1. Equacions de Rectes i Plans
Flashcards
- Què necessitem per definir una recta en l'espai?
- Un punt i un vector director.
- Què necessitem per definir un pla en l'espai?
- Tres punts no alineats.
- Com es defineix un pla amb un punt i dos vectors?
- Un punt i dos vectors linealment independents.
- Com es defineix una recta amb dos plans?
- Dos plans no paral·lels.
Preguntes tipus test
- Què es necessita per definir una recta a partir de dos punts P i Q?
- a) Només el punt P.
- b) El punt P i el vector u = PQ.
- c) Només el vector u = PQ.
- d) Un pla perpendicular a P.
Resposta: b) El punt P i el vector u = PQ.. Per definir una recta a partir de dos punts P i Q, necessitem un punt P i el vector u = PQ que determina la direcció de la recta.
- Quina és una forma de definir un pla?
- a) Dos punts alineats.
- b) Una recta i un punt fora d'aquesta recta.
- c) Tres punts no alineats.
- d) Dos plans paral·lels.
Resposta: c) Tres punts no alineats.. Un pla es pot definir a partir de tres punts que no estiguin alineats.
- Si tenim dos plans π₁ i π₂ que no són paral·lels, què determinen?
- a) Un punt.
- b) Una recta.
- c) Un altre pla.
- d) L'espai sencer.
Resposta: b) Una recta.. Dos plans que no són paral·lels es tallen en una recta.
2. La recta
Flashcards
- Què és un vector director d'una recta?
- És un vector que indica la direcció de la recta.
- Què representa l'equació d'una recta?
- La relació que han de verificar les coordenades de tots els punts de la recta.
- Quina informació necessitem per definir una recta a l'espai?
- Un punt i un vector director.
- Com s'anomenen les equacions on aïllem el paràmetre λ?
- Equacions contínues de la recta.
Preguntes tipus test
- Quina és la condició que han de verificar les coordenades d'un punt perquè pertanyi a una recta?
- a) Han de satisfer l'equació vectorial de la recta.
- b) Han de ser múltiples del vector director de la recta.
- c) Han de ser iguals a les coordenades del punt conegut de la recta.
- d) Han de sumar zero.
Resposta: a) Han de satisfer l'equació vectorial de la recta.. L'equació d'una recta estableix la relació que han de complir les coordenades de tots i cadascun dels punts que pertanyen a la recta. Aquesta relació es defineix a través de l'equació vectorial.
- Si tenim l'equació vectorial d'una recta, què podem determinar directament?
- a) Només un punt de la recta.
- b) Un punt i un vector director de la recta.
- c) Només el vector director de la recta.
- d) L'angle que forma la recta amb l'eix X.
Resposta: b) Un punt i un vector director de la recta.. L'equació vectorial d'una recta ens proporciona directament un punt per on passa la recta i un vector que indica la direcció de la recta.
- Quina informació addicional proporciona l'equació paramètrica d'una recta respecte a l'equació vectorial?
- a) L'equació paramètrica proporciona més punts concrets de la recta.
- b) L'equació paramètrica no proporciona informació addicional.
- c) L'equació paramètrica permet calcular la distància al origen.
- d) L'equació paramètrica ens dona directament les coordenades del punt mig de la recta.
Resposta: b) L'equació paramètrica no proporciona informació addicional.. Tant l'equació vectorial com les equacions paramètriques proporcionen la mateixa informació: un punt de la recta i un vector director.
3. Equacions paramètriques
Flashcards
- Què són les equacions paramètriques d'una recta?
- Una forma d'expressar les coordenades de cada punt d'una recta en termes d'un paràmetre.
- Què representa (x₀, y₀, z₀) a les equacions paramètriques?
- Un punt conegut per on passa la recta.
- Què representa (u₁, u₂, u₃) a les equacions paramètriques?
- El vector director de la recta.
- Quin és el paper del paràmetre λ en les equacions paramètriques?
- Permet generar tots els punts de la recta en variar el seu valor.
Preguntes tipus test
- Què representen x₀, y₀, i z₀ a les equacions paramètriques d'una recta?
- a) Les components d'un vector perpendicular a la recta.
- b) Les coordenades d'un punt per on passa la recta.
- c) Els angles que forma la recta amb els eixos.
- d) La distància de la recta a l'origen.
Resposta: b) Les coordenades d'un punt per on passa la recta.. A les equacions paramètriques, x₀, y₀, i z₀ representen les coordenades d'un punt específic per on passa la recta a l'espai.
- Què representen u₁, u₂ i u₃ a les equacions paramètriques d'una recta?
- a) Les coordenades d'un punt a l'infinit.
- b) Les components d'un vector director de la recta.
- c) Els moments d'inèrcia de la recta.
- d) Les unitats imaginàries en la recta.
Resposta: b) Les components d'un vector director de la recta.. u₁, u₂ i u₃ representen les components del vector director de la recta, indicant la direcció en què s'estén la recta a l'espai.
- Quin paper juga el paràmetre λ a les equacions paramètriques d'una recta?
- a) Determina la curvatura de la recta.
- b) Escala les components del vector director per generar tots els punts de la recta.
- c) Defineix el pendent de la recta en cada punt.
- d) Representa una constant universal de proporcionalitat.
Resposta: b) Escala les components del vector director per generar tots els punts de la recta.. El paràmetre λ escala les components del vector director, permetent generar tots els punts al llarg de la recta a mesura que λ varia.
4. Equacions contínues
Flashcards
- Què representen x₀, y₀, i z₀ en les equacions contínues d'una recta?
- Les coordenades d'un punt conegut de la recta.
- Què representen u₁, u₂, i u₃ en les equacions contínues d'una recta?
- Les components del vector director de la recta.
- Com s'obtenen les equacions contínues a partir de les equacions paramètriques?
- Aïllant el paràmetre λ de cadascuna de les equacions paramètriques.
- Quina condició s'ha de complir perquè un punt pertanyi a una recta expressada en forma d'equacions contínues?
- Les coordenades del punt han de satisfer la igualtat entre les tres expressions de les equacions contínues.
Preguntes tipus test
- Quines equacions s'obtenen en aïllar λ de les equacions paramètriques?
- a) Equacions vectorials
- b) Equacions contínues
- c) Equacions paramètriques
- d) Equacions implícites
Resposta: b) Equacions contínues. Aïllar λ de les equacions paramètriques resulta en les equacions contínues de la recta.
- Què representen les variables x, y, i z en les equacions contínues d'una recta?
- a) Un punt conegut de la recta
- b) Un vector director de la recta
- c) Un punt genèric de la recta
- d) El valor del paràmetre λ
Resposta: c) Un punt genèric de la recta. Les variables x, y, i z representen les coordenades d'un punt qualsevol que pertany a la recta.
- Què indiquen els denominadors en les equacions contínues d'una recta?
- a) Les coordenades d'un punt de la recta
- b) Les components del vector director de la recta
- c) El valor del paràmetre λ
- d) Les distàncies als eixos de coordenades
Resposta: b) Les components del vector director de la recta. Els denominadors corresponen a les components del vector director de la recta, proporcionant la direcció de la recta en l'espai.
5. El pla
Flashcards
- Què es necessita per determinar un pla?
- La seva orientació i un punt.
- Com s'expressa l'orientació d'un pla?
- Mitjançant dos vectors no paral·lels (linealment independents).
- Què és l'equació d'un pla?
- La relació que han de verificar les coordenades (x, y, z) de tots els punts del pla.
- Què determinen els punts P i X en l'equació vectorial d'un pla?
- Els vectors posició p = OP i x = OX, respectivament.
Preguntes tipus test
- Què necessitem per expressar l'orientació d'un pla?
- a) Un vector paral·lel.
- b) Dos vectors paral·lels.
- c) Dos vectors no paral·lels.
- d) Un punt i un vector.
Resposta: c) Dos vectors no paral·lels.. Per expressar l'orientació d'un pla, necessitem dos vectors que no siguin paral·lels, és a dir, dos vectors linealment independents.
- Quina és la relació que han de verificar les coordenades de tots els punts d'un pla?
- a) L'equació vectorial del pla.
- b) L'equació paramètrica del pla.
- c) L'equació general del pla.
- d) L'equació d'un pla.
Resposta: d) L'equació d'un pla.. L'equació d'un pla és la relació que han de verificar les coordenades (x, y, z) de tots i cadascun dels punts del pla.
- Què determinen els vectors linealment independents en l'equació vectorial d'un pla?
- a) Un punt genèric del pla.
- b) L'orientació del pla.
- c) La posició del pla respecte a l'origen.
- d) La normal al pla.
Resposta: b) L'orientació del pla.. En l'equació vectorial d'un pla, els vectors linealment independents determinen l'orientació del pla.
6. Equació vectorial
Flashcards
- Què necessitem per determinar un pla?
- Un punt i dos vectors no paral·lels.
- Què expressa l'equació vectorial d'un pla?
- La relació que han de verificar les coordenades de tots i cadascun dels punts del pla.
- En l'equació vectorial x = p + λu + μv, què representen u i v?
- Dos vectors linealment independents que determinen l'orientació del pla.
- Com s'anomenen les expressions que permeten expressar les coordenades d'un punt en funció de paràmetres?
- Equacions paramètriques del pla.
Preguntes tipus test
- Quina és la condició essencial perquè dos vectors determinin l'orientació d'un pla?
- a) Han de ser paral·lels.
- b) Han de ser perpendiculars.
- c) Han de ser linealment independents.
- d) Han de tenir la mateixa magnitud.
Resposta: c) Han de ser linealment independents.. Per a determinar l'orientació d'un pla, els dos vectors han de ser linealment independents, és a dir, no han de ser paral·lels ni múltiples l'un de l'altre.
- Què representa l'equació vectorial d'un pla?
- a) Una recta en l'espai.
- b) Un punt específic en el pla.
- c) La relació que han de complir les coordenades de tots els punts del pla.
- d) Un vector perpendicular al pla.
Resposta: c) La relació que han de complir les coordenades de tots els punts del pla.. L'equació vectorial d'un pla expressa la condició que han de satisfer les coordenades (x, y, z) per a pertànyer al pla.
- En l'equació vectorial d'un pla, x = p + λu + μv, què representen λ i μ?
- a) Vectors directors del pla.
- b) Punts concrets del pla.
- c) Escalars que permeten combinar els vectors u i v.
- d) Les coordenades del punt P.
Resposta: c) Escalars que permeten combinar els vectors u i v.. λ i μ són escalars que multipliquen els vectors directors u i v, permetent generar qualsevol punt del pla a partir del punt P.
7. Equacions paramètriques del pla
Flashcards
- Què són les equacions paramètriques d'un pla?
- Expressions que descriuen els punts d'un pla en funció de paràmetres.
- Quins elements es necessiten per definir les equacions paramètriques d'un pla?
- Un punt del pla i dos vectors linealment independents.
- Com s'obté un punt del pla a partir de les equacions paramètriques?
- Donant valors als paràmetres λ i μ.
- Què passa si els vectors directors d'un pla són linealment dependents?
- No defineixen un pla, sinó una recta.
Preguntes tipus test
- Què representen els paràmetres λ i μ en les equacions paramètriques del pla?
- a) Valors fixos que defineixen un punt específic del pla.
- b) Variables que, en variar, permeten obtenir diferents punts del pla.
- c) Constants que determinen la distància del pla a l'origen.
- d) Angles que defineixen l'orientació del pla respecte als eixos.
Resposta: b) Variables que, en variar, permeten obtenir diferents punts del pla.. Els paràmetres λ i μ són variables que, en prendre diferents valors, permeten generar les coordenades de diferents punts que pertanyen al pla.
- Quina condició han de complir els vectors ū i v per tal que l'expressió amb ells defineixi un pla?
- a) Ser ortogonals entre si.
- b) Ser linealment dependents.
- c) Ser paral·lels entre si.
- d) Ser linealment independents.
Resposta: d) Ser linealment independents.. Perquè els vectors ū i v defineixin un pla, han de ser linealment independents. Si fossin dependents, determinarien una recta en lloc d'un pla.
- Com s'anomenen les expressions que permeten descriure un pla utilitzant paràmetres?
- a) Equacions cartesianes del pla.
- b) Equacions paramètriques del pla.
- c) Equacions vectorials del pla.
- d) Equacions normals del pla.
Resposta: b) Equacions paramètriques del pla.. Aquestes expressions s'anomenen equacions paramètriques del pla, ja que utilitzen paràmetres per definir les coordenades dels punts del pla.
8. Equació general o cartesiana
Flashcards
- Quina és l'equació general d'un pla?
- Ax + By + Cz + D = 0
- Com s'anomenen les equacions que expressen les coordenades d'un punt en funció de paràmetres?
- Equacions paramètriques
- Què representa D(x-p, ū, v) = 0?
- Que els vectors x-p, ū i v són linealment dependents.
- Què són λ i μ en les equacions paramètriques?
- Paràmetres que poden prendre qualsevol valor real
Preguntes tipus test
- Quina és la forma general de l'equació cartesiana d'un pla?
- a) Ax + By + Cz + D = 0
- b) x = x₀ + λu₁ + μv₁
- c) D(x-p, ū, v) = 0
- d) x/l + y/m + z/n = 1
Resposta: a) Ax + By + Cz + D = 0. L'equació cartesiana d'un pla té la forma Ax + By + Cz + D = 0, on A, B, C són els coeficients de les variables i D és una constant.
- Què representen λ i μ en les equacions paramètriques d'un pla?
- a) Constants específiques
- b) Variables independents que poden prendre qualsevol valor real
- c) Coordenades del vector normal al pla
- d) Punts concrets del pla
Resposta: b) Variables independents que poden prendre qualsevol valor real. En les equacions paramètriques d'un pla, λ i μ són paràmetres que poden prendre qualsevol valor real, permetent així generar tots els punts del pla.
- Què indica que D(x-p, ū, v) = 0?
- a) Que el punt x és l'origen de coordenades.
- b) Que els vectors x-p, ū i v són linealment dependents.
- c) Que els vectors ū i v són ortogonals.
- d) Que el pla és paral·lel a l'eix z.
Resposta: b) Que els vectors x-p, ū i v són linealment dependents.. L'expressió D(x-p, ū, v) = 0 indica que el vector x-p és combinació lineal dels vectors ū i v, o equivalentment, que els tres vectors són linealment dependents.
9. Equació canònica
Flashcards
- Què és l'equació canònica d'un pla?
- Una expressió de la forma x/l + y/m + z/n = 1, on l, m i n són els punts de tall amb els eixos.
- Quina condició han de complir A, B i C per poder obtenir l'equació canònica?
- Han de ser diferents de zero.
- Què representen l, m i n en l'equació canònica?
- Els punts d'intersecció del pla amb els eixos X, Y i Z, respectivament.
- Com s'obté l'equació canònica a partir de l'equació general?
- Dividint tots els termes de l'equació general per -D.
Preguntes tipus test
- Quina condició han de complir els coeficients de l'equació general d'un pla per poder expressar-lo en forma canònica?
- a) Han de ser tots iguals a zero.
- b) Han de ser tots diferents de zero.
- c) N'hi ha prou amb que un sigui diferent de zero.
- d) Han de ser tots positius.
Resposta: b) Han de ser tots diferents de zero.. Per poder dividir tots els termes de l'equació general per -D i obtenir l'equació canònica, cap dels coeficients (A, B, C) pot ser zero.
- En l'equació canònica d'un pla, quin significat tenen els valors l, m i n?
- a) Són les components d'un vector normal al pla.
- b) Són els angles que forma el pla amb els eixos coordenats.
- c) Són les distàncies de l'origen als punts d'intersecció del pla amb els eixos.
- d) Són les coordenades del centre d'una esfera tangent al pla.
Resposta: c) Són les distàncies de l'origen als punts d'intersecció del pla amb els eixos.. Els valors l, m i n representen les coordenades dels punts on el pla talla els eixos X, Y i Z, respectivament. Per tant, indiquen la distància de l'origen a aquests punts d'intersecció.
- Si tenim un pla definit per l'equació canònica x/l + y/m + z/n = 1, quin punt pertany segur al pla?
- a) (l, m, n)
- b) (0, 0, 0)
- c) (l, 0, 0)
- d) (1, 1, 1)
Resposta: c) (l, 0, 0). El punt (l, 0, 0) pertany al pla perquè si substituïm aquestes coordenades a l'equació canònica, obtenim l/l + 0/m + 0/n = 1 + 0 + 0 = 1, que satisfà l'equació del pla.
10. Recta determinada per dos plans
Flashcards
- Què determina la intersecció de dos plans no paral·lels?
- Una recta.
- Com han de ser els vectors normals de dos plans paral·lels?
- Linealment dependents.
- Què indica la proporcionalitat entre els components dels vectors normals de dos plans?
- Que els plans són paral·lels.
- Com es troba l'equació vectorial d'una recta donada per la intersecció de dos plans?
- Resolent el sistema d'equacions dels plans.
Preguntes tipus test
- Quina condició han de complir dos plans per determinar una recta?
- a) Ser coincidents
- b) Ser paral·lels
- c) Ser perpendiculars
- d) No ser paral·lels
Resposta: d) No ser paral·lels. Perquè dos plans determinin una recta, han de ser no paral·lels. Si fossin paral·lels o coincidents, no determinarien una recta.
- Què indica que els vectors normals de dos plans siguin linealment dependents?
- a) Els plans són perpendiculars.
- b) Els plans són paral·lels.
- c) Els plans s'intersecten en un angle agut.
- d) Els plans s'intersecten en un angle obtús.
Resposta: b) Els plans són paral·lels.. Si els vectors normals de dos plans són linealment dependents, això vol dir que són múltiples l'un de l'altre, i per tant, els plans són paral·lels.
- Com es resol un sistema d'equacions per trobar l'equació vectorial d'una recta definida per la intersecció de dos plans?
- a) Substituint una variable per un paràmetre.
- b) Eliminant una de les equacions.
- c) Igualant els coeficients de les variables.
- d) Calculant el determinant de la matriu de coeficients.
Resposta: a) Substituint una variable per un paràmetre.. Per resoldre un sistema d'equacions i trobar l'equació vectorial d'una recta, es passa una de les variables a l'altre membre com a paràmetre, ja que el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat.
11. Feix de plans
Flashcards
- Què és un feix de plans?
- Conjunt de plans que contenen una recta.
- Com s'obté l'expressió d'un feix de plans a partir de dos plans que determinen una recta?
- Com a combinació lineal de les equacions dels dos plans.
- Quin és el vector associat a cada pla del feix?
- Perpendicular a la recta que defineix el feix.
- Com es relaciona el vector associat a un pla del feix amb els vectors normals dels plans que determinen la recta?
- És una combinació lineal dels vectors normals.
Preguntes tipus test
- Què és un feix de plans?
- a) Un conjunt de punts que formen una recta.
- b) Un conjunt de plans que contenen una recta.
- c) Un conjunt de vectors perpendiculars a un pla.
- d) Un conjunt de plans paral·lels entre si.
Resposta: b) Un conjunt de plans que contenen una recta.. Un feix de plans és el conjunt de tots els plans que comparteixen una mateixa recta en l'espai.
- Si tenim dos plans que determinen una recta, com podem obtenir tots els plans del feix?
- a) Calculant el producte vectorial dels seus vectors normals.
- b) Fent la combinació lineal de les seves equacions.
- c) Trobant un pla perpendicular a ambdós.
- d) Calculant la distància entre els dos plans.
Resposta: b) Fent la combinació lineal de les seves equacions.. Es pot expressar qualsevol pla del feix com una combinació lineal dels dos plans que defineixen la recta.
- Si tenim la recta r definida per la intersecció de dos plans π₁ i π₂, quin vector és perpendicular a tots els plans del feix?
- a) El vector suma dels vectors normals de π₁ i π₂.
- b) El vector diferència dels vectors normals de π₁ i π₂.
- c) Qualsevol combinació lineal dels vectors normals de π₁ i π₂.
- d) El vector resultant del producte vectorial dels vectors normals de π₁ i π₂.
Resposta: c) Qualsevol combinació lineal dels vectors normals de π₁ i π₂.. Com que el vector associat a cada pla del feix és perpendicular a la recta, aquest vector es pot obtenir com a combinació lineal dels vectors normals dels plans que determinen la recta.
12. La geometria analítica
Flashcards
- Qui va ser René Descartes?
- Matemàtic i filòsof francès, creador de la geometria analítica.
- Quin llibre famós de Descartes conté 'La Geometria'?
- Discurs del Mètode.
- Com es descriu l'obra de Descartes en relació amb l'àlgebra i la geometria?
- Aplicació de l'àlgebra a la geometria o traducció de les operacions algebraiques al llenguatge de la geometria.
- Quin símbol arcaic utilitzava Descartes en lloc del signe igual (=)?
- x
Preguntes tipus test
- Qui és considerat el creador de la geometria analítica?
- a) Pierre de Fermat
- b) René Descartes
- c) Isaac Newton
- d) Gottfried Leibniz
Resposta: b) René Descartes. René Descartes és àmpliament reconegut com el creador de la geometria analítica.
- En quin dels seus tractats Descartes dóna a conèixer la geometria cartesiana?
- a) Meditacions Metafísiques
- b) Principis de la Filosofia
- c) Discurs del Mètode
- d) Les Passions de l'Ànima
Resposta: c) Discurs del Mètode. En el 'Discurs del Mètode', Descartes inclou un apèndix titulat 'La Geometria' on presenta la geometria cartesiana.
- Quin és un dels aspectes que diferencia la geometria analítica de Fermat de la de Descartes?
- a) Fermat utilitzava l'eix d'ordenades perpendicular a l'eix d'abscisses
- b) Descartes considerava les incògnites com a nombres
- c) Fermat no va treballar amb geometries de més de dues dimensions
- d) Descartes no va utilitzar símbols algebraics
Resposta: a) Fermat utilitzava l'eix d'ordenades perpendicular a l'eix d'abscisses. La geometria analítica de Fermat es diferencia de la de Descartes en què Fermat pren l'eix d'ordenades generalment perpendicular a l'eix d'abscisses, cosa que no feia Descartes.
13. Activitats finals
Flashcards
- Quina és la condició per a que tres punts defineixin un pla?
- Que no estiguin alineats.
- Quina és la forma general de l'equació d'un pla?
- Ax + By + Cz + D = 0
- Si el pla d'equació Ax + By + Cz + D = 0 conté l'eix OZ, què val D?
- D = 0
- Com es determinen els vectors orientadors d'un pla?
- A partir de les equacions paramètriques del pla.
I 78 flashcards i 48 preguntes més al document.