Càlcul diferencial: Continuïtat, derivabilitat, representació gràfica i optimització

I 13 flashcards i 15 preguntes més al document.

Text del document

Fases de la resolució dels problemes d’Optimització Un problema de física, economia, geometria... que hem d’optimitzar, és a dir, trobar el punt mínim o màxim. En primer lloc hem de llegir detingudament l’enunciat, fer un dibuix esquemàtic de la situació i posar-hi lletres: x,y. Sense lletres no podem fer matemàtiques! Una equació que relaciona les variables x i y entre elles. De vegades hem d’aplicar coneixements de geometria de cursos anteriors. Una funció f ( x, y) per a la què hem de trobar el punt màxim o mínim. Però (ai!) és multivariable, i no sabem treballar amb funcions multivariables. Una funció f (x) per a la què hem de trobar el màxim o mínin, amb una única variable x.

Hem de resoldre l’equació f ' ( x)  0 i després comprovar que realment es tracta d’un extrem adequat, ja sigui amb l’estudi del creixement o amb la segona derivada. Hem de comprovar que la solució (x,y) proposada té sentit dintre del context inicial del problema. Teorema de Bolzano Pàgina 1 de 28 Exemple resolt 1: Determineu, entre tots els rectangles de diagonal 10 m., aquell que té superfície màxima.

Funció: Àrea( x, y)  x  y (màxim) Equació: 10 2  x 2  y 2  y  100  x 2 (Teorema de Pitàgores) A( x)  x 100  x  A' ( x)  1  100  x  x 2 2 x  100  x  x2 2 100  x 2 100  x 2 x 1 100  x 2  1 2 100  x A' ( x)  100  x 2  2 (2 x)  x2 100  x 2 x 100  x 2  0  100  x 2  x2 100  x 2   100  x   x 2 2 100  x 2  100  x 2  x   50  7.071 2 L’única solució acceptable és la positiva. Comprovem que es tracta d’un màxim:  100  x 2  x 2  100  2 x 2  x  7.071 7 0 2 f creixent  14 0 3 f decreixent f ' (8)  f ' (6)  Màxim relatiu 50 40 30 20 10 2 y  100  4 6 8 10  50   50 , la figura solució és un quadrat.

Teorema de Bolzano 2 Pàgina 2 de 28 2 Exercici resolt 2: Trobeu el punt de la recta 2 x  3 y  5 més pròxim a l’origen (0,0).

La funció f ( x, y) que hem d’optimitzar (en aquest cas trobar el mínim) és la distància f ( x, y )  x 2  y 2 L’equació que lliga ambdues variables és l’equació de la recta: 2x  3y  5  3y  5  2x  y  5  2x 3  5  2x  Per tant la funció a optimitzar és f ( x)  x     3  2 2 Derivem aquesta funció aplicant la regla de la cadena: 1 4(5  2 x)   f ' ( x)   2x   2 9   5  2 x   2 x2     3  5  2 x   g ' ( x)  2 x  2(5  2 x)(2)  2 x  4(5  2 x)  5  2x  2 g ( x)  x    x  9 9 9  3  2 2 2 f ' ( x)  0  4(5  2 x)  4(5  2 x) 10  0 x  2x    0  2x  9 9 13   5  2x   2 x2     3  1 2 Podem garantir que es tracta efectivament d’un mínim avaluant la 10  0.77 derivada a l’esquerra i a la dreta del punt x  13 f ' (0.6)  0.174  0  decreixent f ' (0.8)  0.032  0  creixent 5  2(10 / 13) 15  La solució és, doncs, x  10 / 13 , y  , és a dir, el punt 3 13 P  (0.77,1.15) Teorema de Bolzano Pàgina 3 de 28 Exercici resolt 3: Una cartolina rectangular de perímetre 36 cm i dimensions x , y gira al voltant d’un costat fixe de longitud y desenvolupant un cilindre C.

Per a quins valors de x i y obtenim un cilindre de volum màxim? Perímetre : 2 x  2 y  36  x  y  18  y  18  x Volum : Ab  h    r 2  y    x 2  (18  x) V ( x)   x 2 (18  x)  x 2  2 x 18  x  1  x 2 (18  x)  2 x(18  x)   x 2 (1)  2 x(18  x)   x 2    x2(18  x)  x    x36  2 x  x    x36  3x   3 x12  x  3 x  0  x  0 V ' ( x)  3 x(12  x)  0   12  x  0  x  12 La solució x = 0 no té sentit.

Per a x = 12 observem que és un màxim relatiu pel criteri de la segona derivada: 3 x  3 12  x  1 3 x(12  x)  3 (12  x)  3 x(1)  3 (12  x)  3 x   3 (12  x)  x   3 (12  2 x)  6 (6  x) V ' ' ( x)  6 (6  x) V ' ' (12)  6 (6  12)  36  0 També podríem haver garantit el màxim en x = 12 avaluant la primera deriva de la funció just abans i després d’aquest punt: V ' (12.1)  11.4  0 V ' (11.9)  11.2  0 Les dimensions de la cartolina són x = 12 , y = 18 – 12 = 6 Font: http://catedu.es/matematicas_mundo/PAU/Analisis_CNS.pdf Teorema de Bolzano Pàgina 4 de 28 Exercici resolt 4: Considereu un prisma recte de base rectangular, amb un dels costats d’aquest rectangle de longitud doble que els altres dos, tal i com s’indicava a la figura.

Trobeu les dimensions que ha de tenir aquest prisma per tal que la seva àrea total sigui 12 metres quadrats i que amb aquestes condicions tingui un volum màxim.

S  2(2 x 2  2 xh  xh)  12  6  2x 2  2 x  2 xh  xh  6  2 x  3xh  6  3xh  6  2 x  h  3x 2  6  2x  2 2   6  2 x 2 x  6 x  2 x 3 V  2 x  x  h  2 x 2  3  3x  3 2 2    2      2 12 6  6x 2  1 x2  4 1 x2 3 3 1 V ' ( x)  0  x    1 no aceptable V ' ' ( x)  4 2 x   8 x V ' ( x)    V ' ' (1)  8  és un màxim Per tant la solució és Teorema de Bolzano x=1m, h 6  2  12 4  m 3 1 3 Pàgina 5 de 28 Exercici resolt 5: Determineu el punt Q de la gràfica y  x 2 més a prop del punt P  (6,3) Sigui Q  ( x, y) el punt que volem trobar.

Volem trobar el mínim de la funció distància entre dos punts, que és el mòdul del vector PQ  Q  P  ( x  6 , y  3) d (Q, P)  PQ  ( x  6) 2  ( y  3) 2 El punt pertany a la paràbola y  x 2 , i per tant d ( x)  ( x  6) 2  ( x 2  3) 2 Derivem: d ' ( x)   1 2 ( x  6)  ( x  3) 2 2 x  12  4 x 3  12 x 2 ( x  6) 2  ( x 2  3) 2 d ' ( x)  0  2( x  6)  2( x  3)2 x   2 2  2 4 x 3  10 x  12 2 ( x  6) 2  ( x 2  3) 2 2 x 3  5x  6 ( x  6)  ( x  3) 2 2 2  2 x 3  5x  6 ( x  6) 2  ( x 2  3) 2  0  2 x 3  5x  6  0 Resolem per Ruffini per obtenir l’única solució real possible x  2 .

A l’esquerra de x  2 la derivada és negativa, i a la dreta de x  2 la derivada és positiva, per tant es tracta efectivament d’un mínim. La solució és, doncs, x  2, y  22  4  Q  (2,4) Teorema de Bolzano Pàgina 6 de 28 Exercici resolt 6: Entre tots els cilindres d’un metre de diagonal, determineu l’alçària h i el radi r del que té volum màxim.

Dintre del cilindre podem observar un triangle rectangle de hipotenusa 1, base 2r i altura h, en el qual podem aplicar Pitàgores: 1 h2 1  ( 2r )  h  1  4r  h  1  h  4r   r2 4 2 2 2 2 2 2 2 1  h2    h  1  h 2 h  h  h 3 V  Abase  h   r 2 h    4 4  4   V '     1 1  1  3h   0  1  3h  0  1  3h   h   h 4 3 3 2 2 2 2 1 1 1 3 3     3 3 3 3 3 3 Podem garantir que el valor h és un màxim veient que V ' és una paràbola amb les branques cap a a vall o aplicant el criteri de la segona derivada.

h 1  h 2 1  1/ 3 2 / 3 1 1 1 1 6 6 r     r     4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 2 Solució: r  Teorema de Bolzano 6 3 , h 6 3 Pàgina 7 de 28 Exercici resolt 7: Determina l’angle  d’un sector circular que hem d’eliminar d’un cercle de radi 1 per a construir un con de volum màxim. Volum del con: V 1 1 Ab  h    r 2  h 3 3 On r és el radi del cercle de la base del con i h és l’altura del con. Al con tenim un triangle rectangle que relaciona el radi r de la base, l’altura h i la generatriu lateral que és 1.

r 2  h 2  12  r 2  1  h 2 A més a més, sabem la relació entre el radi r i la longitud 1 del cercle de la base del con: l  2 r Però, per construcció, la longitud 1 del cercle de la base del con és la longitud del sector circular, que és proporcional a l’angle del sector (és un cercle de radi 1): 360   l 2 360 Així doncs, ja tenim les equacions que relacionen V amb l’angle  . Escrivim el volum V en funció de l’altura h: 1 1 1 V    r 2  h  V ( h)    1  h 2  h    h  h 3  3 3 3 1 V ' (h)    1  3h 2 3   Teorema de Bolzano     Pàgina 8 de 28   1 1 V ' (h)  0    1  3h 2  0  1  3h 2  0  h   3 3 1 .

3 Després de fer un estudi de la monotonia a esquerra i dreta d’aquest valor (“Criteri de la primera derivada”) observem que, efectivament, es tracta d’un màxim.

L’únic candidat a solució vàlida és la positiva: h  Per tant: 2  1 1 2 2   1   r   r  1  h  1    3 3 3  3 2 Prenem només la solució positiva: r  3 2 l  2 r  2 3 2 2 I per últim: 2 2 360    2  3 360 2 360   2   360  360    3 360 3  2 2   66.0612º  3601  3 3     360  360 0.4 0.3 0.2 0.1 50 100 150 200 250 300 350 Gràfica del Volum V en funció de l’angle   2   66.0612º El volum és màxim per a l’angle   3601   3   Teorema de Bolzano Pàgina 9 de 28 Exercici resolt 8: Un mirall pla que tenia forma rectangular de costats 300 x 165 cm s’ha trencat per una cantonada, amb un tros petit en forma de triangle rectangle de catets 90 cm i 50 cm.

Trobeu les dimensions del mirall rectangular d’àrea màxima que es pot retallar del tros que queda, de forma que els costats del nou mirall siguin paral·lels als costats del mirall inicial. Definim un sistema d’eixos de coordenades tal i com s’indica al següent esquema, on el punt P=(x,y) és la cantonada inferior esquerra del rectangle gris: Per tant, l’àrea que volem maximalitzar és A  (300  x)(165  y) La relació entre les dues variables x, y la trobem tenint en compte que el punt P=(x,y) ha d’estar a la recta que passa pels punts A=(90,0) y B=(0,50).

Determinem la recta y  ax  b que passa pels punts A=(90,0) y B=(0,50): 50  a  0  b  b  50 5  x  50 La recta és y   50  5  9 0  a  90  b  a  90  50  a    90 9 I per tant es queda la funció: A( x)  (300  x)(165  (5 / 9 x  50))   (300  x)(165  5 / 9 x  50)  (300  x)(115  5 / 9 x)  5 2 155  x  x  34500 9 3  10 155 93 A' ( x)  x 0 x  46.5 9 3 2 A(x) és una paràbola amb les branques cap avall, i per tant garantim que el punt anterior és un màxim.

 5 93 145 y   50   24.1667 9 2 6 Per tant, les dimensions del nou mirall són: Teorema de Bolzano Pàgina 10 de 28 300  x  300  93 / 2  253.5 165  y  165  145 / 6  140.83 Exercici resolt 9: Un cocodril vol capturar una zebra que està 20m més endavant però a l’altra banda d’un riu de 6 metres d’ample. El cocodril viatja a diferent velocitat a l’aigua i a terra: Per l’aigua a 1/5 metres per segon i per terra a 1/4 de metres per segon. Calcula el temps mínim que necessitarà per atrapar la zebra. La part del trajecte que recorre per l’aigua es dedueix per Pitàgores: 6 2  x 2 .

Si avança 1/5 metres per segon, cada metre necessita 5 segons, per tant el temps total nedant serà 5 6 2  x 2 . La part restant la recorre per terra i és x  20 .

Si avança a una velocitat de 1/4 metres per segon, cada metre necessita 4 segons, i per tant el temps serà 4(20  x) La funció temps que hem de minimitzar és la suma dels dos temps parcials: T ( x)  5 6 2  x 2  4(20  x) T ' ( x)  5 1 2 36  x 2 2x  4  0   5x 36  x 2  5 x  4 36  x 2  5 x   4 36  x 2 2 40 5x 36  x 2 4   25x  16(36  x ) 2 2 2  25 x 2  576  16 x 2  25 x 2  16 x 2  576  9 x 2  576  x 2  576  64  9 x 8 Hem de comprovar que es tracta d’un mínim: T ' (7.5)  -0.0956  0  decreixent T ' (8.5)  0.08484  0  creixent. La funció té un mínim a x  8 106 104 102 100 2 Teorema de Bolzano 4 6 8 10 12 Pàgina 11 de 28 14 Exercicis: 1.

Determina les mesures de la capsa (sense tapa) de base quadrada de superfície mínima i volum igual a 37 cm3. 2. Determina les dimensions màximes d’un rectangle que podem inscriure en una circumferència de diàmetre 20 3. Volem anar d’A a B passant per un punt C del riu. Determineu el punt C que fa mínima la distància d’aquest viatge. 4. Tenim una cartolina rectangular de 50×30 a la que retallem una cantonada de longitud 20, tal i com es mostra en la imatge: Determina x, y per a què la superficie que ens queda (la part gris) sigui mínima. Teorema de Bolzano Pàgina 12 de 28 5.

L’alcalde d’un poble de Catalunya encarrega a l’arquitecte municipal el disseny d’un parc infantil que es construirà en un terreny públic. Per a complir la normativa vigent, en el parc hi ha d’haver dos espais ben delimitats: un per a una boca de reg —el qual, segons l’arquitecte, ha de tenir forma circular—, i un altre per a una caseta on es guardin les eines de manteniment —el qual ha de tenir forma quadrada. Per motius estètics, l’arquitecte vol delimitar cadascun d’aquests dos espais amb una barana de forja.

Sabent que les dues bara-nes mesuren exactament 10 m de longitud en total, quina mida ha de tenir la barana de cada espai per tal que la suma de les superfícies dels dos espais sigui la més petita possible? Quina és aquesta superfície mínima? PAU CAT TEC JUN 2026 1.4A 6. L’Aina construirà la capsa a partir d’un cartró rectangular de 80 cm × 50 cm. A la figura següent es mostra el desplegament de la capsa; les zones ratllades són les parts que l’Aina retallarà i retirarà per tal de poder-la muntar: a) Comproveu que el volum de la capsa resultant és 𝑉(𝑋) = 2𝑥 3 − 130𝑥 2 + 2000𝑥 , on x és la longitud del costat del quadrat que cal retallar dels cantons per a poder-la muntar.

b) Calculeu les dimensions de la capsa per tal que el seu volum sigui màxim. Quin és aquest volum màxim? PAU CAT TEC SET 2026 2.4A 7. Una família vol comprar un terreny per a fer-s’hi una casa envoltada de penya-segats amb vistes al mar. En aquella zona de la costa, els penyasegats segueixen les rectes y = 0 i y = 3x. A més, la família vol que el terreny sigui triangular i que el tercer costat del triangle passi pel punt P = (1, 1), tal com es pot veure en la figura.

Teorema de Bolzano Pàgina 13 de 28 a) Plantegeu l’equació de la recta r que defineix el tercer costat del triangle en funció del seu pendent m, i comproveu que l’àrea del terreny ve donada per b) Calculeu el valor de m que fa que l’àrea d’aquest terreny (i, per tant, el seu preu) sigui mínima. Quin és el valor d’aquesta àrea? PAU CAT TEC SET 2025 3.1 8. El dissenyador d’una casa de perfums ha decidit que l’ampolla del proper perfum que l’empresa traurà al mercat serà de vidre i tindrà la forma d’un cilindre amb una mitja esfera a la part superior, tal com es pot veure a la figura següent: El perfum estarà contingut a la part cilíndrica, la qual té una capacitat de 100 cm3.

L’enginyer a càrrec del procés de producció es proposa minimitzar el cost total del vidre usat i, per tant, vol que la superfície total de l’ampolla sigui mínima. a) Comproveu que la superfície total de l’ampolla de perfum ve donada per la fórmula 𝑆(𝑟) = 3𝜋𝑟 2 + 200 𝑟 . b) Quines dimensions ha de tenir l’ampolla de perfum perquè la superfície total sigui mínima? Quina és la superfície total de l’ampolla en aquest cas? Nota: Recordeu que la superfície d’una esfera ve donada per la fórmula 4 πr2, on r és el seu radi. PAU CAT TEC JUN 2025 4.4A Teorema de Bolzano Pàgina 14 de 28 9.

En Carles vol construir un decorat per a l’obra de teatre de final de curs en forma d’un rectangle i dos semicercles, tal com es mostra a la figura següent: a) Determineu el perímetre i l’àrea del decorat que s’ha de construir en funció de x i de y. b) Per a revestir el perímetre del decorat, en Carles té material per a cobrir fins a 10 m. Si el vol gastar tot, quines seran les mides del decorat d’àrea màxima que podrà cons-truir? Quin és el valor d’aquesta àrea? PAU CAT TEC JUN 2024 5.5 10. Volem construir una peça metàŀlica que tingui per secció un trapezi isòsceles amb la base superior tres vegades més llarga que la base inferior.

Els altres costats del trapezi fan 10 mm, tal com podeu observar en la figura següent: a) Expresseu l’altura del trapezi en funció de la longitud x de la base inferior. b) Calculeu la longitud de la base inferior del trapezi de manera que l’àrea de la peça sigui màxima i trobeu el valor d’aquesta àrea máxima. PAU CAT TEC SET 2023 2.6 11. La Núria té un jardí rectangular i vol fer-hi un tancat (rectangular o quadrat) de 8 m² per al seu gos. Ha pensat de posar el tancat tocant al mur del jardí, tal com es mostra a la figura de la dreta, per estalviar-se així un dels quatre costats. El preu de la tanca que vol fer servir és de 2,5 €/m.

Teorema de Bolzano Pàgina 15 de 28 a) Quines dimensions ha de tenir el tancat perquè el cost sigui mínim? Quin és aquest cost mínim? b) Si manteniu la forma rectangular o quadrada del tancat i feu que un dels vèrtexs del jardí coincideixi amb un vèrtex del tancat, quants euros us podeu estalviar? Raoneu com posaríeu el tancat i justifiqueu amb càlculs matemàtics les dimensions de la vostra proposta. PAU CAT TEC JUNY 2023 #5 12. Considereu la paràbola y  4  x 2 i un valor a > 0. a) Comproveu que l’equació de la recta tangent a la gràfica de la paràbola en el punt d’abscissa x  a és y  2ax  a 2  4 i calculeu els punts de tall d’aquesta recta tangent amb els eixos de coordenades.

b) Calculeu el valor de a  0 perquè l’àrea del triangle determinat per aquesta recta tangent i els eixos de coordenades sigui mínima. PAU CAT TEC JUNY 2021 2.1 13. La resistència al trencament R d’una biga de secció rectangular de base x i altura y és directament proporcional al producte x y 2 ; per tant, R  k x y 2 , en què k és una constant positiva. Disposem d’un tronc de fusta en forma de cilindre de diàmetre d com el de la figura. a) Comproveu que la resistència R de la biga rectangular de base x que podem construir amb aquest tronc ve donada per l’expressió R  k xd 2  x 2  .

b) Calculeu les dimensions de la biga rectangular de resistència màxima que podem construir a partir d’aquest tronc i calculeu aquesta resistència màxima. PAU CAT TEC JUNY 2021 5.4 14. Una empresa està treballant en el disseny d’unes càpsules de cafè. L’empresa ha construït la secció transversal de les càpsules inscrivint-la en una semicircumferència de radi 1, traçant a continuació una corda CD paraŀlela al diàmetre AB i incorporant el punt E en el punt mitjà de l’arc CD. D’aquesta manera queda traçat el pentàgon ACEDB, tal com es mostra en la figura. Teorema de Bolzano Pàgina 16 de 28 a) Expresseu en funció de x i h l’àrea del pentàgon ACEDB.

b) Quina ha de ser la distància (indicada en la figura per h) a què s’ha de situar la corda CD de AB per tal que l’àrea del pentàgon ACEDB sigui màxima? PAU CAT TEC SET 2020 4.5 Solucions: 1. x  3 74  4.198 2. 𝑥 = 𝑦 = 10√2 3.

La funció a minimitzar és f ( x)  x 2  25  64  (12  x) 2 Derivem i igualem a zero la derivada: 2x (1)2(12  x) x 12  x f ' ( x)     2 x 2  25 64  (12  x) 2 x 2  25 64  (12  x) 2 x 12  x x 12  x  0  2 2 2 x  25 64  (12  x) x  25 64  (12  x) 2 x   12  x x 2  25 64  (12  x) 2 x 2  25 x 2  25  x       64  (12  x) 2 64  (12  x) 2  12  x  2  x2 x 2  25   x 2 64  (12  x) 2  x 2  25 (12  x) 2  * (12  x) 2 64  (12  x) 2    2 2    x 2 64  (12  x) 2  x 4  24 x 3  208x 2 x  25(12  x)  x  24 x  169x  600x  3600 4 3 2 *  208x 2  169 x 2  600 x  3600   x  20 0  39 x 2  600 x  3600    x  60 / 13  4.62 Descartem la solució x  20 perquè no té sentit en el context en el què estem.

f ' (4)  0.082  0  decreixent   x  60/13 és un mínim relatiu f ' (5)  0.049  0  creixent  Teorema de Bolzano Pàgina 17 de 28 4. x 2  y 2  20 2  y  400  x 2 A( x, y )  30  50  xy  A( x)  1500  x 400  x 2 x 1 400  x 2  1 2 400  x  2 x   x 400  x 2  x2 x2    400  x 2  400  x 2  0  400  x 2  400  x 2 2  A' ( x)  0    2 x  400  x 2  x 2  2 400  x  400  x   400  x  2x  400  2 2 2 2  x 2  200  x  200  2 10  14.142 Mitjançant un estudi de la primera derivada comprovem que, efectivament, aquesta funció té un mínim en aquest punt: A' (14)  0.56  decreixent , A' (15)  3.78  creixent 5. 6.

a) Teorema de Bolzano Pàgina 18 de 28 b) 7. Teorema de Bolzano Pàgina 19 de 28 8. Teorema de Bolzano Pàgina 20 de 28 9. Teorema de Bolzano Pàgina 21 de 28 10. Teorema de Bolzano Pàgina 22 de 28 11. Teorema de Bolzano Pàgina 23 de 28 Teorema de Bolzano Pàgina 24 de 28 12. a) Teorema de Bolzano Pàgina 25 de 28 b) Teorema de Bolzano Pàgina 26 de 28 13. 14.

Teorema de Bolzano Pàgina 27 de 28 Teorema de Bolzano Pàgina 28 de 28 Creixement i decreixement d’una funció (monotonia) Direm que f (x) és creixent en x  p si existeix un entorn ( p  a, p  a) tal que x1  x2   p  a, p  a   f ( x1 )  f ( x2 ) Direm que f (x) és estrictament creixent en x  p si existeix un entorn ( p  a, p  a) tal que x1  x2   p  a, p  a   f ( x1 )  f ( x2 ) Si una funció és creixent, direm que és monòtona. Anàlogament es defineix decreixent i estrictament decreixent en x  p . Si f (x) és derivable f (x) creixent en x  p  f ' ( p)  0 f (x) decreixent en x  p  f ' ( p)  0 Demostració: Suposem que f (x) és derivable i creixent en x  p .

Si h  0  p  h  p  f ( p  h)  f ( p) per definició de funció creixent, i per tant f ( p  h)  f ( p ) f ( p  h)  f ( p )  0  f ' ( p)  lim 0 h  0 h h perquè el límit d’una funció que pren valors positius és positiu o nul. Un raonament similar serveix per a demostrar el cas de funció decreixent.  Màxims i mínims relatius Direm que f (x) té un màxim relatiu en x  p si existeix un entorn ( p  a, p  a) tal que si x   p  a, p  a   f ( x)  f ( p) . Anàlogament es defineix un mínim relatiu. Condició necessària per ser extrem relatiu (màxim o mínim) Si f (x) és derivable en x  p i hi té un mínim o un màxim relatiu, llavors f ' ( p)  0 .

Representació gràfica Pàgina 1 de 22 Demostració: Suposem que la funció té un màxim en x  p . Si h  0 , per definició de màxim f ( p  h)  f ( p)  f ( p  h)  f ( p)  0 . f ( p  h)  f ( p ) f ( p  h)  f ( p )  0  f ' ( p  )  lim 0 Per tant h 0 h h Si h  0 , de nou f ( p  h)  f ( p)  f ( p  h)  f ( p)  0 . f ( p  h)  f ( p ) f ( p  h)  f ( p ) Per tant  0  f ' ( p  )  lim 0 h  0 h h Si la funció és derivable en x  p llavors f ' ( p)  f ' ( p  )  f ' ( p  )  f ' ( p)  0 . Un raonament similar demostra el resultat quan f té un mínim relatiu en x  p . IMPORTANT: Derivada igual a zero no implica extrem relatiu.

f ' (a)  0 no implica necessàriament que sigui un extrem relatiu. Per exemple, la funció f ( x)  x 3 compleix f ' ( x)  3x 2 , i la seva primera derivada s’anul·la en x  0 , però no és cap extrem relatiu, aquesta funció és sempre creixent: Per garantir que es tracta realment d’un extrem relatiu, hem d’analitzar el signe de la derivada en les proximitats del punt, a la dreta i a l’esquerra.  Criteri de la primera derivada per a determinar màxims i mínims relatius Una funció presenta un extrem relatiu en x  a si, en aquest punt, la funció canvia de creixent a decreixent (màxim relatiu) o de decreixent a creixent (mínim relatiu).

 Curvatura Una funció és còncava cap avall (còncava) en un punt x  a si la gràfica de la funció al voltant d’aquest punt està doblegada cap avall. Una funció és còncava cap amunt (convexa) en un punt x  a si la gràfica de la funció al voltant d’aquest punt està doblegada cap amunt. Representació gràfica Pàgina 2 de 22 Equivalentment, Una funció és cóncava quan la recta que uneix dos dels seus punts passa sempre per sobre de la gràfica, i una funció és convexa quan la recta tangent associada a qualsevol punt passa per sota de la seva gràfica. Definició i demostració al final del document.

Una funció és convexa en un punt x  a si la segona derivada de la funció en aquest punt és positiva: f ' ' (a)  0 Una funció és còncava en un punt x  a si la segona derivada de la funció en aquest punt és negativa: f ' ' (a)  0 . Una funció presenta un punt d’inflexió en x  a si, en aquest punt, la funció canvia la seva curvatura, és a dir, passa de ser còncava a convexa, o viceversa. Representació gràfica Pàgina 3 de 22  Determinació dels punts d’inflexió Si una funció presenta un punt d’inflexió en x  a , es compleix que f ' ' (a)  0 . Per garantir que es tracta realment d’un punt d’inflexió, analitzarem el sentit de la concavitat en les proximitats del punt. Atenció!

Segona derivada igual a zero no implica necessàriament punt d’inflexió. Per exemple, la funció f ( x)  x 4 compleix f ' ' ( x)  12 x 2 , i la seva segona derivada s’anul·la en x  0 , però no és un punt d’inflexió, aquesta funció és sempre convexa:  Criteri de la tercera derivada Una funció té un punt d’inflexió en x  a si la segona derivada s’anul·la i la tercera derivada és diferent de zero en aquest punt. f ' ' (a)  0 i f ' ' ' (a)  0  la funció té un punt d’inflexió en x  a  Com determinem la curvatura d’una funció 1. Calculem la seva segona derivada f ' ' ( x) 2. Resolem l’equació f ' ' ( x)  0 3.

Fem un estudi per intervals: Marquem els punts x trobats al punt anterior en una recta. Atenció! També hem d’afegir els punts de discontinuïtat de la funció! Agafem valors auxiliars a cada interval i els avaluem amb la segona derivada. Si la segona derivada és positiva, la funció serà convexa a tot l’interval Si la segona derivada és negativa, la funció serà còncava a tot l’interval Els punts d’inflexió seran els punts on canvia la curvatura. 4. Calculem els valors Y dels punts d’inflexió per poder representar-los a la gràfica.

Representació gràfica Pàgina 4 de 22  Criteri de la segona derivada per determinar màxims i mínims relatius Una funció és còncava al voltant d’un màxim relatiu i convexa al voltant d’un mínim relatiu, per tant: Si f ' ( p)  0 i f ' ' ( p)  0 llavors la funció té un mínim relatiu en x  p . Si f ' ( p)  0 i f ' ' ( p)  0 llavors la funció té un màxim relatiu en x  p .  Representació gràfica d’una funció Els passos per representar gràficament una funció 𝑦 = 𝑓(𝑥) són els següents: 1. Determinar el domini de la funció 2. Trobar els punts de tall amb els eixos de coordenades. OX: resoldre l’equació f ( x)  0 OY: calcular f (0) 3.

Asímptotes Asímptotes horitzontals Si, lim 𝑓(𝑥) = 𝑏 la recta 𝑦 = 𝑏 és una asímptota horitzontal de la funció 𝑓 𝑥→∞ Asímptotes verticals Si , lim 𝑓(𝑥) = ±∞ la recta 𝑥 = 𝑎 és una asímptota vertical de la funció 𝑓 𝑥→𝑎 Asímptotes obliqües 4. Intervals de creixement i decreixement, màxims i mínims. Resolem l’equació f ' ( x)  0 . Les solucions són punts estacionaris o singulars i caldrà saber si són màxims, mínims o punts d’inflexió. S’estudia el signes de la primera derivada En els intervals en que la primera derivada és positiva aleshores la funció és creixent. En els intervals en que la primera derivada és negativa aleshores la funció és decreixent.

Direm que hi ha un màxim relatiu en 𝑥 = 𝑎 si 𝑓 és contínua en 𝑥 = 𝑎 i en aquest punt la funció canvia d’ésser creixent a decreixent. Representació gràfica Pàgina 5 de 22 Direm que hi ha un mínim relatiu en 𝑥 = 𝑎 si 𝑓 és contínua en 𝑥 = 𝑎 i en aquest punt la funció canvia d’ésser decreixent a creixent. x a + x 0 - a - 0 + Per situar els extrems a la gràfica cal calcular la seva imatge. 5. Intervals de concavitat i convexitat, i punts d’inflexió. Resolem l’equació f ' ' ( x)  0 . Les solucions són possibles punts d’inflexió.

S’estudien els signes de la segona derivada En els intervals que la segona derivada és positiva aleshores la funció és 𝑓 és En els intervals que la segona derivada és negativa aleshores la funció és 𝑓 és Direm que hi ha un punt d’inflexió en 𝑥 = 𝑎 si 𝑓 és contínua en 𝑥 = 𝑎 i en aquest punt la funció canvia d’ésser convexa a còncava o al revés. x a - x 0 + a + 0 - Per situar els punts d’inflexió a la gràfica cal calcular la seva imatge. 6. Signe de la funció (Si no tenim prou dades) Tenint en compte els punts de tall amb OX s’estudia el signe de f (x) . 7.

Simetries (només si ho veiem molt clar) Simetria respecte l’eix OY ↔ 𝑓 és parell Simetria respecte l’origen ↔ 𝑓 és imparell Representació gràfica Pàgina 6 de 22 8. Periodicitat (només per a funcions trigonomètriques. Direm que una funció és periòdica de període P 9. Taula de valors de la funció f, si es necessiten més punts. 10. Dibuixar la gràfica. Exemple 1: Estudi de la funció f ( x)  x3  3x  2 a) Domini de la funció: Tot IR, perquè és polinòmica. b) Punt de tall amb l’eix Y: f (0)  2 c) Punts de tall amb l’eix X: f ( x)  0  x3  3x  2  0  x  2, x  1 (Per Ruffini) d) Creixement, decreixement i extrems relatius.

f ' ( x)  3x 2  3 f ' ( x)  0  x  1, x  1 Fem un estudi per intervals: (,1) Agafem, per exemple, x  2 f ' (2)  9  0 Creixent x  1 (1,1) Agafem, per exemple, x  0 f ' (0)  3  0 Decreixent x 1 (1,) Agafem, per exemple, x  2 f ' (2)  9  0 Creixent De la taula anterior deduïm que la funció té un màxim relatiu en x  1 , y  f (1)  4 i un mínim relatiu en (1,0) , y  f (1)  0 e) Gràfica. Representació gràfica Pàgina 7 de 22 Exemple 2: Estudi de la funció f ( x)  x2 x4 a) Domini:   {4} b) Punt de tall amb l’eix Y: (0,0) c) Punt de tall amb l’eix X: (0,0) d) Asímptotes verticals : x = -4 e) La gràfica de la funció té una asímptota obliqua: y  x  4 f) Monotonia.

x 2  2x x  4 1 x2 2 x( x  4)  x 2 2 x 2  8 x  x 2 x 2  8 x x( x  8)     x4  x  4 2 x  42 x  42 x  42 f ' ( x)  x  0 x( x  8) 0 2 ( x  4)  x  8  ,8  8,4  4,0 0, f ' (10)  0.55  0 f creixent f ' (6)  3  0 f decreixent f ' (2)  3  0 f decreixent f ' (2)  0.36  0 f creixent Deduïm que la funció té un màxim relatiu a x = -8 , y  f (8)  16 i un mínim relatiu a x = 0 , y  f (0)  0 Representació gràfica Pàgina 8 de 22 g) Curvatura.

x 2  8 x  2 x  8  2( x  4) x  42  2( x  4)      x 2  8x 2( x  4)x  4  x 2  8 x 2( x  4) 2( x  4) x  4  x 2  8 x    x  42 x  44 x  44 2  2  2 x 2  8 x  16  x 2  8 x 216 32   3 3 x  4 x  4 x  43 32 f ' ( x)   0 no té solució ( x  4) 3   ,4  4, f ' ' (6)  4  0 f corbada cap a baix f ' (3)  32  0 f corbada cap a dalt La funció no presenta punts d’inflexió perquè canvia la seva curvatura a l’asímptota vertical. h) Gràfica. Representació gràfica Pàgina 9 de 22 Exercicis: 1.

Fes l’estudi de les següents funcions (Punts de tall amb els eixos, monotonia, extrems relatius, curvatura i punts d’inflexió): a) f ( x)  8x3  84x 2  240x b) f ( x)   x 4  8x 2  7 c) f ( x)  x3  4 x d) f ( x)  x 4  8x3  22x 2  24x  9 e) f ( x)  3x  x3 f) f ( x)  4 x 2  x 4 g) f ( x)  x 4  2 x 3 h) f ( x)  x 6  x 3 2. Estudia i representa la funció f ( x)  x3 x2  x  6 a) Punt de tall amb l’eix Y. b) (Possibles) punts de tall amb l’eix X. c) (Possibles) asímptotes verticals. d) Comportament de la funció en l’infinit. e) Creixement, decreixement, màxims i mínims. f) Representació gràfica de la funció, amb la informació dels apartats anteriors. 3.

Estudia la funció f ( x)  x2  x 1 x2 1 4. Donada la funció f ( x)  x2 ex a) Determineu el seu domini. b) Estudi de la monotonia (creixement, decreixement, màxims i mínims relatius). c) Estudi de la curvatura (convexitat, concavitat i punts d’inflexió). d) Estudieu el comportament d’aquesta funció en l’infinit. e) Representeu gràficament aquesta funció. 5. Estudieu la monotonia i la curvatura de la funció 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 2 + 1). 6. Estudi complet de la funció f ( x)  cos x en  0 , 2  : 1  sin x a) Punts de tall amb els eixos. b) Asímptotes verticals. c) Monotonia. d) Gràfica. Representació gràfica Pàgina 10 de 22 7.

Considereu la funció 𝑓(𝑥) = 2002𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑠𝑖𝑛𝑥, amb a, b reals. Calculeu els valors dels paràmetres a, b perquè f passi pel punt (0, 3) i tingui un extrem relatiu en aquest punt. Expliqueu raonadament quin tipus d'extrem té f en aquest punt. PAU CAT CCSS SET 2002 1.5 8. La part il·luminada (en percentatge) de la lluna cada nit al llarg del mes de gener ve donada per la funció  t  M (t )  50 cos   50  15  On t és el temps (en dies) de l’any transcorreguts. a) Quina porció de la lluna està il·luminada el 12 de gener? b) Estudia la seva monotonia, màxims i mínims i representa gràficament aquesta funció per a 0  t  30 .

c) En quin dia la lluna no està il·luminada en absolut? d) En quin interval de temps la lluna tindrà una il·luminació per sota del 40%? Solucions: 1.

a) f ( x)  8x3  84x 2  240x Punts de tall amb els eixos: Punts de tall amb l’eix X: (0,0) Punt de tall amb l’eix Y: (0,0) Màxims i mínims relatius: Màxim relatiu: 2,208 Mínim relatiu: 5,100 Monotonia: Creixent:  ,2  5, , Decreixent: 2,5 , Punts d’inflexió: (7 / 2,154) Curvatura: Convexa: () 7 / 2, , Còncava: ()  ,7 / 2 Representació gràfica Pàgina 11 de 22 b) f ( x)   x 4  8x 2  7 Punts de tall amb els eixos: Punts de tall amb l’eix X: (1,0), (1,0), ( 7 ,0), ( 7 ,0) Punt de tall amb l’eix Y: (0,-7) Màxims i mínims relatius: Màxims relatius:  2,9, 2,9 Mínim relatiu: 0,7   2 17   2 17  ,  , ,  Punts d’inflexió:   3 9  3 9 c) f ( x)  x3  4 x Punts de tall amb els eixos: Punts de tall amb l’eix X: (-2,0) , (0,0) , (2,0) Punt de tall amb l’eix Y: (0,0) Màxims i mínims relatius: Màxim relatiu:  2 3 / 3,16 3 / 9   Mínim relatiu: 2 3 / 3,16 3 / 9  Monotonia: Creixent:  ,2 3 / 3  2 3 / 3,     Decreixent:  2 3 / 3,2 3 / 3 Punt d’inflexió: (0,0) Representació gràfica   Pàgina 12 de 22 Curvatura: Convexa: () 0, Còncava: ()  ,0 d) f ( x)  x 4  8x3  22x 2  24x  9 Punts de tall amb els eixos: Punts de tall amb l’eix X: (-3,0) , (-1,0) Punt de tall amb l’eix Y: (0,9) Màxims i mínims relatius: Màxim relatiu:  2,1 Mínim relatiu:  3,0,  1,0 6 3 4 6 3 4 , ,  ,  Punts d’inflexió:  3 9 3 9   e) f ( x)  3x  x3 Punts de tall amb els eixos: Punts de tall amb l’eix X:  3 ,0 , (0,0) , Punt de tall amb l’eix Y: (0,0) Màxims i mínims relatius: Màxim relatiu: 1,2 Mínim relatiu:  1,2 Monotonia: Creixent:  1,1 Decreixent:  ,1  1,  Representació gràfica   3 ,0  Pàgina 13 de 22 Punts d’inflexió: (0,0) Curvatura: Convexa: ()  ,0 Còncava: () 0, f) f ( x)  4 x 2  x 4 Punts de tall amb els eixos: Punts de tall amb l’eix X:  2,0 , (0,2) Punt de tall amb l’eix Y: (0,0) Màxims i mínims relatius: Màxims relatius:  2 ,4 i 2 ,4 Mínim relatiu: 0,0  Monotonia: Creixent:  , 2  0, 2         Decreixent:  2 ,0    2 ,  Punts d’inflexió:  6 / 3,20 / 9  ,  6 / 3,20 / 9  Curvatura: Convexa: ()  6 / 3, 6 / 3   Còncava: ()  , 6    6 ,  g) f ( x)  x 4  2 x 3 Punts de tall amb els eixos: Representació gràfica Pàgina 14 de 22 Punts de tall amb l’eix X: 0,0  , (2,0) Punt de tall amb l’eix Y: (0,0) Màxims i mínims relatius: Màxims relatius: No n’hi ha.

Mínim relatiu: 3 / 2,27 / 16 Monotonia: Creixent: 3 / 2, Decreixent:  ,3 / 2 Punts d’inflexió: 0,0  , 1,1 Curvatura: Convexa: ()  ,0  1, Còncava: () 0,1 h) Punt de tall amb l’eix Y: f (0)  06  03  0  (0,0) Punts de tall amb l’eix X: 0  (0,0) f ( x)  0  x 6  x 3  0  x 3 ( x 3  1)  0  x   1  (1,0) Monotonia. x  0 f ' ( x)  6 x 5  3x 2  3x 2 (2 x 3  1)  0   3  x  1 / 2  0.794 (   , 0 )  Decreixent ( 0 , 0.794 )  Decreixent ( 0.794 ,   )  Creixent La funció té un mínim relatiu al punt  1/ 2 , 1/ 4  3 Curvatura.

x  0 f ' ' ( x)  30 x 4  6 x  6 x(5 x 3  1)  0   3  x  1 / 5  0.585 (   , 0 )  Convexa  ( 0 , 0.585 )  Còncava  ( 0.585 ,   )  Convexa  Representació gràfica Pàgina 15 de 22 La funció té punts d’inflexió a (0,0) i Gràfica.  1 / 5 ,  4 / 25  3 2. a) (0,0) b) (0,0) c) x =-2 i x = 3 d) Asímptota obliqua y = x + 1 e) (indicacions) x  0 x 2 ( x 2  2 x  18)  f ' ( x)   0   x  -3.3589 2 2 ( x  x  6) x  5.358  Estudiant el signe de la derivada comprovem que la funció té un mínim en x = - 3.3589 i un màxim en x = 5.358 . El punt x = 0 no és un extrem relatiu. f(-3.3589)  4.38553 f(5.358)  8.86553 f) Representació gràfica Pàgina 16 de 22 3.

a) Punts de tall amb l’eix X. No en té. b) Punt de tall amb l’eix Y: 1 c) Asímptotes verticals: No en té d) Comportament de la funció en l’infinit : La funció tendeix a una asímptota horitzontal y=1 e) Monotonia: 1 x2 f ' ( x)  2 ( x  1) 2 x  1 f ' ( x)  0    x  1  ,1 decreixent ,  1,1 creixent , 1, decreixent 1   3 Per tant, la funció té un mínim en P =   1,  i un màxim en P = 1,  2   2 f) Curvatura: x  0  f ' ' ( x)  0   x   3  1.732 f ' ' ( x)  3 x2 1   x  3  1.732  , 3 corbada cap a baix  3 ,0 corbada cap amunt 2 x( x 2  3)     0, 3  corbada cap a baix    3, corbada cap amunt g) Gràfica: 4.

a) Domini: IR (el denominador no s’anul·la mai).

b) Representació gràfica Pàgina 17 de 22 f ( x)  x2 2 xe x  x 2e x xe x 2  x  x2  x   f ' ( x )    2 2 ex ex ex ex     x  2x 2 ex  ex f ' ( x)  0  x  2, x  0 (,0) f ' (1)  3e  0 decreixent f ' ( x) f (x) (2,) (0,2) f ' (1)  1 / e  0 creixent f ' (3)  3 / e3  0 decreixent La funció té un mínim relatiu al punt (0,0) i un màxim relatiu al punt  4  2, 2   2,0.54  e  c) f ' ' ( x)  2(1  x)e x  x(2  x)e x e  x 2  e x 2(1  x)  x(2  x)  e  x 2   ex 2  4x  x2 ) e   x 2 x(2  x)  2 x  x  2  2 x  2(1  x) 2 ex  ex f ' ' ( x)  0   ex 2  4x  x2 f ' ' ( x) f (x) e  x 2   0  2  4 x  x  0  x  2  2  0.586 2 2  2  3.414 (,2  2 ) f ' ' (0)  2  0 ( 2  2 ,2  2 ) f ' ' (1)  1 / e  0 convexa  còncava  (2  2 ,) f ' ' ( 4)  2 / e 4  0 convexa  La funció té punts d’inflexió a (0.586 , 0.191) i (3.414 , 0.384) d) Quan x   , la funció és una exponencial contra una potencial, guanya l’exponencial, per tant: x2 lim f ( x)  lim x  0 x x e Quan x   , no és cap indeterminació: x2 1 lim f ( x)  lim x  lim x 2 x       x x e x e e) Representació gràfica Pàgina 18 de 22 5.

f ' ( x)  2x 0 x0 x 1 2 f ' ( x) f (x) (,0) decreixent (0,) + creixent La funció té un mínim al punt (0,0) f ' ' ( x)  2(1  x 2 )  0  x  1, x  1 x2  1 f ' ' ( x) f (x) (,1) Còncava (1,1) + Convexa (1, ) còncava Els punts (1, ln 2) i (1, ln 2) són punts d’inflexió. 6. a) Punt de tall eix Y: (0,1).

Punt de tall eix X: (π/2, 0) b) Asímptota vertical en x=3π/2 c) cos x ( sin x)(1  sin x)  (cos x)(cos x) f ( x)   f ' ( x)   1  sin x 1  sin x 2   sin x  sin 2 x  cos 2 x  sin x  (sin 2 x  cos 2 x)  * 1  sin x 2 1  sin x 2 Aplicant sin 2 x  cos 2 x  1  sin x  1  (sin x  1) 1 *   2 2 1  sin x  1  sin x  1  sin x La funció és sempre decreixent. Representació gràfica Pàgina 19 de 22 7. 8.

a) 9.55 % b) max t=0, min t=15 d) c) t=15 e) 8.461 < t < 21.538 Representació gràfica Pàgina 20 de 22 EXTRA: Una definició precisa de concavitat i convexitat  Definició de Funció convexa Direm que una funció f (x) és convexa en a, b quan, per a qualsevol parella x  y de valors en a, b , la gràfica de f (x) estigui per sobre de la recta que uneix x, f ( x) i  y, f ( y) : I què vol dir "que estigui per sobre de la recta..."? Anem a fixar amb exactitud aquesta idea: Els valors entre x i y es poden parametritzar com t x  (1  t ) y per a 0  t  1 I, per tant, els valors, en vertical, que pren f són f t x  (1  t ) y  .

Els valors, en vertical, que pren la recta que uneix x, f ( x) i  y, f ( y) són: t f  x   (1  t ) f  y  I per tant la condició "estar per sobre de" és t f  x  (1  t ) f  y   f t x  (1  t ) y  Amb tot això, ja podem donar una definició exacta de convexitat d’una funció: Direm que una funció f (x) és convexa en a, b si, per a tota parella x, y , amb a  x  y  b , i per a tot valor 0  t  1 , es compleix: f  x   (1  t ) f  y   f t x  (1  t ) y  Representació gràfica Pàgina 21 de 22 Teorema: Si f ' ' ( x)  0 en a, b , llavors la funció és convexa en a, b . Demostració: Prenem valors x  y i 0  t  1.

Considerem els valors de y i de t fixos, i considerem la funció g ( x)  tf ( x)  (1  t ) f ( y)  f tx  (1  t ) y . Llavors g ' ( x)  tf ' ( x)  t f ' tx  (1  t ) y   t  f ' ( x)  f ' tx  (1  t ) y  On hem tingut en compte que (1  t ) f ( y) és constant, i per tant la seva derivada és zero, i també hem aplicat la regla de la cadena a f tx  (1  t ) y  . Per hipòtesi, f ' ' ( x)  0 , i per tant f ' ( x) és creixent.

Està clar que x  tx  (1  t ) y , i per tant x  tx  (1  t ) y  f ' ( x)  f ' tx  (1  t ) y   f ' ( x)  f ' tx  (1  t ) y   0  t  f ' ( x)  f ' tx  (1  t ) y   0  g ' ( x)  0 És a dir, la funció g (x) és decreixent, i per tant, com que en tot moment estem suposant x  y , tenim que g ( x)  g ( y)  0 . Aíxí doncs, 0  g ( x)  tf ( x)  (1  t ) f ( y )  f tx  (1  t ) y   tf ( x)  (1  t ) f ( y )  f tx  (1  t ) y  tal i com voliem veure.

Representació gràfica Pàgina 22 de 22 La recta tangent i la normal  Funcions tangents en un punt Direm que les gràfiques de dues funcions f (x) i g (x) són tangent en un punt x  p si a) f ( p)  g ( p) b) f ' ( p)  g ' ( p) és a dir, si passen pel mateix punt i a més a més tenen el mateix pendent en aquest punt.  Recta tangent a la gràfica d’una funció.

És un cas particular de l’anterior, quan g (x) és una recta : g ( x)  ax  b En aquest cas la funció queda totalment determinada per les condicions a) i b) Per la condició b): g ' ( x)  a  a  g ' ( p)  f ' ( p) Per la condició a): g ( p)  a  p  b  f ( p)  b  f ( p)  a  p Per cada punt de la gràfica x = p on f és derivable existeix una única recta tangent y  a x  b on a  f ' ( p) (2) b  f ( p)  a  p (1) La recta tangent i la normal (Propietat fonamental de la recta tangent) Pàgina 1 de 14  Recta tangent en un punt Donada qualsevol recta en el pla de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, el valor m s’anomena pendent de la recta.

Per trigonometria sabem que el pendent d’una recta és la tangent de l’angle  que forma aquesta recta amb l’eix d’abscisses: 𝑚 = 𝑡𝑔(𝛼) Per trobar el valor de n, només cal utilitzar l’expressió punt-pendent de la recta i passar-la a explícita si sabem que passa pel punt ( x0 , yo ) : 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 · (𝑥 − 𝑥0 ) Definim la recta tangent a la funció f en el punt d’abscissa 𝑥0 com aquella recta que passa per (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) i té com a pendent el valor de la derivada de la funció en aquest punt: 𝑚 = 𝑓′(𝑥0 ) i la seva expressió serà: 𝑦 − 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓 ′ (𝑥0 ) · (𝑥 − 𝑥0 ) La recta tangent i la normal Pàgina 2 de 14 Exemple 1: Troba la recta tangent a la funció f ( x)  x2 en el punt x = 1 3 Tenim (fent 𝑥0 = 1) x2 1 2x 2 f ( x)  , f (1)  f ' ( x)  , a  f ' (1)  3 3 3 3 1 2 1 b  f (1)  1 f ' (1)   1  3 3 3 2 1 La recta tangent és doncs y  x  3 3 Exemple 2: Determina la recta tangent a la funció f ( x)  ln x=2 1 1 1 f ( x)  ln x  f ' ( x)    x 2 x 2x  x  en el punt   La recta tangent és de la forma y = ax + b, on 1 a  f ' (2)   0.25 4 b  f (2)  2  f ' (2)  0.153426 La recta tangent és doncs y  0.25x  0.153426 La recta tangent i la normal Pàgina 3 de 14  Determinació del punt de tangència.

De vegades ens donen la recta tangent i necessitem obtenir el punt de tangència. En aquests casos la propietat fonamental de la recta tangent: a  f ' ( x) esdevé una equació que hem de resoldre. Exemple 1: Donada la paràbola f ( x)  2  x 2 a) Determineu la recta tangent a la seva gràfica al punt x  2 . b) Determineu la recta tangent a la seva gràfica que sigui paral·lela a la recta d’equació 2 x  y  4 .

a  f ' (2)  4 a) f ( x)  2  x 2  f ' ( x)  2 x   b  f (2)  a  2  2  (4)  2  6 La recta buscada és y  4 x  6 a  f ' (1)  2 b) a  f ' ( x)  2  2 x  2  x  1   b  f (1)  a 1  1  (2) 1  3 La recta buscada és y  2 x  3 Exemple 2: a) Determineu els punts de la gràfica de la funció f ( x)  4 3 3 x  2  1 en els què la recta tangent és paral·lela a la recta y  x . b) Determineu la recta tangent per a x  2 .

a) f ( x)  4 3 3 x  2  1  4 (3 x  2)1 / 3  1 1 4 4 f ' ( x)  4 (3 x  2)1 / 31  (3 x  2) 2 / 3  3  3 3 3 (3 x  2) 2 x  2  1  4  3 (3x  2) 2  43  (3x  2) 2   64  3x  2   3 (3x  2)  x  10 / 3 b) a  f ' (2)  1 4 2 f (2)  4 3 3  2  2  1  4 3 8  1  4  2  1  9 b  f (2)  a  2  9  1 2  6 , la recta tangent és y  x  6 La recta tangent i la normal Pàgina 4 de 14  Determinació de funcions coneixent la recta tangent. Exemple 1:Determina els paràmetres a i b de la funció f ( x)  ax3  bx  3 de forma que tingui associada la recta tangent y  2 x  1 en el punt d’abscissa x  1.

f ( x)  ax3  bx  3  f ' ( x)  3ax2  b { 𝑦 ′ (1) = 𝑓 ′ (1) → −2 = 3𝑎 · 12 + 𝑏 → −2 = 3𝑎 + 𝑏 𝑦(1) = 𝑓(1) → −2 · 1 + 1 = 𝑎 · 13 + 𝑏 · 1 − 3 → −1 = 𝑎 + 𝑏 − 3 → 𝑎 + 𝑏 = 2 Resolem el sistema: 3𝑎 + 𝑏 = −2 { → 𝑎 = −2, 𝑏 = 4 → 𝑓(𝑥) = −2𝑥 3 + 4𝑥 − 3 𝑎+𝑏 =2 Exemple 2: Donada la funció f ( x)  a 2 x  1  b x , determineu a i b de forma que la gràfica d’aquesta funció passi pel punt de coordenades ( 1 , 3 ) i tingui un extrem relatiu al punt d’abscissa x  4 .

2 3  f (1)  a 2 1  1  b 1  a  b  3 2 f ( x)  a 2 x  1  b x  f ' ( x)  2a(2 x  1)  2  b  4a ( x  1)  b 0  f ' (4)  4a(2  4  1)  b  4a  7  b  28a  b  28a  b  0 Hem de resoldre el sistema a  b  3 3 1   1  28  b  28a  a  28a  3  27a  3  a    b  28     27 9  9  9 28a  b  0 2  Recta normal a la gràfica d’una funció De forma similar a com vam definir la recta tangent, també podem definir la recta normal: Donada una funció f(x) i un punt P=(𝑥0 , f(𝑥0 )) de la seva gràfica, existeix una única recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 que compleix alhora les dues propietats següents: La recta tangent i la normal Pàgina 5 de 14 a) És perpendicular a la gràfica de la funció f en x = 𝑥0 .

b) Passa per P. Recordem que dues rectes són perpendiculars quan 𝑚 · 𝑚′ = −1 Determinació de la recta normal: La recta és perpendicular a la gràfica de la funció en 𝑃(𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )), per tant, −1 𝑚′ = 𝑓′(𝑥0 ) La recta passa pel punt P, per tant, la recta normal es pot escriure com: −1 𝑦 − 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓′ (𝑥 ) · (𝑥 − 𝑥0 ) 0 Exemple: Trobar la recta normal a la funció f ( x)  x 2 en el punt x=1 Tenim (fent 𝑥0 =1) f ( x)  x 2  f (1)  1 f ' ( x)  2 x  f ' (1)  2  a  b  f (1)  1 1  f ' (1) 2 1 1 3  1  f ' (1) 2 2 La recta normal és doncs y  La recta tangent i la normal 1 3 x 2 2 Pàgina 6 de 14 Exercicis: 1.

Donada la funció f ( x)  x2  3x  1, troba l’equació de la recta tangent en els punts d’abscissa x = -1, x = -3, i x = 1 2. Recta tangent amb funcions racionals. Determina la recta tangent a la funció en el punt x  p indicat. 1 x 1 a) f ( x)  b) f ( x)  p5 p 1 x2 x c) f ( x)  1 x2 p  1 d) f ( x)  2x x2 p2 e) f ( x)  1 x 1 p  1 f) f ( x)  1 x 4 p0 g) f ( x)  3 x 4 p 1 h) f ( x)  1  x2 x p 1 2 2 2 3. Recta tangent amb funcions radicals. Determina la recta tangent a la funció en el punt x  p indicat.

a) f ( x)  x p4 b) f ( x)  x  x p 1 c) f ( x)  x  1 p3 d) f ( x)  5 x  5 p4 e) f ( x)  5  x 2 p 1 f) f ( x)  3 1  3 x p3 p9 h) f ( x)  p2 j) f ( x)  g) f ( x)  1 x i) f ( x)  x 2  x  7 La recta tangent i la normal x x 1 p9 1  x2 / 3 x p 1 Pàgina 7 de 14 4. Recta tangent amb funcions exponencials i logarítmiques. Determina la recta tangent a la funció en el punt x  p indicat.

a) f ( x)  e x p0 b) f ( x)  xe x p0 c) f ( x)  2 xe x p0 d) f ( x)  e2 x p0 e) f ( x)  2 x  1e x p0 f) f ( x)  x2 ex p0 g) f ( x)  e1 x p 1 h) f ( x)  5 x  2 i) f ( x)  6 x p2 j) f ( x)  ln 1  x  k) f ( x)  x  1lnx  p 1 l) f ( x)  p 1 n) f ( x)  log 2 3x  1 2 p2   m) f ( x)  ln x2  1 p0 ln  x  x p 1 p 1 5.

Determina l’equació de la recta tangent associada a la gràfica de les següents funcions al punt indicat: a) f ( x)  sin 3x  x  2 , p  0 b) f ( x)  x  3sin x , p   / 2 1 c) f ( x)  x 3 cos x , p  1 d) f ( x)  , p0 sin x  cos x e) f ( x)  sin xcos x , p   f) f ( x)  x sin x , p   cos x  g) f ( x)  e x cos x , p  0 h) f ( x)  , p 2 x 2 2 i) f ( x)  cos x , p  1 j) f ( x)  cos x , p  2   k) f ( x)  sin x , p   2 l) f ( x)  lncos x , p   4 6. Determina les rectes normals a la funció f ( x)  x en els punts A d’abscissa x=1, B d’abscissa x=2 i C d’abscissa x=0.5 La recta tangent i la normal Pàgina 8 de 14 7.

Determina les rectes normals a la funció f ( x)  e x en els punts A d’abscissa x=-0.5, B d’abscissa x=0 i C d’abscissa x=-1.5 8. Determina les rectes normals a la funció f ( x)  1 en els punts A d’abscissa x x=-0.5, B d’abscissa x=1 i C d’abscissa x=1.5 9. Sigui f (x) una funció derivable la gràfica de la qual passa pel punt (0, 1). La gràfica de la seva derivada, f ' ( x) , és la que es mostra en la figura. La recta tangent i la normal Pàgina 9 de 14 a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f (x) en el punt de la gràfica d’abscissa x  0 . b) Trobeu les abscisses dels punts singulars de la funció f (x) i classifiqueu-los.

PAU CAT TEC SET 2020 #3 (Solució: PAUTEC pàg. 605) 10. Sigui la funció f ( x)  x e x 1 . a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en el punt d’abscissa x = 1. b) Determineu en quins intervals la funció f és creixent i en quins intervals és decreixent. Solució PAU CAT TEC JUNY 2016 3.3 11. La funció f(x) és derivable i passa per l’origen de coordenades. La gràfica de la funció derivada és la que veieu aquí dibuixada, essent f’(x) creixent als intervals (–∞, –3] i [2, + ∞). a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) en el punt d’abscissa x = 0.

b) Indiqueu les abscisses dels extrems relatius de la funció f(x) i classifiqueu aquests extrems. Solució PAU CAT TEC JUNY 2013 4.6 12. Calculeu les equacions de les dues rectes del pla que passen pel punt (1, –1) i que són tangents a la corba d’equació y = (x– 1)2. P= Solució PAU CAT TEC JUNY 2003 2.1 x 1 , determineu l'equació de la recta tangent a la ex seva gràfica en el punt on s'anul·la la segona derivada. 13. Donada la funció f ( x)  Solució PAU CAT TEC SET 2000 6.2 14. Considerem les funcions f ( x)  x 2  ax  b i g ( x)   x 2  c a) Calculeu els valors dels paràmetres a , b i c per tal que les gràfiques de f (x) i g (x) es tallin en els punts (–1, 3) i (3, –5).

b) Per a c = 4, trobeu l’equació de la recta tangent a g (x) en el punt d’abscissa x  1 . PAU CAT CCSS SET 2020 #4 (Solució:PAUCCSS pàg. 489) La recta tangent i la normal Pàgina 10 de 14 15. Considereu la funció f ( x)  x  e x . a) Indiqueu-ne els extrems relatius, si n’hi ha, i classifiqueu-los. b) Escriviu l’equació de la recta tangent a la corba en el punt d’abscissa 0. Solució PAU CAT CCSS JUNY 2010 4.3 16. Considereu la funció f ( x)  x . a) Calculeu en quin punt del tercer quadrant la recta tangent a y  f (x) és paral·lela a la recta 3x  y  4 .

Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica en aquest punt i feu un dibuix aproximat de la gràfica de la funció i les dues rectes. b) Calculeu l’àrea de la regió delimitada per 𝑦 = 𝑓(𝑥) i la recta 𝑦 = 3𝑥 + 2. 3 PAU CAT TEC JUNY 2020 #6 (Solució: PAUTEC pàg. 581) 17. Donades la recta y=3x + b i la paràbola y = x2, a) Calculeu l’abscissa del punt on la recta tangent a la paràbola és paral·lela a la recta donada. b) Calculeu el valor del paràmetre b perquè la recta sigui tangent a la paràbola. Solució PAU CAT TEC JUNY 2012 3.2 18. Sigui f ( x)  2 x  x  3x  1 .

Donades les rectes r1 : y  x  2 i r2 : y  7 x  2 : a) Expliqueu, raonadament, si alguna de les dues rectes pot ser tangent a la corba y  f (x) en algun punt. b) En cas que alguna d’elles ho sigui, trobeu el punt de tangència. 3 2 Solució PAU CAT TEC SET 2009 1.3 19. Digueu per a quin valor de x la recta tangent a la corba y  ln( x 2  1) és paral·lela a la recta y  x . Escriviu l’equació d’aquesta tangent. Solució PAU CAT TEC JUNY 2008 5.3 20. En quin punt la recta tangent a la funció f ( x)  x  e x és paral·lela a l’eix d’abscisses? Escriviu l’equació de la recta tangent en aquest punt. Solució PAU CAT TEC JUNY 2007 1.1 21.

a) Calculeu els punts del gràfic de la corba y  x 3  2 x 2  x  1 on la recta 1 tangent té pendent  . 3 b) Determineu la recta tangent en aquests punts. Solució PAU CAT TEC JUNY 2005 La recta tangent i la normal Pàgina 11 de 14 22. Sigui la paràbola y= 2x2 +x +1 i sigui A el punt de la paràbola d’abscissa 0. a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la paràbola en el punt A. b) En quin punt de la paràbola la recta tangent és perpendicular a la recta que heu trobat en l’apartat anterior? Solució PAU CAT TEC JUNY 2005 4.4 23. Considereu la funció f(x) = x3 –3x2 +2x +2. a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de f(x) en el punt d’abscissa x=3.

b) Existeix alguna altra recta tangent a la gràfica de f(x) que sigui paral·lela a la que heu trobat? Raoneu la resposta i, en cas afirmatiu, trobeu-ne l’equació. Solució PAU CAT TEC JUNY 2004 3.1 24. En quin punt de la corba f ( x)  ln x la recta tangent és paral·lela a la corda AB determinada pels punts A=(1,0) i B=(e,1) ? Solució PAU CAT TEC JUNY 1998 3.4 x 1 . x2  3 a) Determineu els punts en què la funció f talla cadascun dels eixos. Determineu també els intervals on la funció f és positiva. b) Determineu els punts en què la recta tangent a la gràfica de f és horitzontal. 25.

Considereu la funció f ( x)  Solució PAU CAT CCSS SET 2016 1.5  4x x 1 a) Determineu-ne les asímptotes horitzontals i verticals, si n’hi ha. b) Trobeu els punts de la corba en què la recta tangent és paral·lela a la recta y  3x  4 26. Donada la funció següent: f ( x)  2 Solució PAU CAT CCSS JUNY 2010 4.2 27. Considereu la funció següent: x 2  3x  2 x2 a) En quin punt de la corba la recta tangent a la gràfica de f és paral·lela a la recta x  y  5 ? b) Calculeu les asímptotes horitzontals i verticals de la funció, si n’hi ha, i feu un esbós de la gràfica de la funció f. f ( x)  Solució PAU CAT CCSS JUNY 2010 5.4 La recta tangent i la normal Pàgina 12 de 14 28.

La corba d’equació y = 3x2 – 1 i la recta y = 4x + b són tangents. a) Determineu el punt de tangència. b) Determineu b. Solució PAU CAT CCSS SET 2005 3.3 29. Calculeu en quin punt (si és que n'hi ha algun) la recta tangent a la gràfica de la funció f ( x)  e 2 x forma un angle de 45° amb l'eix de les x. Solució PAU CAT CCSS JUNY 2001 2.2 e ax  b i g ( x)   3x  4 . 4 a) Determineu el domini i el recorregut de la funció g. b) Calculeu per a quins valors de a i de b les gràfiques de les dues funcions són tangents (és a dir, tenen la mateixa recta tangent) en el punt d’abscissa x = 0. 30. Siguin les funcions f ( x)  Solució PAU CAT TEC SET 2014 5.2 31. Sigui f ( x)  x3  ax2  bx  c .

Sabem que la gràfica d’aquesta funció és tangent a la recta r: y = x + 3 en el punt d’abscissa x = –1, i que en el punt d’abscissa x = 1 la recta tangent és paral·lela a la recta r. Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c. Solució PAU CAT TEC JUNY 2013 3.6 32. Calculeu els valors de a tals que les tangents a la gràfica de la funció f ( x)  ax3  2 x 2  3 en els punts d'abscisses x = 1 i x = –1 siguin perpendiculars entre si. Solució PAU CAT TEC JUNY 2000 1.1 33. Sigui f ( x)  x3  ax2  3x  5b . Trobeu els valors de a i b de manera que la gràfica de f(x) tingui la tangent horitzontal per a x=1 i, a més, la corba passi pel punt (-1,-8) . Solució PAU CAT TEC JUNY 1998 6.2 5𝑥 34.

Considereu la funció 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +1 . Calculeu l’equació de la recta normal (és a dir, la recta perpendicular a la tangent) a la corba y = f(x) en el punt d’abscissa x = 2. PAU CAT TEC SET 2026 S2 ex1.3 (Solució: PAUTEC pàg. 1075) La recta tangent i la normal Pàgina 13 de 14 Solucions: 1. y=x, y=-3x-8, y=5x 1 11 1 1 2. a) 𝑦 = − 3 𝑥 + 3 ; b) 𝑦 = −𝑥 + 2; c) 𝑦 = 2𝑥 + 3; d) 𝑦 = 4 𝑥 + 2 1 1 2 1 e) ) 𝑦 = 2 𝑥 + 1; f) 𝑦 = − 4 ; g) 𝑦 = 3 𝑥 + 3 ; h) 𝑦 = −3𝑥 + 3 3. 1 x 1 4 1 5 x e) y  2 2 1 21 x h) y  75 50 a) y  3 1 x 2 2 1 5 f) y   x  4 4 1 i) y  x  2 2 b) y  1 5 x 4 4 1 1 x g) y  54 2 5 5 x j) y  3 3 c) y  d) y  1 x3 2 4.

a) y  x  1 b) y  x c) y  2 x d) y  2 x  1 e) y  x  1 f) y  3x  2 g) y  2 x  3 h) y  1  ( x  2) ln 5 i) y  36 ln 6( x  2)  36  64.50x  93.01 j) y   x k) y  2 x  2 l) y  x  1 m) y  x  1  ln(2)  x  0.31 n) y  1.08x  0.92 5. a) y  4 x  2 b) y x  3 c) y 0.78x  0.24 e) y  x   f) y   x   2 g) y x  1 d) y   x  1 2 x 1 h) y  k) y  1 l) y   x  0.44 i) y  1.68x  2.22 j) y  0.76 x  1.34 6. y = -2x + 3, 7. y = -1.65x - 0.22 8.

y = 0.25x+1.875 La recta tangent i la normal y = -2.83x + 7.07 y = -x + 1 y=x  y = -1.414x + 1.414 y = - 4.48x - 6.50Jk y = 2.25x-2.71 Pàgina 14 de 14 Regla de L’Hôpital  Teorema de L’Hôpital Siguin f (x) i g (x) dues funcions tals que: a) f (x) i g (x) són derivables en un entorn de 𝑥 = 𝑎 b) lim f ( x)  0 , lim g ( x)  0 xa xa Llavors 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) lim 𝑔(𝑥) = lim 𝑔′(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 Demostració: Demostrarem que, si f (x) i g (x) són contínues en a, b i derivables en f ' ( x)  L , llavors (a, b) . Si f (a)  g (a)  0 , g ' ( x)  0 x  a, b i lim x a g ' ( x ) f ( x) lim  L.

x a g ( x ) Considerem la funció h( x)  g (b)  f ( x)  f (b)  g ( x) que compleix les hipòtesis del teorema de Rolle i, per tant, existeix c  (a, b) tal que h' (c)  g (b)  f ' (c)  f (b)  g ' (c)  0 Ho podem posar f (b) f ' (c)  g (b) g ' (c) perquè g ' (c)  0 per hipòtesi, i g (b)  0 perquè pel teorema de Lagrange g (b)  g (b)  g (a)  g ' (d )(b  a)  0 per a algun d  (a, b) . Quan b  a  , c  a  perquè a  c  b , i lim b a  f (b) f ' (c )  lim L c  a g (b) g ' (c ) IMPORTANT: El teorema també es pot aplicar al cas d’indeterminació  /  . Observeu a més que el teorema de L’Hôpital és vàlid si a és un nombre real,  o .

Regla de l’Hôpital Pàgina 1 de 8 Exemple 1: Calcula el següent límit aplicant Hopital: lim x 0 sin x x f ( x)  sin x  f ' ( x)  cos x g ( x)  x  g ' ( x)  1 i clarament aquestes funcions compleixen les condicions del teorema de L’Hôpital.

sin x cos x  lim  lim cos x  cos 0  1 Per tant lim x 0 x 0 x 0 x 1 x 2 1 x 1 ln x Exemple 2: Calcula el següent límit aplicant Hopital: lim f ( x)  x 2  1  f ' ( x)  2 x 1 g ( x)  ln x  g ' ( x)  x 2 x 1 2x lim  lim  lim 2 x 2  2 12  2 x 1 ln x x 1 1 / x x 1 ax  bx x 0 x Exemple 3: Calcula el següent límit aplicant Hopital: lim f ( x)  a x  b x  f ' ( x)  a x ln a  b x ln b g ( x)  x  g ' ( x)  1 ax  bx a x ln a  b x ln b a  lim  a 0 ln a  b0 ln b  ln a  ln b  ln   x 0 x 0 x 1 b lim  Indeterminacions ∞-∞, i 0·∞ amb el Teorema de L'Hôpital El Teorema de l’Hôpital és un resultat aplicable, en les hipòtesis adequades, al cas d’indeterminació 0/0, però el podem utilitzar en qualsevol tipus d’indeterminació: fent transformacions en el límit fins que aconseguim una indeterminació 0/0.

f ( x) Noteu que l’enunciat diu “ " i no "" . És a dir pot ser que lim existeixi i x a g ( x ) en canvi no el podem trobar per aquest procediment perquè no existeix f ' ( x) lim . xa g ' ( x ) Regla de l’Hôpital Pàgina 2 de 8 1   1  Exemple 4: Calcula : lim   x 1  ln x x 1  És un cas d’indeterminació    .

Reduïm a denominador comú: 1 1 x 1 ln x x  1  ln x     ln x x  1 ( x  1) ln x ( x  1) ln x ( x  1) ln x 0 que queda una indeterminació i podem aplicar el teorema de 0 L’Hôpital: 1 f ( x)  x  1  ln x  f ' ( x)  1  x 1 g ( x)  ( x  1) ln x  g ' ( x)  ln x  ( x  1) x 1 f ' ( x) x 1 x   x  1 g ' ( x) ln x  x ln x  x  1 x 0 Continua la indeterminació , i tornem a aplicar el teorema de L’Hôpital: 0 1 f ( x)  x  1  f ' ( x)  1 1 g ( x)  x ln x  x  1  g ' ( x)  1 ln x  x  1  ln x  2 x f ' ( x) 1 x1 1 1    g ' ( x) ln x  2 ln 1  2 2 Exemple 5: Calcula lim e 2 x  x 2 x  És un cas d’indeterminació 0   .

lim e x   que és una indeterminació 2 x x2  x  lim 2 x x  e 2  . Apliquem L’Hôpital dues vegades:  x2 2x x 1  lim 2 x  lim 2 x  lim 2 x  0 x  e 2 x x  2e x  e x  2e lim Regla de l’Hôpital Pàgina 3 de 8 Exercicis: 1. Calcula els següents límits: e x  e sin x a) lim x0 x2 2   1 b) lim  2  x1 ln x x 1  2 x(ln x) c) lim x1 ( x  1) 2 d) lim x e1/ x PAU ANDALUCÍA JUNY 2010 PAU ANDALUCÍA JUNY 2009 PAU ANDALUCÍA…