Problema 1. A · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Valencia Extraordinaria DANA 2025

Tema: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Del examen Extraordinaria DANA (2025)

Enunciado

Problema 1. A. Consideramos las matrices:

A=(102−131),B=(110),C=(12)yD=(0015).A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad D = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}.

Sabiendo que, si KK es una matriz, KtK^t representa su matriz traspuesta, se pide:

a)

Calcular M=ABtC−DM = AB^t C - D.

[0,75 puntos]

b)

Justificar si MM es invertible y, si lo es, hallar su inversa.

[0,75 puntos]

c)

Hallar M2M^2 y M8M^8.

[0,5 puntos]

d)

Justificar si son invertibles las matrices CCtCC^t y CtCC^t C.

[0,5 puntos]

e)

Hallar la matriz XX que satisface la ecuación At+X(112−1)t=(CtB)tA^t + X \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}^t = (C^t B)^t.

[1 punto]

Enunciado: Problema 1. A · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Valencia Extraordinaria DANA 2025

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Elemento m_11 de M

Solución: 1

a) Elemento m_12 de M

Solución: 2

a) Elemento m_21 de M

Solución: 1

a) Elemento m_22 de M

Solución: -1

b) Justificación de si M es invertible

Solución: El determinante es |M| = 1·(-1) - 2·1 = -3 ≠ 0, por lo que M es invertible.

b) Elemento p_11 de M^-1

Solución: 1/3

b) Elemento p_12 de M^-1

Solución: 2/3

b) Elemento p_21 de M^-1

Solución: 1/3

b) Elemento p_22 de M^-1

Solución: -1/3

c) Elemento (1,1) de M^2

Solución: 3

c) Elemento (1,2) de M^2

Solución: 0

c) Elemento (2,1) de M^2

Solución: 0

c) Elemento (2,2) de M^2

Solución: 3

c) Elemento (1,1) de M^8

Solución: 81

c) Elemento (1,2) de M^8

Solución: 0

c) Elemento (2,1) de M^8

Solución: 0

c) Elemento (2,2) de M^8

Solución: 81

d) Justificación de si CC^t tiene inversa

Solución: CC^t = (1, 2) (1; 2) = 1 + 4 = (5). Como |CC^t| = 5 ≠ 0, tiene inversa.

d) Justificación de si C^t C tiene inversa

Solución: C^t C = (1; 2) (1, 2) = (1, 2; 2, 4). Su determinante es 1·4 - 2·2 = 0, por lo que no es invertible.

e) Despeje de la matriz X

Solución: X = ((C^t B)^t - A^t) M^{-1} / X = (B^t C - A^t) M^{-1}

e) Elemento (1,1) de X

Solución: 1

e) Elemento (1,2) de X

Solución: -1

e) Elemento (2,1) de X

Solución: 0

e) Elemento (2,2) de X

Solución: 1

e) Elemento (3,1) de X

Solución: -1

e) Elemento (3,2) de X

Solución: -1

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 1. B · Extraordinaria 2025 · Problema 1. B · Extraordinaria solapamiento 2025 ›

Más ejercicios de Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales