Problema 1 · Matemáticas II PAU Valencia Ordinaria 2022

Tema: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Del examen Ordinaria (2022)

Enunciado

Dadas las matrices A=[101−12−1]A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}, B=[111010]B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} y C=[110−1]C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}. Se pide:

a)

Demostrar que C−ABTC - AB^T tiene inversa y calcularla. (4 puntos)

b)

Calcular la matriz XX que verifica CX=ABTX+ICX = AB^T X + I, donde II es la matriz identidad. (3 puntos)

c)

Justificar que (ABT)n=2nI(AB^T)^n = 2^n I para todo número natural nn. (3 puntos)

Enunciado: Problema 1 · Matemáticas II PAU Valencia Ordinaria 2022

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Determinante de C - AB^T

Solución: 3

a) Elemento (1,1) de (C - AB^T)^{-1}

Solución: -1

a) Elemento (1,2) de (C - AB^T)^{-1}

Solución: -1/3

a) Elemento (2,1) de (C - AB^T)^{-1}

Solución: 0

a) Elemento (2,2) de (C - AB^T)^{-1}

Solución: -1/3

b) Elemento (1,1) de X

Solución: -1

b) Elemento (1,2) de X

Solución: -1/3

b) Elemento (2,1) de X

Solución: 0

b) Elemento (2,2) de X

Solución: -1/3

c) Justificar que (AB^T)^n = 2^n I para todo número natural n.

Solución: Como AB^T = 2I, (AB^T)^n = (2I)^n = 2^n I^n = 2^n I.

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