Problema 4 · Dibujo técnico II PAU Valencia Ordinaria 2024

Obtenga: el otro foco F2 (0,5 p.), los vértices (0,6 p.) y las asíntotas (0,4 p.). Deje indicadas todas las líneas auxiliares de construcción.

Solución: Construcción geométrica: 1. Obtención del foco $F_2$: - Hallar el punto simétrico de $F_1$ respecto de la recta tangente $t_P$, denominado $F'_1$. - Unir el punto $P$ con $F'_1$ mediante una recta; la intersección de la recta $P-F'_1$ con el eje de la hipérbola determina la posición del segundo foco $F_2$. 2. Obtención del centro $O$ y de los vértices $V_1, V_2$: - El centro $O$ de la hipérbola es el punto medio del segmento focal $F_1F_2$. - El valor del eje real $2a$ equivale a la diferencia de los radios focales: $2a = |d(P, F_2) - d(P, F_1)| = d(F'_1, F_1)$ o bien $2a = d(P, F'_1) - d(P, F_1)$ según la posición. - Tomando $a$ a partir de $O$ sobre el eje focal se sitúan los dos vértices $V_1$ y $V_2$ a ambos lados de $O$ ($OV_1 = OV_2 = a$). 3. Obtención de las asíntotas: - Trazar la circunferencia principal de centro $O$ y radio $a$. - Trazar la circunferencia focal con centro en $F_2$ (o $F_1$) y radio $2a$, o bien construir el triángulo rectángulo de lados $a$, $b$ y $c$ ($c = OF_1$, $b = \sqrt{c^2 - a^2}$). - Las asíntotas pasan por el centro $O$ con pendientes $\pm b/a$ (tangentes a la circunferencia principal trazadas desde los puntos donde corta a la de diámetro $F_1F_2$).