Problema 2 · Matemáticas II PAU Valencia Extraordinaria 2023

Tema: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Del examen Extraordinaria (2023)

Enunciado

En las respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.

Problema 2. Dadas las matrices A=(0−1−2−10−2113)A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} e I=(100010001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, obtener:

a)

La matriz M=(A−αI)2M = (A-\alpha I)^2, donde α\alpha es un parámetro real. (6 puntos)

b)

El valor de α\alpha, si existe, para el cual la matriz MM es la matriz nula. (4 puntos)

Enunciado: Problema 2 · Matemáticas II PAU Valencia Extraordinaria 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) La matriz M = (A − αI)², donde α es un parámetro real.

Solución: M=(α2−12α−24α−42α−2α2−14α−42−2α2−2α5−6α+α2)M = \begin{pmatrix} \alpha^2-1 & 2\alpha-2 & 4\alpha-4 \\ 2\alpha-2 & \alpha^2-1 & 4\alpha-4 \\ 2-2\alpha & 2-2\alpha & 5-6\alpha+\alpha^2 \end{pmatrix}

b) El valor de α, si existe, para el cual la matriz M es la matriz nula.

Solución: α=1\alpha = 1

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