de columnes de la primera matriu (seccions de muntatge) sigui igual que el nombre de files de la segona matriu (seccions de muntatge). El resultat serà una matriu que tindrà tantes files com té la primera matriu (models de motos) i tantes columnes com té la segona matriu (plantes de muntatge).
Amxp · Bpxn = Cmxn En els vídeos següents tens una explicació de com es calcula el producte de dues matrius: Activitat de comprensió Donades les matrius A, B, C i D: 7 2n BAT CT a) Calcula A·B i B·A. Què hi observes? b) Calcula A·C i C·A. Què hi observes? c) Calcula C·D i D·C. Què hi observes? El producte de matrius té les propietats següents: A·(B·C) = (A·B)·C Propietat associativa A·(B+C) = A·B + A·C Propietat distributiva per l'esquerra (B+C)·A = B·A + C·A Propietat distributiva per la dreta.
k·(A·B) = (k·A)·B = A·(k·B) A·I =I·A = A Amb I la matriu identitat Tingues en compte que en general: A·B B·A No es compleix sempre la propietat commutativa Si A·B = O no sempre A = O o B = O Si C·A = C·B amb C O no sempre A = B 7.- Càlcul de determinants 2x2 i 3x3 A cada matriu quadrada se li assigna un nombre que depèn dels elements que la componen. Aquest nombre s'anomena determinant de la matriu i s'anota det A o bé "A". Veiem amb exemples com es calcula el determinant de matrius d'ordre 2 i d'ordre 3. Es tracta del mètode de Sarrus. En el vídeo següent el tens explicat pas a pas.
8 2n BAT CT Activitat de comprensió Calcula els determinants següents: 8.- Propietats dels determinants Els determinants compleixen moltes propietats. Aquí en tens algunes de les més importants: Propietat 1: Si intercanviem dues files de la matriu, el determinant queda canviat de signe. Propietat 2: Si multipliquem (o dividim) una fila de la matriu per un nombre, el determinant queda multiplicat (o dividit) per aquest nombre. Propietat 3: Si a una fila li sumem una combinació lineal de les altres, el determinant no varia. Propietat 4: Si una fila és zero, el determinant és 0. 9 2n BAT CT Propietat 5: Si una fila és combinació lineal de les altres, el determinant és zero.
Propietat 6: Si descomponem els elements d'una fila com a suma de dos nombres el determinant de la matriu és la suma dels determinants de les dues matrius que es formen amb els dos sumands. Propietat 7: El determinant d'una matriu coincideix amb el determinant de la seva transposada. Això implica que tot el que s'ha dit per a files també es compleix per a les columnes. " A " = " AT " Propietat 8: El determinant del producte de dues matrius és igual al producte dels determinants. " A·B " = " A " · " B " Activitat de comprensió Justifica perquè aquest determinant és 0: Justifica perquè aquests determinants són iguals: Si el determinant d'una matriu és 0, què podem dir de la matriu?
10 2n BAT CT 9.- Càlcul de determinants d'ordre superior Mitjançant un exemple veurem com es calcula un determinant d'ordre superior a 3. Volem calcular el determinant de la matriu A: 1.- Triem una fila o columna de la matriu, la que vulguem; per exemple la tercera columna. 2.- Seleccionem el primer element de la fila o columna triada i ratllem la resta d'elements de la columna i de la fila. Els elements restant, formen una nova matriu d'un ordre inferior anomenada menor de l'element a13 i l'escriurem com 13 .
3.- Calcularem el determinant d'aquesta nova matriu: " 13" = -39 4.- Segons la posició que ocupi el nombre seleccionat (el -5) caldrà canviar de signe el valor obtingut: En aquest cas és + i no caldrà canviar de signe.
Aquest valor (-39) s'anomena adjunt de l'element a31 i també es pot calcular amb la fórmula: Aij = (-1)i+j · ij A13 = (-1)1+3 · 13 = -39 5.- Tornem a repetir els passos 2 a 4 amb la resta d'elements de la fila o columna triada: 11 2n BAT CT 6.- Finalment, el determinant de la matriu A és la suma dels productes dels diferents nombres pels seus adjunts: "A" = a13·A13 + a23·A23 + a33·A33 + a43·A43 = (-5)·(-39) + 1·(-55) + 2·87 + 3·114 = 656 Activitats de comprensió Tu, quina columna o fila haguessis triat? Per què? Troba el determinant de les matrius següents: Com es pot calcular el determinant d'una matriu diagonal? Què faries per calcular d'una manera més ràpida el determinant de la matriu A?
Una manera més efectiva de calcular el determinant d'una matriu el trobaràs en l'exemple següent. Volem calcular el determinant de la matriu següent: 12 2n BAT CT Localitzem una fila o columna que tingui zeros i/o que tingui un 1 o -1. Per exemple en aquest cas a la fila 2 apareix un 0 i l'element a21 = 1. Triem aquesta fila i el valor 1. Amb la primera columna anem a fer 0 el 4 i el -5 de la segona fila: C3 C3 - 4C1 C4 C4 +5C1 Ara: Podem utilitzar la mateixa idea per calcular aquest determinant 3x3 El vídeo següent et pot ajudar a entendre millor el procediment de calcular el determinant d'una matriu d'ordre qualsevol.
13 2n BAT CT Activitat de comprensió Troba el determinant de la matriu següent: 14