Problema 2 · Matemáticas II PAU Valencia Ordinaria 2023

Tema: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Del examen Ordinaria (2023)

Enunciado

En las respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.

Problema 2. Dadas las matrices A=(101011)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, B=(1112−10)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} y C=(0α−α20)C = \begin{pmatrix} 0 & \alpha \\ -\alpha^2 & 0 \end{pmatrix}:

a)

Obtener la matriz (ABT+I)−1(AB^T + I)^{-1}, donde II es la matriz identidad de las dimensiones adecuadas para realizar la operación. (6 puntos)

b)

Comprobar que C2=−α3IC^2 = -\alpha^3 I, donde II es la matriz identidad, y calcular C13C^{13}. (4 puntos)

Enunciado: Problema 2 · Matemáticas II PAU Valencia Ordinaria 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Obtener la matriz (ABT+I)−1(AB^T + I)^{-1}

Solución: (ABT+I)−1=(01/21/2−3/4)(AB^T+I)^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 \\ 1/2 & -3/4 \end{pmatrix}

b) Comprobar que C2=−α3IC^2 = -\alpha^3 I

Solución: C2=(0α−α20)(0α−α20)=(−α300−α3)=−α3IC^2 = \begin{pmatrix} 0 & \alpha \\ -\alpha^2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \alpha \\ -\alpha^2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\alpha^3 & 0 \\ 0 & -\alpha^3 \end{pmatrix} = -\alpha^3 I

b) [...] y calcular C13C^{13}.

Solución: C13=(0α19−α200)C^{13} = \begin{pmatrix} 0 & \alpha^{19} \\ -\alpha^{20} & 0 \end{pmatrix}

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