Problema 1 · Matemáticas II PAU Valencia Extraordinaria 2024

Enunciado

En las respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.

Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & k & 3 \\ k & \frac{1}{3} & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ donde $k$ es un número real.

¿Para qué valores del parámetro $k$ la matriz $A$ es invertible? (2 puntos)

Para $k = 0$ , si existe, calcular la matriz inversa de $A$ . (4 puntos)

Para $k = 0$ , hallar las matrices diagonales $D$ que verifican $AD = DA$ . (4 puntos)

Enunciado: Problema 1 · Matemáticas II PAU Valencia Extraordinaria 2024

Según los criterios oficiales de corrección

a) ¿Para qué valores del parámetro k la matriz A es invertible?

Solución: $k \neq -1$ y $k \neq 2$

b) Para k = 0, si existe, calcular la matriz inversa de A.

Solución: $A^{-1} = \begin{pmatrix} -1/3 & 3/2 & 1/2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1/3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

c) Para k = 0, hallar las matrices diagonales D que verifican AD = DA.

Solución: $D = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}$ con $a = b = c$

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